Funktionentheorie 2 - Universität des Saarlandes

Funktionentheorie 2 - Universität des Saarlandes

Funktionentheorie 2 Ernst Albrecht e Vorlesung im Wintersemester 2008/09 Universit¨at des Saarlandes Saarbru¨cken Stand: 26. Januar 2009 Inhaltsver...

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Funktionentheorie 2 Ernst Albrecht

e Vorlesung im Wintersemester 2008/09 Universit¨at des Saarlandes Saarbru¨cken Stand: 26. Januar 2009

Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Die Γ–Funktion 1. Geschichte der Γ–Funktion 1.1. Problemstellung und Vorgeschichte 1.2. Die Eulersche Einf¨ uhrung der Gammafunktion 1.3. Weitere Entwicklung im 19. Jahrhundert 1.4. Analytische Fakult¨aten Anhang: Im 18. und 19. Jahrhundert verwendete Bezeichnungen f¨ ur n! und die numerischen Fakult¨aten 1.5. Charakterisierung der Γ–Funktion von Bohr und Mollerup 2. Eigenschaften und Theorie der Γ–Funktion 2.1. Verschiedene Darstellungen der Γ–Funktion 2.2. Die Digammafunktion und der Satz von Bohr und Mollerup 2.3. Die Multiplikationsformel von Gauß 2.4. Integraldarstellungen f¨ ur Ψ und log Γ 2.5. Die allgemeine Stirlingsche Formel 3. Die q–Gammafunktion ¨ Ubungsaufgaben zu Kapitel 1

18 19 20 20 24 26 28 31 34 35

Kapitel 2. Die Riemannsche Zetafunktion 1. Definition und erste Eigenschaften der Zetafunktion 2. Einige Absch¨atzungen f¨ ur die Zetafunktion 3. Der Primzahlsatz ¨ Ubungsaufgaben zu Kapitel 2

38 38 44 48 54

Literaturverzeichnis

57

Index

61

2

3 3 3 5 9 13

KAPITEL 1

Die Γ–Funktion 1. Geschichte der Γ–Funktion Anhand der Geschichte der Gammafunktion kann man in besonderer Weise die Entwicklung der Analysis in den letzten 250 Jahren verfolgen und erkennen. Mathematische Begriffe, wie zum Beispiel der der Gammafunktion, sind keine starren Objekte. Sie erfahren h¨aufig mannigfaltige Ver¨anderungen. Sie werden angepaßt, pr¨azisiert, erweitert, charakterisiert, verallgemeinert und gewinnen oder verlieren im Laufe der Zeit an Bedeutung. 1.1. Problemstellung und Vorgeschichte. Wenn man die Folge (sn )∞ n=1 betrachtet mit s1 := 1,

s2 := 1 + 2,

s3 := 1 + 2 + 3, . . . ,

sn := 1 + 2 + · · · + n,

(1.1)

f¨ ur die sn+1 = sn + n + 1 f¨ ur alle n ∈ N gilt, so sieht man mit einem elementaren Induktionsbeweis n(n + 1) sn = (n ∈ N). (1.2) 2 Dies ist f¨ ur die Berechnung von sn bei großen n ∈ N sehr n¨ utzlich. Die rechte Seite in (1.2) ist nun f¨ ur alle reellen Zahlen n ∈ R, ja sogar f¨ ur alle alle komplexen Zahlen definiert, so daß wir z.B. 1 1 3 und si := − + i s1/2 = 8 2 2 bilden k¨onnen. Interpolationsprobleme traten im siebzehnten und beginnenden achtzehnten Jahrhundert h¨aufiger auf: Interpolationspolynome waren in England intensiv studiert worden, schon wegen ihrer praktischen Bedeutung z.B. beim Umgang mit Tafeln. Isaac Newton (1643-1727) f¨ uhrte 1676 die Definitionen √ 1 a0 := 1, an/m := m an , a−n := n , a n ein, wodurch der Ausdruck a einen Sinn, nicht nur f¨ ur nat¨ urliche Zahlen, sondern f¨ ur alle rationalen Zahlen erhielt. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) betrachtete (w¨ahrend seiner Zeit als Leiter der Wolfenb¨ utteler Bibliothek) h¨ohere Ableitungen, f¨ ur die er die Notation dn einf¨ uhrte, und stellte fest, daß sich dieser Kalk¨ ul a¨hnlich wie die Potenzbildung verh¨alt. In Briefen an Johann 1 Bernoulli1 und an Guillaume Fran¸cois Antoine de l’Hospital2 (1661-1704) demonstrierte er dies mit der nach ihm benannten Leibnizregel: n   n   X X n j n−j n j n−j n n xy . d x d y in Analogie zu (x + y) = d (xy) = j j j=0 j=0 1Briefe 2Brief

vom 6/16 Mai und 20/30 Oktober 1695 in [69]. vom 30. September 1695 in [68]. 3

4

1. DIE Γ–FUNKTION

Er identifizierte d−1 mit und d−n mit dem iterierten Integral und versuchte3 dem Ausdruck dn f¨ ur alle reellen Zahlen n einen Sinn zu geben, ein Problem, welches erst weit u ¨ ber 100 Jahre sp¨ater zufriedenstellend gel¨ost wurde. In dem Brief an de l’Hospital schreibt er “Il y a de l’apparence qu’on tirera un jour des consequences bien utiles de ces paradoxes,car il n’y a guere de paradoxes sans utilit´e.” Die Entwicklung des fraktionalen Differential– und Integralkalk¨ uls im 19. und 20. Jahrhundert hat ihm recht gegeben. R

Ersetzt man in (1.1) die Addition “+” durch die Multiplikation “·”, so ist nicht so ohne weiteres klar, was eine analog zu (1.2) sinnvolle Darstellung f¨ ur die Zahlen 1! := 1,

n! := 1 · 2 · . . . n mit (n + 1)! := (n + 1) · n! (n ∈ N)  sein k¨onnte und in welcher Weise man z.B. dem Ausdruck 21 ! einen Sinn geben k¨onnte.

John Wallis (1616-1703) war urspr¨ unglich Kaplan und als Mathematiker weitgehend ein Autodidakt. Er war ein hervorragender und erfolgreicher Kryptoanalytiker (w¨ahrend des B¨ urgerkriegs auf Seiten der Republikaner) und war einer der Mitbegr¨ under der Royal Society of London. 1649 erhielt er den Savilian-Lehrstuhl in Oxford. Seine mathematischen Arbeiten beeinflußten viele Mathematiker des 17. und 18. Jahrhunderts, unter ihnen insbesondere auch Isaac Newton. In seinem mathematischen Hauptwerk Arithmetica infinitorum, Oxford 1656, behandelte er in dem letzten Teil das Problem der Quadratur des Kreises. Nach [12, 25, 99] berechnete er f¨ ur p ∈ N, q ∈ N0 die Ausdr¨ ucke (in heutiger Notation) 1 (p + q) f (p, q) = R 1 . (1.3) = p!q! (1 − x1/p )q dx 0

Interessiert war er nat¨ urlich besonders an dem Wert 1 1 1 4 = R1 f , = . 2 2 π (1 − x2 )1/2 dx 0

Nach einigen bemerkenswerten aber nicht rigorosen Schl¨ ussen kam er zu der nach ihm benannten Produktdarstellung4 4 3 3 5 5 7 7 = · · · · · · .... π 2 4 4 6 6 8 Zusammen mit (1.3) suggeriert dies den Wert √ π 1 != . 2 2 Der Schotte James Sterling (1692-1770) versuchte es mit Newton-Interpolation. Da es sich um unendlich viele Interpolationspunkte handelte, kam er auf eine unendliche Interpolationsreihe f0 + f1 (x − 1) + f2 (x − 1)(x − 2) + f3 (x − 1)(x − 2)(x − 3) + . . . ,

die aber nicht konvergent war. Er daher schlug vor, statt dessen log n! zu interpolieren. Die Konvergenz der entsprechenden Interpolationsreihe wurde erst 1900 von Charles Hermite (1822-1901) gezeigt. Stirling h¨atte mit seinen damaligen Mitteln einen entsprechenden 3Briefe

an Johann 1 Bernoulli (vom 28. Dezember 1695 in [69]), de l’Hospital (vom 30 September 1695 in [68]) und Wallis (vom 28. Mai 1697 in [70]). 4Wallis verwendete ein Quadrat  zur Abk¨ ur das Verh¨altnis von urzung von π4 . Die Bezeichnung π f¨ Umfang zu Durchmesser eines Kreises wurde von William Jones (1675–1749) in seinem Buch Synopsis Palmariorum Mathesos: or a New Introduction to Mathematcs, London 1706, verwendet, setzte sich aber zun¨achst nicht durch.

1. GESCHICHTE DER Γ–FUNKTION

5

Konvergenzbeweis auch gar nicht f¨ uhren k¨onnen. Man muß bedenken, daß zu seiner Zeit der Begriff der Konvergenz noch nicht ausreichend pr¨azisiert worden war. Der in England lebende, geb¨ urtige Franzose Abraham de Moivre (1667-1754) (insbesondere auch f¨ ur seine Beitr¨age zur Wahrscheinlichkeitstheorie bekannt) und James Stirling hatten auch Approximationen von Binomialkoeffizienten und log n! f¨ ur große n ∈ N erhalten. 1.2. Die Eulersche Einfu uckkehr ¨hrung der Gammafunktion. Nach seiner R¨ von einer ausgedehnten Reise zu mehreren europ¨aischen H¨ofen, an der er inkognito teilgenommen hatte, begann Zar Peter I. (1672-1725) im Jahr 1698 mit umfangreichen Reformen in Rußland mit u.a. der Einf¨ uhrung westlicher Kleider- und Barttracht, Schaffung neuer Beh¨orden und Abschaffung der alten Zeitrechnung. In diesem Rahmen wurde, wie der russische Mathematikhistoriker Juschkewitsch in [57] schildert auch der endg¨ ultige ¨ Ubergang von der damals in Rußland (wie im gesamtem byzantinischen kulturellen Einflußbereich) noch weithin u ¨blichen alphabetischen Zahlenschreibweise zur positionellen Dezimaldarstellung mit den indo-arabischen Ziffern vollzogen. Noch 1682 erschien eine Multiplikationstafel bis 100 × 100 unter dem Titel Bequemes Rechnen, mit dessen Hilfe jeder kaufende oder verkaufende Mann sehr bequem die Anzahl aller Dinge aufsuchen kann in der alphabetischen Zahlenschreibweise. Erst 1714 wurde diese Tabelle in Petersburg unter Verwendung der neuen Zahlenschreibweise neu herausgegeben. Am 2. Februar 1724 unterzeichnete Zar Peter I. einen Erlaß zur Gr¨ undung einer Akademie, die er zwar selbst nicht mehr erlebte, die aber von seiner Witwe Katharina I. in seinem Sinne vollzogen wurde. Angeregt zu dieser Gr¨ undung war er besonders durch Gottfried Wilhelm Leibniz, der den Zar dreimal zwischen 1711 und 1716 getroffen hatte und 1712 zum russischen Geheimen Justizrat ernannt wurde (mit einem Jahresgehalt von 1000 Talern). Die hervorragendsten Wissenschaftler Europas wurden zur Mitarbeit an der neuen Akademie eingeladen. Johann I. Bernoulli (nach dem Tod von Leibniz im Jahr 1716 und Newtons altersbedingten R¨ uckzugs von der Mathematik der ber¨ uhmteste Mathematiker Europas) lehnte zwar eine Berufung ab, an seiner Stelle gingen seine beiden S¨ohne Niklaus II. (1695-1726) und Daniel Bernoulli (1700-1787) auf Empfehlung von Christian Wolff (der ebenfalls abgelehnt hatte) sowie ihr ¨alterer Landsmann Jakob Herrmann 1725 nach Petersburg. Erster st¨andiger Sekret¨ar der jungen Akademie war Christian Goldbach (1690-1764) von 1725 bis 1728. Sowohl Daniel Bernoulli als auch Christian Goldbach versuchten sich an dem Interpolationsproblem der Fakult¨atenfolge. Auf Empfehlung der Br¨ uder Bernoulli und ihres Vaters mir Unterst¨ utzung von Goldbach erhielt 1727 der damals zwanzigj¨ahrige Leonhard Euler (15.04.1707-18.09.1783) eine Stelle als “´el`eve” (sp¨ater als Adjunkt bezeichnet). Leonhard Euler5 war Sohn des reformierten Pfarrers Paulus Euler. Nach Privatunterricht bei seinem Vater besucht Leonhard Euler die Lateinschule in Basel. Da die Mathematik an dieser Schule auf Antrag der B¨ urgerschaft als Lehrfach gestrichen war (trotz vehementer Proteste von Johann Bernoulli) erhielt Leonhard Euler daneben noch Privatunterricht in Mathematik von dem jungen Theologen Johannes Burckhardt (1691-1743). Mit dreizehn Jahren (damals durchaus normal) wird er an der Baseler Universit¨at eingeschrieben. 1723 legte er sein Magisterexamen ab und immatrikulierte sich anschließend, dem Wunsch seines Vaters entsprechend an der theologischen Fakult¨at. Seine Interessen galten jedoch weiterhin besonders der Mathematik. Durch seinen Studienfreund Johann II. 5Fellmann

und Thiele haben in [35, 100] ausf¨ uhrliche Biographien Eulers gegeben. Zu Eulers erster Petersburger Periode siehe auch die Arbeit [18] von Carlinger.

6

1. DIE Γ–FUNKTION

Bernoulli (1710-1790) erhielt er Zutritt zu dessen Vater Johann Bernoulli, dessen Vorlesungen er verfolgte. Sein Eifer und Erfolg erregte die besondere Aufmerksamkeit von Johann Bernoulli, der ihm schließlich Samstags privatissime weiterunterrichtete und f¨orderte. Die beiden ersten Publikationen von Euler, die er im Alter von achtzehn bzw. neuzehn Jahren verfaßte (erschienen 1726 und 1727), schließen an Untersuchungen von Johann Bernoulli an. An einer 1726 ¨offentlich gestellten Preisfrage der Pariser Akademie u unstigste ¨ ber die g¨ Bemastung eines Schiffes beteiligte er sich mit einer Abhandlung, die ihm einen zweiten Preis einbrachte. Mit einer Dissertation u ¨ ber den Schall bewarb er sich 1727 auf eine vakante Physikprofessur in Basel, kam jedoch wohl auch wegen seiner Jugend nicht in die engere Auswahl. So kam er also nach Petersburg, wo er durch Daniel Bernoulli und Christian Goldbach auf das Interpolationsproblem f¨ ur die Fakult¨atenfolge aufmerksam gemacht wurde. Anfang 1728 ging Goldbach als Erzieher des jungen Zaren Peter II. mit dem Zarenhof nach Moskau. In einem Brief an Goldbach vom 6.10.1729 gibt Daniel Bernoulli (ohne Beweis) eine Darstellung f¨ ur m!, m ∈ N, die in moderner Notation wie folgt lautet: m n! n + m2 m! = lim . n→∞ (m + 1) · (m + 2) · · · · · (m + n) Daniel Bernoulli nimmt nun an, daß nach einem Stetigkeitsgesetz sich die rechte Seite dieser Darstellung verwendet werden kann, um m! f¨ ur beliebige n > 1 zu approximieren. 1 . Er berechnet auch eine Probeweise approximiert er 3! mit n = 16 und erh¨alt 3! ≈ 6 204 Approximation von (3/2)!, wobei ihm jedoch ein Fehler unterlief, was er auch Goldbach ¨ in einem weiteren Brief vom 20.10.1729 mitteilt. Bernoulli hat seine Uberlegungen mit Euler diskutiert. Auch Euler und Goldbach hielten durch regen Briefwechsel ihren Kontakt aufrecht, der bis zum Tod von Christian Goldbach anhielt. In seinen ersten beiden Briefen an Goldbach k¨ undigt Euler diesem seine L¨osung des Interpolationsproblems f¨ ur die Fakult¨aten an: Im ersten Schreiben6 vom 15. Oktober 1729 gibt er die Darstellung von m! durch ein unendliches Produkt an: m! =

1 · 2m 21−m · 3m 31−m · 4m 41−m · 5m · · · · .... 1+m 2+m 3+m 4+m

oder in heutiger Schreibweise m! =

∞ Y k 1−m (k + 1)m

k=1

k+m

n!(n + 1)m . n→∞ (m + 1) · (m + 2) · . . . · (m + n)

= lim

(1.4)

In der Tat folgt f¨ ur alle m ∈ N und n > m bei n → ∞

n!(n + 1)m m!(n + 1)m = (m + 1) · (m + 2) · . . . · (m + n) (n + 1) · . . . · (n + m) m!   → m! = 1 1 + n+1 · . . . · 1 + m−1 n+1

Er schreibt weiter, daß diese Darstellung es gestattet die Werte von m! auch f¨ ur Werte m anzugeben, die keine ganzen Zahlen sind. f¨ ur m = 1/2, schreibt er, erh¨alt man die Seite des Quadrates, deren Fl¨ache mit der Fl¨ache des Kreises mit dem Durchmesser 1 6Der

Briefwechsel zwischen Euler und Goldbach und Eulers Arbeiten [27, 30, 31] sind zug¨anglich im Euler Archive unter http://math.dartmouth.edu/∼euler/.

1. GESCHICHTE DER Γ–FUNKTION

7

√ u ur ¨ bereinstimmt7, also 12 ! = 21 π ≈ 0, 8862269. Damit kann man auch die Werte von m! f¨ m = 32 , 25 , usw. bestimmen. Hiermit ist das Problem eigentlich schon vollst¨andig gel¨ost, denn man kann zeigen8, daß das unendliche Produkt f¨ ur alle m ∈ C\(−N) konvergiert und somit eine komplexwertige Funktion auf C \ (−N) definiert, deren Werte auf N0 mit den entsprechenden Fakult¨aten u ¨bereinstimmen. Im Prinzip kann man die gesamte Theorie der Fakult¨atenfunktion auf diesem unendlichen Produkt aufbauen. Euler geht jedoch weiter: In einem weiteren Brief an Goldbach vom 8. Januar 1730 gibt er auch eine Integraldarstellung Z 1 n! = (− log(x))n dx (1.5) 0

an. Auch diese Darstellung gestattet die Auswertung f¨ ur nicht ganzzahlige Argumente. Die eigentliche Herleitung dieser Aussagen pr¨asentierte Euler im darauffolgenden Jahr vor der Petersburger Akademie in der Arbeit [27] De progressionibus transcendentibus, seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt, die aber ebenfalls keinen Konvergenzbeweis f¨ ur die Produktdarstellung (1.4) enth¨alt. Hier erkennen wir, wie Euler auf den 1√ Wert 2 π gekommen ist. In diesem Fall stimmt das unendliche Produkt in (1.4) n¨amlich u ¨ berein mit r 2 · 4 4 · 6 6 · 8 8 · 10 · · · · ... 3·3 5·5 7·7 9·9 wobei der Kehrwert des Produktes unter der Wurzel mit der Produktdarstellung von Wallis f¨ ur π4 u ¨ bereinstimmt. Zur Herleitung der Integraldarstellung geht Euler von dem Integral Z 1 xe (1 − x)n dx 0

aus. Spezialf¨alle dieses Integrals waren auch von Wallis, Newton und Stirling betrachtet worden. Euler schreibt (1 − x)n als binomische Reihe (diese war seit Newton bekannt) und integriert gliedweise: Z 1 n n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) 1 − + − + ... xe (1 − x)n dx = e + 1 1 · (e + 2) 1 · 2 · (e + 3) 1 · 2 · 3 · (e + 4) 0  ∞ n X k k . = (−1) e + k + 1 k=0 f¨ ur n ∈ N0 bricht die Reihe nat¨ urlich ab und Euler erh¨alt in diesem Fall in heutiger Schreibweise Z 1 n! . xe (1 − x)n dx = (e + 1) · (e + 2) · · · · · (e + n + 1) 0 7Euler

verwendet zu jener Zeit noch nicht den Buchstaben π f¨ ur die Kreiszahl. Erst 1737 kommt er in der (1744 erschienenen) Arbeit [28] auf diese fr¨ uher schon in England verwendete Bezeichnung zur¨ uck. Popul¨ ar wurde der Gebrauch von π schließlich durch Eulers 1748 erschienenes Buch Introductio in analysis infinitorum. 8Gauß (1812) betrachtete die Darstellung n!nm n→∞ (m + 1) · (m + 2) · · · · · (m + n)

m! = lim

und zeigte, daß dieser Grenzwert f¨ ur alle m ∈ C \ (−N) konvergiert. Offensichtlich existiert der Grenzwert der Eulerschen Definition genau dann, wenn der Grenzwert der Gaußschen Darstellung existiert, und die beiden Grenzwerte stimmen u ur die Darstellung von Daniel Bernoulli ¨ berein. Entsprechendes gilt auch f¨ und m > 1.

8

1. DIE Γ–FUNKTION

Nun macht Euler den Ansatz e = f /g und erh¨alt Z 1 g n+1 n! xf /g (1 − x)n dx = · f + (n + 1)g (f + g) · (f + 2g) · · · · · (f + ng) 0

(1.6)

und hieraus

n! f + (n + 1)g = (f + g) · (f + 2g) · · · · · (f + ng) g n+1

Z

0

1

xf /g (1 − x)n dx .

(1.7)

f¨ ur f = 1, g = 0 erh¨alt man auf der linken Seite nun n! aber auf der rechten den unbestimmten Ausdruck Z 1 1/0 x (1 − x)n dx . 0n+1 0 Zur Berechnung des Grenzwertes auf der rechten Seite von (1.7) macht Euler daher in g dem Integral die Variablensubstitution x f +g f¨ ur x und erh¨alt f¨ ur die rechte Seite von (1.7) Z 1 g f + (n + 1)g (1 − xg/(f +g) )n dx . n+1 g 0 f +g Diesen Ausdruck kann man auch so schreiben Z f + (n + 1)g 1  1 − xg/(f +g) n dx . (1.8) (f + g)n+1 0 g/(f + g) Euler macht abermals den Versuch, f = 1 und g = 0 zu setzen, und bekommt den unbestimmten Ausdruck Z 1 1 − x0 n dx. 0 0 Nach der Regel von de L’Hospital9 berechnet er nun korrekt den Grenzwert von 1 − xz z f¨ ur z → 0 und schreibt 1 − x0 = − log x. 0 Dies setzt er ein und findet Z 1 n! = (− log x)n dx. 0

¨ Euler hat also beim Ubergang zum Grenzwert f¨ ur g → 0 Integration und Grenzwertbildung vertauscht, was im vorliegenden Fall auch gerechtfertigt ist. Daß die beiden Darstellungen (1.4) und (1.5) zum gleichen Ergebnis f¨ uhren zeigt er nicht. Der Grund daf¨ ur, daß Euler seine erste L¨osung nicht weiter verfolgte, mag daran gelegen haben, daß er diese L¨osung nicht als eine Funktion verstanden hat. Unter einer Funktion einer variablen Gr¨oße verstand Euler (seinem Lehrer Johann I. Bernoulli folgend) einen analytischen Ausdruck der in irgendeiner Weise aus dieser variablen Gr¨oße und konstanten Gr¨oßen zusammengesetzt ist. Zu den hierbei zugelassenen Operationen z¨ahlte Euler algebraische Operationen (wozu auch die L¨osung algebraischer Gleichungen geh¨orte), transzendente Operationen, Exponential und logarithmische Funktionen sowie andere Operationen, wobei der Integralkalk¨ ul und die Integration von Differentialgleichungen eingeschlossen war10. 9Euler

nennt die Regel nicht bei diesem Namen. Vielleicht war ihm bekannt, daß Johann I. Bernoulli diese Regel l’Hospital in einem Brief vom 22.7.1694 mitgeteilt hatte. 10Hierzu und zur Entwicklung des Funktionsbegriffes bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts sei auf [110] verwiesen.

1. GESCHICHTE DER Γ–FUNKTION

9

Inwieweit Bernoulli, Goldbach und Euler bei Ihren Bem¨ uhungen um die Interpolation der Fakult¨atenfolge durch das eingangs geschilderte Leibnizsche Problem der fraktionalen Differentiation motiviert waren, ist mir nicht bekannt. Ich nehme jedoch an, daß Daniel Bernoulli den Briefwechsel seines Vaters mit Leibniz und damit auch dieses Problem kannte. Jedenfalls geht Euler in seiner Arbeit auf diese Frage etwas ein. Es gilt ja f¨ ur 0 ≤ n ≤ e aus N0 (in heutiger Schreibweise) mit der von ihm gewonnen Integraldarstellung der Fakult¨aten: R1 (− log x)e dx dn z e e! e−n e−n 0 . = z = z R 1 dz n (e − n)! (− log x)e−n dx 0

wobei die rechte Seite nun f¨ ur alle n, e ≥ 0 mit n ≤ e definiert ist. Es liegt also nahe, f¨ ur alle solchen n, e zu definieren R1 (− log x)e dx dn z e e−n 0 := z R 1 . dz n (− log x)e−n dx 0

Als Beispiel behandelt Euler den Fall n = 1/2, e = 1 und erh¨alt (in heutiger Notation): R1 r − log x dx z d1/2 z √ 0 = zR1 . =2 1/2 1/2 dz π (− log x) dx 0

In einer sp¨ateren Arbeit [30] aus dem Jahre 1769 gibt Euler auch die Darstellung Z ∞ n! = xn e−x dx 0

an, die man mit der Variablensubstitution t = e−x aus der ersten Integraldarstellung erh¨alt. Aus beiden Integraldarstellungen folgt leicht die Funktionalgleichung (n + 1)! = (n + 1) · n! ,

n > 0.

Er erkannte auch, daß sich die Fakult¨atenfunktion auf R \ (−N) fortsetzen l¨aßt und erhielt aus der Produktdarstellung die Eulersche Reflexionsformel : m Y k2 πx x!(−x)! = lim = , x ∈ R \ Z, 2 2 m→∞ k −x sin πx k=1

wobei die letzte Gleichung aus der unendlichen Produktdarstellung f¨ ur die Sinusfunktion folgt, die Euler im ersten Band seines ber¨ uhmten Werkes Introductio in analysis infinitorum (1748) erhalten hatte. In der erst nach seinem Tode ver¨offentlichte Arbeit [32], S. 433, leitet Euler die folgende interessante Multiplikationsformel her: r n−1 Y k (n − 1)! (2π)n − 1 != . (1.9) n nn−1 n k=1 1.3. Weitere Entwicklung im 19. Jahrhundert. Die heute u ¨bliche Bezeichnung Γ f¨ ur die Gammafunktion, die im Argument um 1 verschobene Fakult¨atenfunktion Z ∞ Γ(x) = tx−1 e−t dt , x > 0, 0

wurde von Adrien Marie Legendre (1752–1833) im Jahre 1811 eingef¨ uhrt. Dieser zeigte auch 1809 die nach ihm benannte Verdoppelungsformel  1 22z−1 √ Γ(z)Γ z + Γ(2z) = 2 π

10

1. DIE Γ–FUNKTION

(die wir in Satz 1.11 beweisen werden) und f¨ uhrte umfangreiche Untersuchengen zu den Eulerschen Integralen erster Art Z 1 p q := xp−1 (1 − xn ) n −1 dx q 0 11 durch . Ferner bewies er folgende schnell konvergente Reihendarstellung f¨ ur log x!: ∞ X 1 − S2k+1 1 πx 1 1−x log x! = log + = log + (1 − γ)x + x2k+1 . 2 sin πx 2 1+x 2k + 1 k=1 P∞ −k Hierbei ist γ die Euler-Mascheroni-Konstante und Sk := j=1 j , k ∈ N. Die Bezeichnung Betafunktion und Z 1 B(x, y) := tx−1 (1 − t)y−1 dt 0

¨ geht auf Jacques Philippe Marie Binet (1786-1856) zur¨ uck. Die in Ubungsaufgabe 1.7 zu zeigende Beziehung (x − 1)! · (y − 1)! B(x, y) = (x + y − 1)! war bereits Euler bekannt [31]. Eine einfache Variablentransformation zeigt: p 1 p q = ·B , , p, q > 0, q n n n Viele der von Euler, Legendre und Binet durch umfangreiche Rechnungen gefundenen Aussagen u ¨ber die Eulerschen Integrale erster Art lassen sich hiermit unmittelbar auf einfache Eigenschaften der Gammafunktion zur¨ uckf¨ uhren. Carl Friedrich Gauß (1777-1855) hat sich anscheinend Ende 1796 ebenfalls mit dem Leibnizschen Problem der gebrochenen Ableitung befaßt; zumindest deutet eine Eintragung vom 23. Dezember 1796 in seinem mathematischen Tagebuch [48, 49] darauf hin. Weiterf¨ uhrende Untersuchungen hierzu sind jedoch nicht erhalten. Um diese Zeit begann er auch mit Untersuchungen zu den Eulerschen Integralen erster Art. Er verwendete die Bezeichnung Πz f¨ ur die Fakult¨atenfunktion, konnte sich damit aber nicht durchsetzen. Seine grundlegende, 1813 erschienene Arbeit [45] u ¨ber die hypergeometrische Funktion Disqusitiones generales circa seriem infinitam αβ α(α + 1)β(β + 1) α(α + 1)(α + 2)β(β + 1)(β + 2) 3 1+ x+ xx + x + etc. 1·γ 1 · 2 · γ(γ + 1) 1 · 2 · 3 · γ(γ + 1)(γ + 2)

Pars prior12 enth¨alt auch seinen Zugang zur Fakult¨atenfunktion. Gauß hat selbst eine “Anzeige” (also eine Art Autorenreferat) [47] in den G¨ottingi¨ schen gelehrten Anzeigen hierzu publiziert, in der er einen Uberblick u ¨ber die wichtigsten 13 Ergebnisse gibt . Der die Gammafunktion betreffende Teil dieser Anzeige sei hier wiedergegeben: Bei weitem den gr¨ossten Theil der Abhandlung nimmt der dritte Abschnitt ein, in welchem von dem Werthe der Reihe gehandelt wird, wenn man das vierte Element [also x] =1 setzt. Nachdem zuv¨orderst mit geometrischer Sch¨arfe bewiesen, dass die Reihe f¨ ur x = 1 nur dann zu einer endlichen Summe convergire, wenn γ − α − β eine positive Gr¨osse  Die Bezeichnung pq wurde von Euler schon in [31] verwendet. 12Ein zweiter Teil [46] wurde erst in seinen gesammelten Werken posthum publiziert. 13Diese Anzeige ist zusammen mit weiteren solcher Anzeigen auch in [91] abgedruckt.

11

1. GESCHICHTE DER Γ–FUNKTION

11

ist, f¨ uhrt der Verf. diese Summe oder F (α, β, γ, 1) auf den Ausdruck Π(γ−1)Π(γ−α−β−1) zur¨ uck, wo die Charakteristik Π eine eigene Art transΠ(γ−α−1)Π(γ−β−1) szendenter Functionen andeutet, deren Erzeugung der Verf. auf ein unendliches Product gr¨ undet. Diese in der ganzen Analyse h¨ochst wichtige Function ist im Grunde nichts anderes als Eulers inexplicable Function Πz = 1 · 2 · 3 · · · · · z allein diese Erzeugungsart ist, nach des Verf. Urtheil durchaus nicht statthaft, da sie nur f¨ ur ganze positive Werthe einen klaren Sinn hat. Die vom Verf. gew¨ahlte Begr¨ undungsart ist allgemein anwendbar, und gibt selbst bei imagin¨aren Werthen von z einen ebenso klaren Sinn, wie bei reellen und man l¨auft dabei durchaus keine Gefahr auf solche Paradoxen und Widerspr¨ uche, wie ehedem Hr. Kramp14 bei seinen numerischen Facult¨aten, die sich wie man leicht zeigen kann, auf obige Function zur¨ uckf¨ uhren lassen, aber zur Aufnahme in die Analyse weniger geeignet scheinen, als diese, da jene von drei Gr¨ossen abh¨angig sind, diese nur von einer abhngt, und doch als eben so allgemein betrachtet werden muss. Der Verf. w¨ unscht dieser transszendenten Function Πz in der Analyse das B¨ urgerrecht gegeben zu sehen, wozu vielleicht die Wahl eines eigenen Namens f¨ ur dieselbe am bef¨orderlichsten sein w¨ urde: Das Recht dazu mag demjenigen vorbehalten bleiben, der die wichtigsten Entdeckungen in der Theorie dieser den Anstrengungen der Geometer sehr w¨ urdigen Function machen wird. Hier ist von dem Verf. bereits eine bedeutende Anzahl merkw¨ urdiger, sie betreffender, Theoreme zusammengestellt, wovon ein Theil als neu zu betrachten ist. Der Raum verstattet uns nicht, in das Detail derselben hier einzugehen: nur das eine R heben wir davon aus, das der Werth des Integrals xλ−1 (1 − xµ )γ dx von x = 0 bis x = 1 leicht auf die Function Π zur¨ uckgef¨ uhrt werden kann, und alle die von Euler15 f¨ ur dergleichen Integrale zum Theil m¨ uhsam gefundenen Relationen sich mit gr¨osster Leichtigkeit aus den allgemeinen Eigenschaften jener Functionen ableiten lassen, so wie umgekehrt allemal Πz, wenn z eine Rationalgr¨osse ist, sich durch einige solche bestimmte Integrale darstellen l¨asst. Nicht weniger merkw¨ urdig ist die aus der Differentiation von Πz entspringende, gleichfalls transszendente, Function, oder vielmehr d log Πz dΠz = dz Πz · dz welche der Verfasser mit Ψz bezeichnet hat, und die gleichfalls eine besondere Benennung verdiente16 . Von den zahlreichen merkw¨ urdigen Eigenschaften dieser Function, welche in der Abhandlung aufgestellt sind, f¨ uhren wir hier nur die Eine an, dass allgemein Ψz − Ψ0, wenn z eine rationale Gr¨osse ist, auf Logarithmen und Kreisfunctionen zur¨ uckgef¨ uhrt werden kann; Ψ0 selbst aber ist die bekannte, von Euler und Andern untersuchte, Zahl 0.5772156649 . . . negativ genommen, welche der Verfasser hier, nach einer von ihm selbst gef¨ uhrten Rechnung, auf 23 Decimalen mittheilt, wovon die letzten von 14Wir

werden im folgenden Abschnitt auf die Hintergr¨ unde dieser Polemik eingehen. auch die von Legendre und Binet! 16Heute wird meist die im Argument um 1 verschobene Funktion Ψ := Γ′ /Γ, die auch Digammafunktion genannt wird, verwendet. 15Ubrigens ¨

12

1. DIE Γ–FUNKTION

Mascheroni’s Bestimmung etwas abweichen. Uebrigens h¨angen sowohl Πz, als auch Ψz, mit mehreren merkw¨ urdigen Integralen f¨ ur bestimmte Werthe der ver¨anderlichen Gr¨osse zusammen. 8

6

y

4

2

–4

–2

2

4

6

8

x –2

–4

–6

–8

Abbildung 1. Der Verlauf der Digammafunktion u ¨ber dem reellen Intervall [−4, 8] Diesem dritten Abschnitte ist noch eine unter der Aufsicht des Professors Gauss von Hrn. Nicolai mit gr¨osster Sorgfalt berechnete Tafel f¨ ur log Πz und f¨ ur Ψz beigef¨ ugt, worin das Argument z durch alle einzelnen Hunderttheile von 0 bis 1 fortschreitet; aus der Theorie dieser Functionen ist klar, dass man auf diese Werte von z alle andere leicht zur¨ uckf¨ uhren kann17 17W¨ ahrend

Gauß und Nicolai bei der Darstellung der ψ–Funktion den nat¨ urlichen Logarithmus verwenden, benutzen sie bei der Darstellung von log Πz den Logarithmus zur Basis 10. Genauer: Außer ¨ f¨ ur z = 0 und z = 1 sind in der Tabelle (ohne einen erkl¨arenden Kommentar) unter der Uberschrift log Πz statt der Werte f¨ ur log Πz die Werte f¨ ur 10 + log10 Πz wiedergegeben. Die Rechnung ist bis auf 20 Dezimalstellen genau. Eine fr¨ uhere numerische Tafel ist von Legendre bekannt. Er berechnete 1809 die Werte von log Γ(1 + x) auf dem kleineren Intervall [0, 1/2] mit einer Schrittweite von 0, 005 auf 7 Dezimalstellen, 1817 auf [0, 1] mit einer Schrittweite von 0, 001 und 7 Dezimalstellen und schließlich 1826 mit 12 Dezimalstellen. Christian Kramp berichtet in dem ersten Teil von [61] von einer auf 10 Dezimalen 10 Γ(x) (dort in anderer Schreibweise) durch Friedrich Wilhelm Bessel genau berechneten Tafel von log√ 2π (1784–1846) f¨ ur das Intervall [1, 2] mit einer Schrittweite von 0, 01 und rechnet diese auf log10 Π(x) im Intervall [0, 1] um und gibt die Tafel in ¨ ahnlicher Weise wieder (also in der Form 10 + log10 Π(x)) wie bei Gauß und Nicolai. Bessels Tafel ist in [13] in der u ¨ blichen Darstellung wiedergegeben. In einer Anmerkung zur zweiten Abhandlung u ¨ ber numerischen Fakult¨aten von Kramp in den Annales de Gergonne, schreibt der Herausgeber Joseph Diaz Gergonne (1771–1859) treffend zu den Tafeln von Legendre, Bessel und Gauß: “Voil` a donc trois g´eom`etres de premier ordre qui, faute de moyens rapide de communication, ont consomm´e un temps pr´ecieux en de p´enibles calculs, pour parvenir aux mˆemes r´esultats.”

1. GESCHICHTE DER Γ–FUNKTION

13

Außer auf die von Gauß selbst erw¨ahnten Resultate sei noch auf seine Multiplikationsformel hingewiesen (hier f¨ ur die Gammafunktion wiedergegeben): n−1 1 1 2 n − 1 Γ(nz) = (2π) 2 nnz− 2 Γ(z)Γ z + Γ z + ·····Γ z + n n n Diese Multiplikationsformel ist eine Verallgemeinerung der oben angegebenen Verdoppelungsformel von Legendre. Bei Gauß (Formel [57] in [45]) hat sie folgende Form:   1 nnz Πz · Π z − n1 · · · · · Π z − n−1 (2π) 2 (n−1) n √ = . Πnz n Im Spezialfall z = 1 ergibt sich die Eulersche Multiplikationsformel (1.9). Die Produktdarstellungen der Form 1 e−γz i= Q h Γ(z) = Q h   z z ∞ 1 + zj e− j z ∞ 1 + zj · j=1 j=1

 j+1 z j

i

gehen auf Oscar Xavier Schl¨omilch (1823–1901), 1844, 1848, Newman, 1848, und Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (1815–1897), 1856 zur¨ uck. Wir werden auf den Weierstraßschen Zugang hierzu im kommenden Abschnitt n¨aher eingehen. Viele transzendente Funktionen, wie z.B. die trigonometrischen Funktionen, sind zwar nicht algebraisch, sind aber L¨osungen einer Differentialgleichung mit algebraischen Koeffizienten. 1887 bewies Otto Ludwig H¨older (1859–1937) in [53] daß dies f¨ ur die Γ–Funktion nicht zutrifft. ¨ f¨ ur einen vollst¨andigeren Uberblick u ¨ber Untersuchungen zur Γ–Funktion im 19. Jahrhundert verweisen wir auf [78]. Alle die bisher angegebenen Eigenschaften der von Euler gefundenen die Fakult¨aten interpolierenden Funktion z 7→ Γ(z + 1) erkl¨aren noch nicht, warum diese Funktion die “richtige” Funktion ist. Auch die Funktion z 7→ Γ(z + 1) cos(2πz)

hat diese Eigenschaft und ist ebenfalls eine auf C meromorphe Funktion mit Polen nur in den negativen ganzen Zahlen. Noch sch¨oner ist die folgende 1894 von Hadamard angegebene, auf ganz C holomorphe L¨osung des Interpolationsproblems:  1 d  Γ − 2z   . H(z) := · Γ(−z) dz Γ 1−z 2

Es ergab sich also das Problem einer vern¨ unftigen Charakterisierung Der Γ–Funktion. Hierauf soll in den beiden folgenden Abschnitten eingegangen werden. 1.4. Analytische Fakult¨ aten. Analytische Fakult¨aten und die Weierstraßsche Charakterisierung der Γ–Funktion Der Verlauf der Entwicklung in der mathematischen Forschung ist nicht immer geradlinig. H¨aufig verrennen sich einzelne Mathematiker oder gar ganze Gruppen in einer Richtung und produzieren dann uninteressante, nicht sehr tief liegende oder gar falsche Ergebnisse. Die Aufgabe der Herausgeber mathematischer Schriften ist es, die Publikation solcher Arbeiten zu verhindern. Dies gelingt jedoch nicht immer, zumal wenn der Herausgeber selbst Anh¨anger einer solchen Richtung ist. Daß dies nicht unbedingt zum Schaden f¨ ur die weitere Entwicklung sein muß, zeigt der Fall der von Christian Kramp (1760–1826) initiierten Theorie der numerischen (oder analytischen) Fakult¨aten.

14

1. DIE Γ–FUNKTION

Kramp18, den Gauß in seiner Anzeige zu den “Disqusitiones” so heftig kritisiert hatte, hatte in seiner Vaterstadt Medizin studiert und 1786 promoviert. Er praktizierte als Arzt zun¨achst in Straßburg und Paris, wurde 1794 als Physikus und Lehrer der Geburtshilfe f¨ ur das F¨ urstentum Zweibr¨ ucken nach Meisenheim versetzt. Er publizierte ein Lehrbuch der Geburtshilfe und 1787 im Leipziger Magazin eine Arbeit Versuch, die Sterblichkeit durch einfache Gleichungen zu bestimmen. Schließlich wandte er sich mehr der Physik, Chemie und der Mathematik zu. Nach einer Zeit als Professor an der Zentralschule in K¨oln war er ab 1809 ordentlicher Professor der Mathematik an der Universit¨at in Straßburg und Korrespondent der Pariser Akademie. Er arbeitete unter anderem u ¨ ber Kettenbr¨ uche, N¨aherungsl¨osungen von Gleichungen, verfaßte eine zweib¨andige Geschichte der Aerostatik, arbeitete u ¨ber Kristallphysik und bestimmte den Schwerpunkt des Sph¨arischen Dreiecks. Er war wohl ein Anh¨anger der kombinatorischen Schule von Karl Friedrich Hindenburg (1741–1808), jedenfalls sind zahlreiche Briefe und Originalarbeiten von ihm in Hindenburgs Archiv der reinen und angewandten Mathematik und in dessen Sammlung combinatorisch-analytischer Abhandlungen erschienen. Auch in den Annales de Math´ematiques pures et appliqu´ees (Annales de Gergonne19) sind 30 Arbeiten und Briefe von ihm enthalten. Angeregt durch eine Arbeit ([104] von 1772) von Alexandre–Th´eophile Vandermonde (1736–1796) entwickelt Kramp in einem Kapitel seines 1798 erschienenen Hauptwerkes [59] Analyse des r´efractions astronomiques et terrestres eine allgemeine Theorie der von ihm sogenannten numerischen Fakult¨aten20 (facult´es num´eriques). Diese Theorie erregt rasch große Aufmerksamkeit. So geht etwa Sylvestre Fran¸cois Lacroix in dem 1800 erschienen Erg¨anzungsband [65] zu seinem sehr popul¨aren und in mehreren Auflagen erschienenen Trait´e du calcul diff´erentiel et du calcul int´egral, in dem auch die Vandermondesche Theorie abgehandelt wird bereits kurz auf diese Begriffsbildung ein. Kramp geht aus von Ausdr¨ ucken am|r := a(a + r)(a + 2r) · · · · · (a + (m − 1)r)

wobei a, r beliebig waren und zun¨achst m ∈ N und erh¨alt folgende Gleichungen am+n|r = am|r (a + mr)n|r , a1|r = a, (ka)

m|kr

r m|r

= k a

(1.11) ,

(1.12)

am|r = (a + (m − 1)r)m|−r , m|0

a

(1.10)

m

= a .

(1.13) (1.14)

Die ersten drei dieser Rechenregeln sind den Potenzrechenregeln am+n = am an ,

a1 = a,

(ka)m = k m am

so a¨hnlich, daß Kramp im ekzessiven (wie er sp¨ater in [61] selbst vermerkt) Vertrauen auf das Gesetz der Stetigkeit glaubte, die Existenz einer Funktion am|r (in den drei Ver¨anderlichen a, r, m) annehmen zu k¨onnen, f¨ ur die diese f¨ unf Beziehungen auch f¨ ur beliebige Werte von m g¨ ultig bleiben. Im Spezialfall a = 0, r = 1 h¨atte man dann auch wieder eine L¨osung des von Euler behandelten Interpolationsproblems. Er nannte a die Basis, m den Exponenten und r die Differenz. Die weiteren Rechnungen von Kramp f¨ uhrten jedoch zu offensichtlichen Widerspr¨ uchen. 18Die

folgenden Angaben zu Leben und Werk von Christian Kramp folgen dem Artikel von G¨ unther in der Allgemeinen Deutschen Biographie. 19Nach dem Herausgeber Joseph Diaz Gergonne (1771–1859). 20 daher r¨ uhrt auch die heutige Bezeichnung n Fakult¨at f¨ ur 1 · 2 · 3 · · · · · n.

1. GESCHICHTE DER Γ–FUNKTION

15

Gegen diese Fehler und die komplizierte Vorgehensweise von Kramp polemisiert Gauß in [45, 47]. In Abschnitt 22 seiner Arbeit [45] stellt er fest:  cb Π ac + b − 1 b|c  . a = (1.15) Π ac − 1

Dies ist jedenfalls richtig f¨ ur 0 6= c und b ∈ N. Gauß hat damit eine Funktion gefunden, m|r ∞ die die Folge (a )m=1 interpoliert und sich in einfacher Weise durch die nur von einer Variablen abh¨angige Funktion Π ausdr¨ ucken l¨aßt.

In zwei Briefen21 vom 10. M¨arz 1811 und vom 16. Oktober 1811, also zu der Zeit, als Gauß an den Disquisitiones arbeitete, schrieb Bessel ihm von eigenen Untersuchungen zu den “ber¨ uchtigten” Krampschen Fakult¨aten. Diese sind 1812 im K¨onigsberger Archiv f¨ ur Naturwissenschaften und Mathematik ([13]) erschienen. Er schreibt darin Die nat¨ urlichsten und fruchtbarsten Bedingungen, die man zur Erfindung des allgemeinen Werthes von am|r benutzen kann liegen in den S¨atzen (1) und (2)22; bestimmt man die Bedeutung der Fakult¨at durch diese, so wird man dadurch eine Function erhalten, welche nicht nur (1) und (2) sondern auch allen Relationen entspricht, die man aus (1) und (2) herleiten kann: also eine Facult¨at im Sinne Kramp’s. Bessel fordert noch zus¨atzlich die f¨ ur m ∈ N offensichtlich erf¨ ullte Bedingung am|r lim =1 a→+∞ am und verwendet auch (1.11). Unter diesen Bedingungen kommt er schließlich zu einer Darstellung    Q a+νr limn→∞ (nr)m n−1 ν=0 a+(m+ν)r , wenn r > 0   am|r = Q limn→∞ (nr)m n−1 a+(m−ν)r , wenn r < 0 ν=0 a−νr

Damit hat er eine f¨ ur alle reellen m definierte Interpolation von (am|r )∞ m=1 gefunden, die den Bedingungen (1.10) und (1.13) gen¨ ugt. f¨ ur positives x gilt dann 1x|1 = Π(x) = Γ(x + 1).

Kramp kannte die Resultate von Bessel und ver¨offentlichte umgehend eine Serie von drei weiteren Abhandlungen [61] zur Theorie der numerischen Fakult¨aten in den Annales de Gergonne. In diesen Arbeiten schreibt Kramp wie schon zuvor in [60] x! f¨ ur den Wert Π(x) (bei Gauß) bzw. Γ(x + 1) (bei Legendre). Alle drei Bezeichnungen werden auch noch heute verwendet23 . In der ersten der drei Abhandlungen entdeckt er auch die einfache Formel von Gauß (1.15). In der Einleitung zur zweiten Abhandlung ([61], S. 114) ¨andert er seine Namensgebung zu den bisherigen numerischen Fakult¨aten ab mit den Worten: J’ai prouv´e, dans un premier m´emoire, que toute facult´e ´etait r´eductible `a la forme tr`es-simple 1y|1 ou y!; mais comme les facult´es de cette derni`ere forme ne dispensent pas de la consid´eration des autres; afin de faire correspondre une diff´erence de d´enomination `a une diff´erence de symboles, j’appellerai, a l’avenir, Factorielles les fonctions de la forme g´en´erale ay|r , et je r´eserverai exclusivement le nom de Facult´es num´eriques, ou 21In

einem Antwortschreiben vom 21. November 1811 berichtet Gauss seinerseits von seinen Untersuchungen, die dann in den Disquisitiones [45] erschienen, und ¨außert sich zu Kramps Fakult¨aten in ¨ahnlicher Weise wie in der Kurzanzeige [47] zu den Disqusitiones. 22Diese entsprechen in unserer Numerierung den Formeln (1.10) und (1.13). 23Euler schrieb hierf¨ ur einfach 1 · 2 · 3 . . . · x (was von Gauß sp¨ater kritisiert wurde) oder auch [x] (wie z.B. in [31]).

16

1. DIE Γ–FUNKTION

simplement de Facult´es, pour d´esigner les fonctions de la forme 1y|1 ou y!, auquelles se r´eduisent les premi`eres, dans le cas particulier o` u l’on a a = 1 et r = 1. Mit diesen Worten scheint er mir zugleich auch auf die Polemik von Gauß einzugehen. Man sollte nun meinen, daß nach den klaren Worten von Gauß die Theorie der numerischen Fakult¨aten nicht weiter verfolgt w¨ urde. Dies war jedoch nicht der Fall: In den Jahren von 1823 bis 1854 erschienen Arbeiten und B¨ ucher [21, 22, 23] von August Leopold Crelle (1780–1855), [50] von Christoph Gudermann (1798–1852), [76] von Anton M¨ uller (1799–1860), [83, 84, 85] von Martin Ohm (1792–1872, Bruder des Physikers und Mathematikers Georg Simon Ohm, 1789–1854) und [79, 80, 81] von Ludwig Oettinger (1797–1869). 1823 erschien das Buch [21] des Bautechnikers und Mathematikers August Leopold Crelle und 1831 folgt eine umfangreiche Abhandlung [22] in dem von ihm in dem von ihm 1826 begr¨ undeten und w¨ahrend der ersten dreißig Jahre von ihm herausgegebenen Journal f¨ ur die reine und angewandte Mathematik24 (bis in die Gegenwart von Mathematikern gerne als Crelle Journal bezeichnet). Crelle war im preußischen Staatsdienst zum geheimen Oberbaurat und Mitglied der Oberbaudirektion aufgestiegen. Unter anderem wurde die Berlin–Potsdamer Eisenbahn unter seiner Leitung gebaut. Auch Crelle geht von den drei Gleichungen (1.10) – (1.12) aus: Eine analytische Fakult¨at ist f¨ ur ihn eine Funktion f in drei Variablen (der Basis u, der Differenz x und dem Exponenten y), die die folgenden drei Bedingungen erf¨ ullt: f (u, x, y + k) = f (u, x, y) · f (u + yx, x, k), f (ku, kx, y) = k y f (u, x, y), f (u, x, 1) = u.

(1.16) (1.17) (1.18)

Er findet die Funktionsschreibweise f¨ ur rechnerische Zwecke unbequem und f¨ uhrt die Notation (u, x)y f¨ ur f (u, x, y) ein. Aus den Bedingungen (1.16) – (1.18) leitet er anschließend alle weiteren Eigenschaften her. Im zweiten Band [82] seines neunb¨andigen Werkes Versuch eines vollkommen consequenten Systemes der Mathematik kritisiert Martin Ohm25 Crelles Buch [21] auf das heftigste. Unter anderem behauptet er, daß eine solche analytische Fakult¨at nicht existieren k¨onne, und spricht davon, daß Crelle nur allgemeine Formeln auf allgemeine Formeln geh¨auft hat, welche daher als solche gr¨osstenteils f¨ur todtgeborene gehalten werden m¨ussen 26. Karl Weierstraß (1815–1897) studierte zun¨achst ab 1834 vier Jahre Kameralistik (Rechtsund Verwaltungswissenschaften) in Bonn, brach das Studium aber ohne einen Abschluß zu machen ab. W¨ahrend dieser Zeit hat er sich schon im Selbststudium mit Werken von Laplace und Jacobi besch¨aftgt und die Mitschrift einer Vorlesung u ¨ber Modulfunktionen von Christoph Gudermann (1798–1852) gelesen. Um doch noch zu einem Studienabschluß zu kommen besuchte Weierstraß ab Mai 1839 die Akademischen Lehranstalt in M¨ unster, an der Gudermann lehrte, eine Ausbildungsst¨atte f¨ ur katholische Geistliche und 24

Daneben gab er von 1829 bis 1851 dreißig B¨ande des Journals f¨ ur die Baukunst heraus. Biographie Martin Ohms siehe [56]. 26Ein ausf¨ uhrlicheres Zitat der Ohmschen Kritik ist in [107] wiedergegeben. In [41] wird von einem Brief Abels an Hansteen w¨ ahrend Abels Aufenthalts in Berlin berichtet, in dem Abel schreibt, daß es fr¨ uher w¨ochentliche Treffen von Mathematikern in Crelles Haus gegeben habe, die Crelle aber aufgeben mußte wegen eines gewissen Ohm, mit dem niemand wegen dessen schrecklicher Arroganz auskommen konnte. Zu jener Zeit war Ohm außerorrdentlicher Professor an der Universit¨at Berlin, ab 1839 dann ordentlicher Professor. 25Zur

1. GESCHICHTE DER Γ–FUNKTION

17

f¨ ur Gymnasiallehrer, die das Promotions– und Habilitationsrecht nur f¨ ur die Theologische Fakult¨at besaß. 1842, nach erfolgreichem Abschluß, wurde er Lehrer am Katholischen Progymnasium in Deutsch–Krone (Westpreußen) und von 1848 bis 1855 unterrichtete er am Katholischen Gymnasium in Braunsberg (Ostpreußen). Er unterrichtete die F¨acher Mathematik, Physik, Deutsch, Botanik, Geographie, Geschichte, Turnen und Sch¨onschreiben. ¨ Seine Examensarbeit Uber die Entwicklung der Modular–Functionen [106] hatte er bei seinem Lehrer Gudermann geschrieben, der zu dem Bereich der modularen Funktionen eine ganze Serie von Arbeiten [51] in Crelles Journal publizierte. Gudermann war wie andere ebenfalls von der Bewegung der “kombinatorischen Analysis” beeinflußt27. Wahrscheinlich war Weierstraß schon in seiner M¨ unsteraner Zeit auf die Theorie der numerischen Fakult¨aten und die Kritik Ohms an dem Crelleschen Zugang zu dieser Theorie aufmerksam geworden. Er stellte fest, daß Ohm noch eine weitere Beziehung zugrundelegt, die Crelle nicht gefordert hat und die in der Tat nicht mit den drei Forderungen von Crelle vereinbar ist. Weiter bemerkte er, daß mit die von Gauß in den Disquisitiones vorgeschlagene numerische Fakult¨at  xy Π ux − 1 + y y  . (u, +x) = Π ux − 1

die Bedingungen von Crelle erf¨ ullt, so daß die Kritik von Ohm in diesem Punkt nicht gerechtfertigt ist. An anderer Stelle sagte Ohm, man m¨ usse sich sehr irren, wenn der f¨ ur y ∈ N richtige sogenannte binomische Lehrsatz f¨ ur ganze Fakult¨aten, kann f¨ ur gebrochene (oder gar allgemeine) Werte von y h¨ochstens in einer modifizierten Weise richtig sein. Weierstraß bets¨atigt dies, stellt aber fest, daß diese modifizierte Form tats¨achlich zumindest durch die Gaußsche numerische Fakult¨at erf¨ ullt ist. Er versucht, diese Korrektur in die Arbeit von Crelle einzuarbeiten, stellt aber fest, daß diese Arbeit noch weitere ¨ M¨angel hat. Crelle, dem Weierstraß seine Uberlegungen mitteilte, forderte ihn zu der Ver¨offentlichung derselben auf. Als Beilage zum Jahresbericht u ¨ber das Progymnasium zu Deutsch–Crone f¨ ur das Schuljahr 1842–1843 publiziert Weierstraß eine erste Arbeit zu diesem Thema. Darin zeigt er unter anderem, daß die analytischen Fakult¨aten von Crelle durch die Bedingungen (1.16) -(1.18) noch nicht eindeutig bestimmt ist: f¨ ur jede periodische Funktion28 ψ mit der Periode 1 er¨ ullt die durch   u u ψ + y − 1 + y − 1 Π x  ·  f (u, x, y) := xy x u (1.19) ψ x −1 Π ux − 1 definierte Funktion die Bedingungen (1.16) -(1.18).

Systematisch und in jeder Weise vollst¨andig und abschließend behandelt Weierstraß dieses Thema in der 1856 erschienenen (aber schon am 20. Mai 1854 beendeten) Arbeit ¨ Uber die Theorie der analytischen Fakult¨aten [108]. Zun¨achst beschreibt er der Reihe nach die verschiedenen Varianten der Fakult¨atentheorie von Kramp, Crelle, Bessel, Ohm und Oettinger und weist ihre Fehler und M¨angel nach. Er zeigt, daß die Menge aller Funktionen, die den Bedingungen (1.16) -(1.18) von Crelle gen¨ ugen durch (1.19) vollst¨andig 29 beschrieben ist . In einem eigenen Abschnitt behandelt er die Konvergenztheorie f¨ ur unendliche Produkte. f¨ ur die Funktion 1/Γ, die er mit F c bezeichnet und Factorielle nennt, 27siehe

z.B. [50]. Zur Auswirkung der Ausbildung durch Gudermann auf Weierstraß und seinen Zugang zur Funktionentheorie siehe die Analyse in [75]. 28Hierbei ist zu beachten, daß der Begriff der Funktion noch nicht ausreichend pr¨ azisiert war.Wahrscheinlich meinte Weierstraß analytische, nicht identisch verschwindende Funktionen ψ. 29vergl. die vorangehende Fußnote.

18

1. DIE Γ–FUNKTION

beweist er die Produktdarstellung30 F c(z) = z

∞ h Y j=1

z  j + 1 z i 1+ . · j j

Insbesondere ist also F c = 1/Γ eine ganze Funktion, die genau die Nullstellen −n, n = 0, 1, 2, 3, . . . besitzt. Schon aus diesem Grunde findet er diese Funktion besser geeignet als Ausgangspunkt f¨ ur das Studium der analytischen Fakult¨aten. Weiter zeigt er unter anderem, daß die Funktion F c vollst¨andig durch die folgenden drei Forderungen charakterisiert ist:

4

3

2

1

0 -4

-2

0

2

4

x -1

Abbildung 2. Der Verlauf von 1/Γ(x) u ¨ ber dem reellen Intervall [−4, 4].

F (u) = u · F (u + 1), (1.20) F (1) = 1, (1.21) u n F (u + n) lim = 1. (1.22) n→∞ F (n) Der Beweis zeigt genauer: Ist F eine Funktion mit Definitionsbereich D ⊆ C, so daß f¨ ur alle u ∈ D auch u + 1 ∈ D gilt, und erf¨ ullt F die Bedingungen (1.20) - (1.22), so gilt schon F (u) = F c(u) f¨ ur alle u ∈ D. Umgekehrt erf¨ ullt F c die Bedingungen (1.20) - (1.22) auf ganz C. Anhang: Im 18. und 19. Jahrhundert verwendete Bezeichnungen fu ¨r n! und die numerischen Fakult¨ aten. (a) Bezeichnungen f¨ur 1 · 2 · 3 · . . . · n f¨ ur n ∈ N: • [n] bei Euler z.B. in [31]. • ∆′ bei Euler z.B. in [33]31. 30Sp¨ ater,

bei der Herleitung des Produktsatzes von Weierstraß in [109] (1876) gab ihm diese Produktdarstellung die Idee zu der Einf¨ uhrung der Konvergenz erzeugenden Elementarfaktoren. 31Euler schrieb auch ∆ f¨ ur 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1).

1. GESCHICHTE DER Γ–FUNKTION

19

3

2

1

0 -3

-2

-1

0

1

2

3

-1

-2

-3

Abbildung 3. Das Bild des Quadrates mit den Eckpunkten −1 − i, −1 + i, 1 − i, 1 + i unter der Abbildung z 7→ 1/Γ(z). • [1]n bei Vandermonde in [104]. n

• • • • •

[n ] bei Lacroix [65], p. 76. 1n|1 bei Kramp [59], in der ersten H¨alfte des 19. Jahrhunderts sehr verbreitet. n! bei Kramp [60, 61]. (1, 1)n bei Crelle [21, 22]. n’ bei Gudermann [50] und Weierstraß [107].

(b) Bezeichnungen f¨ur a(a + r)(a + 2r) · . . . · (a + (m − 1)r) • am|r bei Kramp [59], in der ersten H¨alfte des 19. Jahrhunderts sehr verbreitet.m • [a,r ] bei Lacroix [65] und Gudermann [50]. • (a, r)m bei Crelle [21, 22] und Weierstraß [108]. 1.5. Charakterisierung der Γ–Funktion von Bohr und Mollerup. Schaut man sich den Graphen von Γ auf R an, so sieht man, daß Γ auf (0, ∞) eine konvexe Funktion ist. Dies gen¨ ugt jedoch noch nicht f¨ ur eine geometrische Charakterisierung: Man findet leicht konvexe, positive Funktionen Γ0 auf (0, ∞), die die Funktionalgleichung der Gammafunktion erf¨ ullen, mit Γ auf N u ¨bereinstimmen und doch von Γ verschieden sind. Nun ist die Ableitung von log Γ, also die Digammafunktion, auf (0, ∞) monoton wachsend, d.h. die Funktion x 7→ log Γ(x) ist auf (0, ∞) konvex. 1922 erhielten Harald Bohr (1887– 1951) (Bruder des Physikers Niels Bohr) und Johannes Mollerup (1872–1937) in [16] die folgende sch¨one Charakterisierung (vergl. Satz 1.8): Ist f : (0, ∞) → (0, ∞) eine positive logarithmisch konvexe Funktion mit f (1) = 1 und f (x + 1) = xf (x) f¨ur alle x > 0, so gilt schon f (x) = Γ(x) auf (0, ∞). Der Beweis dieses Satzes wurde durch Emil Artin (1898–1962) in seinem B¨ uchlein [6] u ber die Γ-Funktion noch so vereinfacht, daß man ihn auch in einer Anf¨ a ngervorlesung ¨ beweisen kann.

20

1. DIE Γ–FUNKTION

8 6 y

4 2

K4

K2

0

2

4 x

K2

6

8

K4 K6 K8 Abbildung 4. Der Verlauf der Γ-Funktion u ¨ber dem reellen Intervall [−4, 4] 2. Eigenschaften und Theorie der Γ–Funktion Nach unserem Exkurs in die Geschichte der Gammafunktion wollen wir uns nun iherer eigentlichen Theorie zuwenden. Im ersten Abschnitt geben wir verschiedene Darstellungen der Gammafunktion und zeigen, daß sie eine auf C meromorphe Funktion ist. 2.1. Verschiedene Darstellungen der Γ–Funktion. Wir definieren zun¨achst nach Euler (1769) f¨ ur Re(z) > 0 Z ∞

Γ(z) :=

e−t tz−1 dt .

(1.23)

0

Wegen |e−t tz−1 | = e−t tRe(z)−1 f¨ ur alle t > 0 existiert dieses uneigentliche Integral f¨ ur alle z ∈ C mit Re(z) > 0. F¨ ur z = 1 berechnet man Γ(1) = 1. Mit Hilfe von partieller Integration folgt die Funktionalgleichung der Gammafunktion Γ(z + 1) = zΓ(z) f¨ ur alle z ∈ C mit Re(z) > 0. Mit vollst¨andiger Induktion erh¨alt man hieraus Γ(n + 1) = n! f¨ ur alle n ∈ N0 .

Nach Prym (1876) zerlegen wir das Integral in (1.23) in der Form Z 1 Z ∞ −t z−1 Γ(z) = e t dt + e−t tz−1 dt = F1 (z) + F2 (z) . 0

1

Hierbei ist nun

F2 (z) =

Z



e−t tz−1 dt

1

f¨ ur alle z ∈ C definiert. Die Funktionen fn mit Z n fn (z) := e−t tz−1 dt f¨ ur alle z ∈ C 1

(1.24)

2. EIGENSCHAFTEN UND THEORIE DER Γ–FUNKTION

21

sind komplex differenzierbar (z.B. nach [3], Lemma 1.10 und Bemerkung 1.11) und damit auf C holomorph. F¨ ur alle r > 0 und alle z ∈ D(0, r) erhalten wir f¨ ur n → ∞: Z ∞ Z ∞ |F2 (z) − fn (z)| = e−t tz−1 dt ≤ e−t tRe(z)−1 dt ≤ n Z n∞ ≤ e−t tr−1 dt → 0 n

(fn )∞ n=1

Die Funktionenfolge konvergiert also kompakt auf C gegen F2 . Nach dem Satz von Weierstraß (Satz 4.4 in [3]) ist F2 daher eine ganze Funktion. F¨ ur F1 erhalten wir wegen der gleichm¨aßigen Konvergenz der Exponentialreihe auf [0, 1]: Z Z 1X ∞ ∞ X (−1)j 1 j+z−1 (−t)j z−1 t dt = t dt = F1 (z) = j! j! 0 0 j=0 j=0 =

∞ X (−1)j j=0

Wegen

j!

·

1 . z+j

∞ ∞ X j X 1 1 1 (−1) · · <∞ sup ≤ j! z + j j=2m j! m |z|≤m j=2m

P (−1)j 1 ist die Reihe ∞ j=0 j! · z+j kompakt in C \ (−N0 ) konvergent gegen eine meromorphe Funktion, welche nur in den Punkten −n Pole der Ordnung 1 mit dem Residuum (−1)n /n! besitzt. Wir halten fest: Satz 1.1. Durch Γ(z) :=

∞ X (−1)j j=0

j!

1 · + z+j

Z



e−t tz−1 dt

(1.25)

1

ist eine auf C meromorphe Funktion Γ erkl¨art, welche nur in den Punkten −n Pole der Ordnung 1 besitzt mit dem Residuum (−1)n /n! und f¨ur die gilt Γ(n + 1) = n!. Aus dieser Darstellung der Γ–Funktion ersieht man auch, daß Γ auf der reellen Achse, außerhalb der Polstellen reelle Werte annimmt. Da die Funktionen z 7→ Γ(z + 1) und z 7→ zΓ(z) auf der rechten Halbebene {z ∈ C ; Re(z) > 0} u ur alle z ∈ C \ (−N0 ) die ¨bereinstimmen, gilt nach dem Identit¨atssatz f¨ Funktionalgleichung (1.24). Zur Herleitung weiterer interessanter Darstellungen der Γ–Funktion ben¨otigen wir noch einige elementare Hilfsmittel. Lemma 1.2. F¨ur alle t ∈ [0, n] gilt

 t n e−t − 1 − ≥ 0. n Beweis. Mit hn (t) := 1 − et (1 − t/n)n gilt f¨ ur alle n ∈ N und 0 ≤ t ≤ n:   n−1 t t h′n (t) = et 1 − · ≥ 0. n n Also ist hn auf [0, n] monoton wachsend. Wegen hn (0) = 0 folgt hn (t) ≥ 0 auf [0, n] also auch  t n = e−t hn (t) ≥ 0 auf [0, n]. e−t − 1 − n 

22

1. DIE Γ–FUNKTION

4

3

2

1

4 2 y

0 –2

4 2 0 –4

–2

x

–4

Abbildung 5. |Γ(x + iy)| f¨ ur (x, y) ∈ [−4, 4] × [−4, 4] Lemma 1.3 (Eulersche Konstante). Der Grenzwert n X  1 γ := lim − log(n) n→∞ j j=1

existiert in R. γ = 0.5772156649 . . . heißt die Eulersche Konstante. Beweis. Es ist n X 1 j=1

Wegen

j+1

n−1

1 X − log(n) = + j n j=1

Z

j

j+1 

1 1 dt . − j t

Z j+1 Z j+1 1 1 t−j 1 0< dt = − dt ≤ dt = 2 2 j t jt j j j j j existiert der Grenzwert nach dem Majorantenkriterium. Z

1

Satz 1.4. F¨ur alle z ∈ C \ (−N0 ) gilt n!nz (Gauß, 1809) Γ(z) = lim n→∞ z(z + 1) · · · (z + n) e−γz = (Weierstraß 1842) ∞ h Y z  − zj i (Schl¨omilch 1844) z 1+ e j j=1



(1.26) (1.27)

2. EIGENSCHAFTEN UND THEORIE DER Γ–FUNKTION

23

Beweis. F¨ ur alle z ∈ C \ (−N0 ) und alle n ∈ N gilt: n n   Y X 1  − zj z n e exp z log(n) − j nz n! nz j=1 j=1 = = = n  n h n h Y Y Y z(z + 1) · · · (z + n) z z  − zj i z  − zj i z 1+ z z 1+ e 1+ e j j j j=1 j=1 j=1

Wegen Lemma 1.3 konvergiert der Z¨ahler des letzten Bruchs kompakt in C gegen die Funktion z 7→ e−γz . Der Nenner dieses Bruchs konvergiert nach der Weierstraßschen Theorie unendlicher Produkte (vergl. z.B. Satz 9.12 und den Bemerkungen 9.13 in [3]) kompakt in C gegen eine ganze Funktion, die nur in den Punkten aus −N0 Nullstellen besitzt (alle von der Ordnung 1). Hieraus folgt die kompakte Konvergenz der rechten ˜ mit Polen Seiten von (1.26) und (1.27) auf C \ (−N0 ) gegen eine meromorphe Funktion Γ ˜ mit der Γ–Funktion aus Satz 1.1 u nur in −N0 . Um zu zeigen, daß Γ ugt es ¨bereinstimmt, gen¨ nach dem Identit¨atssatz, dies f¨ ur alle z ∈ C mit Re(z) > 0 nachzuweisen. Auf der rechten Halbebene k¨onnen wir die Darstellung (1.23) verwenden und erhalten f¨ ur Re(z) > 0 unter Verwendung von Lemma 1.2: Z Z n n z−1 ∞  −t n  z−1 t t Γ(z) − 1− t dt t dt = e − χ[0,n] (t) 1 − n n 0 0 Z ∞ t n  Re(z)−1 −t ≤ e − χ[0,n] (t) 1 − t dt n 0 Z ∞ ≤ e−t tRe(z)−1 dt . 0

−t Re(z)−1

Da die Funktion t 7→ e t f¨ ur Re(z) > 0 auf [0, ∞) integrierbar ist, folgt wegen   t n Re(z)−1 e−t − χ[0,n] (t) 1 − t → 0 punktweise f¨ ur t > 0 und n → ∞ n nach dem Satz u ur Re(z) > 0 ¨ber die dominierte Konvergenz: Es ist f¨ Z n t n z−1 Γ(z) = lim t dt . (1.28) 1− n→∞ 0 n Ferner erh¨alt man mit der Substitution τ = t/n und n-facher partieller Integration Z 1 Z 1 Z n t n z−1 n z−1 z−1 z t dt =n (1 − τ )n τ z−1 dτ (1 − τ ) n τ dτ = n 1− n 0 0 0 nz n! . = z(z + 1) · · · (z + n) Setzen wir dies in (1.28) ein, so erhalten wir die G¨ ultigkeit von (1.26) auf der rechten Halbebene (und damit auf C \ (−N0 )).  Folgerung 1.5 (Eulersche Reflexionsformel, 1771). F¨ur alle z ∈ C \ Z gilt π Γ(z)Γ(1 − z) = . sin(πz)

(1.29)

Beweis. F¨ ur alle z ∈ C \ Z erh¨alt man unter Verwendung der Funktionalgleichung (1.24) und von (1.27) −z Γ(z)Γ(1 − z) = Γ(z)(−z)Γ(−z) = ∞  ∞ hY i z  −z/j ih Y  z 2 −z 1+ e 1 − ez/j j j j=1 j=1

24

1. DIE Γ–FUNKTION

Mit der von Euler angegebenen Produktdarstellung f¨ ur die Sinusfunktion (siehe z.B. [3], Beispiel 9.18) folgt hieraus die Behauptung.  Speziell f¨ ur z = 1/2 erhalten wir aus (1.29) Γ

1 √ = π. 2

(1.30)

Hiermit berechnet man mit der Variablensubstitution t = x2 Z ∞ Z ∞ Z ∞ 1 √ −x2 −x2 e dx = 2 = π. e dx = e−t t−1/2 dt = Γ 2 −∞ 0 0

Mit Hilfe der Funktionalgleichung (1.24) lassen sich hieraus weitere Werte berechnen, z.B. √ π 3 = . (1.31) Γ 2 2 2.2. Die Digammafunktion und der Satz von Bohr und Mollerup. Definition 1.6. Sei Ω ⊆ C offen und f ∈ O(Ω) ohne Nullstellen in Ω. Dann heißt f /f die logarithmische Ableitung von f auf Ω. ′

Ist auch g ∈ O(Ω) ohne Nullstellen in Ω, so rechnet man nach (f g)′ f ′ g′ = + . fg f g

Durch vollst¨andige Induktion ur endlich viele nullstellenfreien Funktionen Qsieht man, daß f¨ f1 , . . . , fn ∈ O(Ω) mit f := nj=1 fj gilt: n

f ′ X fj′ = . f f j=1 j

(1.32)

Es gilt sogar: Lemma 1.7. Sei Ω ⊆ C offen und sei (fn )∞ n=1Qeine Folge von nullstellenfreien Funktionen aus O(Ω), f¨ur die das unendliche Produkt ∞ n=1 fn kompakt konvergent gegen eine in Ω holomorphe nullstellenfreie Funktion f ist. Dann gilt ∞

f ′ X fj′ = f f j=1 j

mit kompakter Konvergenz in Ω. Q Beweis. Mit pn := nj=1 fj gilt nach (1.32) n

p′n X fj′ = . pn f j j=1

(1.33)

Nach dem Satz von Weierstraß folgt aus der kompakten Konvergenz von pn gegen f konvergiert, auch die kompakte Konvergenz von p′n gegen f ′ in Ω. Da f nullstellenfrei ist, u ¨berlegt man sich leicht, daß auch 1/pn → 1/f mit kompakter Konvergenz in Ω gilt. Also konvergiert die linke Seite und damit auch die rechte Seite von (1.33) gegen f ′ /f . 

2. EIGENSCHAFTEN UND THEORIE DER Γ–FUNKTION

25

Die logarithmische Ableitung der Γ–Funktion bezeichnet man meist mit Ψ und nennt sie auch die Digammafunktion. Wegen ∞ h Y 1 z zi = zeγz 1 + e− j f¨ ur alle z ∈ C \ (−N0 ) Γ(z) j j=1

erh¨alt man nach Lemma 1.7 f¨ ur alle z ∈ C \ (−N0 ):  ∞ 1 ′ (z) Γ′ (z) 1 X Γ Ψ(z) = =− 1 = −γ − + Γ(z) z j=1 Γ(z)  ∞  1 1 X 1 − =−γ− + z j=1 j j+z

− 1j

1+

z j

1 + j

!

= (1.34)

mit kompakter Konvergenz der Reihe. Nach dem Satz von Weierstraß (siehe z.B. [3], Satz 4.4) d¨ urfen wir gliedweise differenzieren und erhalten  ′ ′ ∞ X Γ 1 ′ Ψ (z) = (1.35) (z) = Γ (j + z)2 j=0 mit ebenfalls kompakter Konvergenz in C \ (−N0 ). Auf dem einfach zusammenh¨angenden Gebiet G := C \ {x ∈ R ; x ≤ 0} ist durch Z Γ′ (ζ) F (z) := dζ [1,z] Γ(ζ)

eine komplexe Stammfunktion zu Ψ = Γ′ /Γ auf G gegeben. Wegen  eF (z)  Γ′ (z) d  eF (z)  Γ(z)F ′ (z)eF (z) − Γ′ (z)eF (z) ′ = = Γ(z) · − Γ (z) ≡ 0 dz Γ(z) Γ(z)2 Γ(z)2 Γ(z) gilt ∀z ∈ G : exp(F (z)) = cΓ(z) mit einer Konstanten c ∈ C. Wegen F (1) = 0 und Γ(1) = 1 folgt c = 1. Wir schreiben daher f¨ ur alle z ∈ G Z Γ′ (ζ) Log(Γ(z)) = F (z) = dζ . (1.36) [1,z] Γ(ζ) z 7→ Log(Γ(z)) ist also die Stammfunktion zu Ψ auf G, die auf (0, ∞) mit log(Γ(x)) u ¨ bereinstimmt. Aus (1.35) folgt insbesondere, daß die Funktion x 7→ log(Γ(x)) auf {x ∈ R ; x > 0} eine konvexe Funktion ist, da die zweite Ableitung dort positiv ist. Es gilt sogar Satz 1.8 (Bohr–Mollerup, 1922). Ist f : (0, ∞) → (0, ∞) eine positive logarithmisch konvexe Funktion mit f (1) = 1 und f (x + 1) = xf (x) f¨ur alle x > 0, so gilt schon f (x) = Γ(x) auf (0, ∞). Beweis. F¨ ur konvexe Funktionen g : (0, ∞) → R und 0 < a < b < c gilt, wie man leicht nachrechnet: g(c) − g(a) g(c) − g(b) g(b) − g(a) ≤ ≤ . b−a c−a c−b Hieraus erh¨alt man f¨ ur g(x) = log(f (x)) wegen der Konvexit¨at von x 7→ log(f (x)) f¨ ur 0 < x < 1 (mit a = n, b = n + 1, c = n + 1 + x und a = n + 1, b = n + 1 + x, c = n + 2) 1 log(f (n + 1)) − log(f (n)) ≤ (log(f (n + 1 + x)) − log(f (n + 1))) ≤ x ≤ log(f (n + 2)) − log(f (n + 1)) .

26

1. DIE Γ–FUNKTION

Mit Hilfe der Funktionalgleichung f (x + 1) = xf (x) und der Anfangsbedingung f (1) = 1 geht diese Ungleichungskette u ¨ber in x log(n) ≤ log ((x + n)(x + n − 1) · · · (x + 1)xf (x)) − log(n!) ≤ x log(n + 1) , woraus man durch einfache Umformung     1 (x + n)(x + n − 1) · · · (x + 1)x · f (x) ≤ x log 1 + 0 ≤ log n!nx n erh¨alt. F¨ ur n → ∞ folgt daher mit (1.26)

n!nx f (x) = lim = Γ(x) . n→∞ (x + n)(x + n − 1) · · · (x + 1)x

Also gilt f (x) = Γ(x) f¨ ur 0 < x ≤ 1. Da beide Funktionen die Funktionalgleichung der Γ–Funktion erf¨ ullen, m¨ ussen sie dann auch auf ganz (0, ∞) u  ¨bereinstimmen. 2.3. Die Multiplikationsformel von Gauß. Wir leiten nun die Gaußsche Multiplikationsformel f¨ ur die Gammafunktion her: Satz 1.9. F¨ur alle n ∈ N und alle z ∈ C \ (−N0 ) gilt: n−1 1 X z + r  (a) Ψ(z) = log n + Ψ . n r=0 n n−1 Y z + r  1−n 1 Γ . (Gauß, 1812) (b) Γ(z) = nz− 2 (2π) 2 n r=0

Beweis. (a) Setzen wir zur Abk¨ urzung Ψm (z) := γ +

m−1 X j=0

1 1  − j+1 z+1

(m ∈ N, z ∈ C \ (−N0 )),

so erh¨alt man aus der Darstellung (1.35) der Digamma–Funktion Ψ(z) = lim Ψm (z)

(1.37)

m→∞

mit kompakter Konvergenz in C \ (−N0 ). F¨ ur alle m, n ∈ N, z ∈ C \ (−N0 ), gilt nun: Ψmn (z) = γ +

mn−1 X j=0

=γ+

m−1 X j=0

=γ+

m−1 X j=0

=

mn−1 X 1 1 − j+1 z+j j=0

mn−1 m−1 n−1 X 1 XX 1 1 + − j+1 j+1 z + kn + r j=m r=0 k=0

1 + j+1

mn−1 X

z+r k=0 n

1 +k

n−1  z + r  mn−n X 1X 1 1 Ψm + . j · n r=0 n m 1 + m j=1

F¨ ur m → ∞ folgt mit (1.37): n−1

j=m

n−1 m−1

1 XX 1 − j + 1 n r=0

z + r  1X Ψm + Ψ(z) = n r=0 n

Z

0

n−1

n−1

z + r  1 1X Ψm + log n . dx = 1+x n r=0 n

2. EIGENSCHAFTEN UND THEORIE DER Γ–FUNKTION

27

(b) Da die Funktion z 7→ LogΓ(z) eine Stammfunktion zu Ψ ist, folgt aus (a) durch ¨ Ubergang zur Stammfunktion n−1 z + r X LogΓ + z log n + C LogΓ(z) = n r=0

f¨ ur alle z ∈ C \ (−∞, 0] mit einer von z unabh¨angigen Konstanten C ∈ C. Einsetzen in die Exponentialfunktion ergibt n−1 Y z + r C z Γ Γ(z) = e n . (1.38) n r=0

Speziell f¨ ur z = 1 erh¨alt man sowohl n n−1 n−1 r Y Y r Y 1 + r  C C C Γ Γ =n·e =n·e Γ 1=n·e n n n r=1 r=1 r=0 als auch

C

1=n·e

n−1 Y r=1

Γ

n − r  n

.

Multplikation dieser beiden Gleichungen ergibt in Verbindung mit der Eulerschen Reflexionsformel (Folgerung 1.5) und Aufgabe 1.5 n−1 n−1 n−1 Y r  Y r 1 2 2C 2 2C n−1 2 2C n−1 2 Γ 1=n ·e Γ 1− =n ·e π =n ·e π · . n n sin( nr π) n r=1 r=1

L¨ost man dies nach eC auf und setzt das Ergebnis in (1.38) ein, so folgt die Behauptung f¨ ur alle z ∈ C \ (−∞, 0] und damit nach dem Identit¨atssatz f¨ ur alle z ∈ C \ (−N0 ).  Im Spezialfall z = 1 ergibt sich aus der Gaußschen Multiplikationsformel die schon Euler bekannte Multiplikationsformel (1.9). Auch die folgende Eulersche Multiplikationsformel von 1748 f¨ ur die Sinusfunktion erhalten wir als Folgerung der Gaußschen Multiplikationsformel.

Folgerung 1.10 (Eulersche Multiplikationsformel f¨ ur die Sinusfunktion). F¨ur alle z ∈ C und alle n ∈ N gilt n−1  z + rπ  Y sin(z) = 2n−1 sin . n r=0

Beweis. Aufgrund des Identit¨atssatzes gen¨ ugt es, die Behauptung f¨ ur alle x ∈ (0, π) zu beweisen. Nach der Gaußschen Multiplikationsformel gilt n−1 x Y  x + r n−1 1 x Γ π Γ = n π − 2 (2π) 2 π n r=0

und

n−1  Y 1 − xx + r  1−n x x 1− π − 12 π =n (2π) 2 Γ Γ 1− π n r=0 1

x

= n 2 − π (2π)

1−n 2

n−1 Y r=0

=n

1 −x 2 π

(2π)

1−n 2

n−1 Y r=0

Γ

1 −

 Γ 1−

x π

x π

+ n − 1 − r n + r n

28

1. DIE Γ–FUNKTION

Die Multiplikation dieser beiden Gleichungen liefert in Verbindung mit dem Eulerschen ¨ Reflexionssatz (nach Ubergang zum Kehrwert): n−1  x + rπ  sin(x) 2n−1 Y sin = π π r=0 n und damit die Behauptung.



F¨ ur n = 2 und durch Ersetzen von z durch 2z erhalten wir mit der Gaußschen Multiplikationsformel die folgende Verdoppelungsformel von Legendre: Satz 1.11 (Verdoppelungsformel von Legendre, 1809). F¨ur alle z ∈ C \ (−N0 ) gilt:  22z−1 1 Γ(2z) = √ Γ(z)Γ z + . π 2 2.4. Integraldarstellungen fu ¨r Ψ und log Γ. Mit Hilfe der Integraldarstellung (1.23) der Γ–Funktion leiten wir nun eine Integraldarstellung von Ψ = Γ′ /Γ auf der rechten Halbebene her. Satz 1.12. F¨ur alle z ∈ C mit Re(z) > 0 gilt:   Z ∞ Z ∞  −t e−tz dx 1 e Γ′ (z) −x dt . = = − e − Ψ(z) = Γ(z) (x + 1)z x t 1 − e−t 0 0 Beweis. Nach (1.23) gilt f¨ ur alle z ∈ Hr := {z ∈ C ; Re(z) > 0} Z n Γ(z) = lim e−t tz−1 dt . n→∞

1/n

Durch direktes Nachrechnen sieht man, daß hierbei die Konvergenz gleichm¨aßig auf jeder kompakten Teilmenge von Hr erfolgt. Nach dem Satz von Weierstraß (siehe z.B. [3], Satz 4.4) erhalten wir also Z n Z n Z n d d −t z−1  ′ −t z−1 Γ (z) = lim e t dt = lim e t dt = lim e−t log(t)tz−1 dt = n→∞ dz 1/n n→∞ 1/n n→∞ 1/n dz Z ∞ = e−t log(t)tz−1 dt . 0

Wir k¨onnen hierin log(t) durch ein Frullani–Integral (vergl. Aufgabe 1.3) ausdr¨ ucken: Z ∞ −x −tx e −e log(t) = dx , x 0 R ∞ −x −tx wobei auch 0 e −e dx existiert, da der Integrand in 0 stetig erg¨anzbar ist. Mit Hilfe x des Satzes von Fubini erhalten wir Z ∞ Z ∞ −x e − e−tx ′ −t dxtz−1 dt Γ (z) = e x Z0 ∞ Z ∞ 0  dx = e−x e−t tz−1 − e−t(x+1) tz−1 dt x Z0 ∞ 0  dx = e−x Γ(z) − I(x, z) x 0 mit Z ∞ e−t(x+1) tz−1 dt .

I(x, z) :=

0

2. EIGENSCHAFTEN UND THEORIE DER Γ–FUNKTION

29

Mit der Variablensubstitution u := t(x + 1) erhalten wir Z ∞ Γ(z) 1 . e−u uz−1du = I(x, z) = z (x + 1) 0 (x + 1)z Setzen wir dies ein, so folgt f¨ ur alle z ∈ Hr Z ∞ ′ Γ (z) = Γ(z) e−x − 0

1 (x + 1)z



dx , x

woraus sich nach Division durch Γ(z) die erste behauptete Integraldarstellung von Ψ ergibt. Insbesondere erhalten wir f¨ ur alle z ∈ Hr  Z ∞ −x Z ∞ 1 e dx − dx , Ψ(z) = lim δ→0 x x(x + 1)z δ δ und hieraus verm¨oge der Substitution t = log(x + 1) beim rechten Integral Z ∞ −x  Z ∞ e e−tz Ψ(z) = lim dx − dt −t δ→0 x δ log(δ+1) 1 − e  Z ∞ Z δ e−t e−t e−tz − dt − dt = lim δ→0 1 − e−t log(δ+1) t log(δ+1) t Wegen 0≤

Z

δ log(δ+1)

e−t dt ≤ t

Z

δ log(δ+1)

f¨ ur δ ց 0 folgt also f¨ ur Re(z) > 0 Ψ(z) =

Z

∞ 0

δ 1 dt = −1→0 log(δ + 1) log(δ + 1)



e−tz e−t − t 1 − e−t

und damit die Behauptung.



dt 

Mit Hilfe der in Satz 1.12 bereitgestellten Integralformel f¨ ur die Digammafunktion werden wir eine Darstellung von LogΓ herleiten, die beim Beweis der Stirlingschen Formel im kommenden Abschnitt n¨ utzlich sein wird. Hierzu ben¨otigen wir das folgende Resultat f¨ ur die Laplace–Transformation. Satz 1.13 (Dirichlet–Kriterium f¨ ur die Laplace–Transformation). Sei f : [0, ∞) → R eine auf [0, ∞) stetig differenzierbare Funktion mit f (t) → 0 f¨ur t → ∞ welche f¨ur ein t0 ≥ 0 auf [t0 , ∞) monoton ist. Dann existiert f¨ur alle 0 6= z ∈ Hr = {z ∈ C ; Re(z) ≥ 0} das uneigentliche Riemann–Integral Z ∞ F (z) = f (t)e−tz dt 0

und die hierdurch auf Hr \ {0} definierte Funktion F : Hr \ {0} → C ist stetig und auf Hr holomorph. Beweis. Indem wir notfalls f durch −f ersetzen, k¨onnen wir ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit voraussetzen, daß f auf [t0 , ∞) monoton fallend ist. Wir zeigen, die gleichm¨aßige Konvergenz Z c Fc (z) := f (t)e−tz dt → F (z) 0

30

1. DIE Γ–FUNKTION

in z auf jeder kompakten Teilmenge von Hr \ {0} f¨ ur c → ∞. Sei also K eine beliebige kompakte Teilmenge von Hr \ {0} und sei ε > 0 beliebig. Wegen f (t) → 0 f¨ ur t → ∞ gibt es ein t1 ≥ t0 mit f (t) = |f (t)| < dist(0, K)

ε 2

f¨ ur alle t > t1 .

(1.39)

F¨ ur t0 ≤ b ≤ c folgt mit partieller Integration f¨ ur alle z ∈ K (unter Verwendung von |e−tz | = e−Re(tz) ≤ 1 f¨ ur t > 0 und z ∈ Hr sowie |f (t)| = f (t) und |f ′(t)| ≡ −f ′ (t) f¨ ur t ≥ t0 ) nach (1.39): Z Z c 1 1 −zc 1 c ′ −zb −tz |Fc (z) − Fb (z)| = f (t)e dt = e f (b) − e f (c) + f (t)e−tz dt z z z b b Z c 1 1 2 ≤ (|f (b)| + |f (c)|) + f (b) < ε . −f ′ (t) dt = |z| |z| b |z| Also konvergiert Fc gleichm¨aßig auf allen kompakten Teilmengen von Hr \ {0} gegen F . Da die Funktionen Fc , c > 0, auf C holomorph sind, folgt die Stetigkeit von F auf Hr \ {0} und die Holomorphie von F auf der offenen, rechten Halbebene Hr .  Satz 1.14. F¨ur alle 0 6= z ∈ Hr = {z ∈ C ; Re(z) ≥ 0} gilt 1 1 log(z) − z + log(2π) + ω(z) Log(Γ(z)) = z − 2 Z ∞ 2 1 t  −tz t mit ω(z) = e dt . − 1 + t2 et − 1 2 0

(1.40)

Beweis. Die (in 0 durch f (0) := 1/12 erg¨anzte) Funktion f : [0, ∞) → R mit f (t) :=

1 t t − 1 + t2 et − 1 2

f¨ ur alle t ≥ 0 ist nach Aufgabe 1.2 auf [0, ∞) beliebig oft differenzierbar, und monoton fallend mit f (t) → 0 f¨ ur t → ∞. Nach dem soeben gezeigten Satz 1.13 ist ω daher auf ganz Hr \ {0} stetig und auf Hr holomorph. Da LogΓ auf C \ (−∞, 0] holomorph und somit insbesondere auf Hr \ {0} stetig ist, gen¨ ugt es, die Gleichung (1.40) f¨ ur alle z ∈ Hr nachzuweisen. Sei also z ∈ Hr beliebig. Nach der zweiten Integralformel f¨ ur Ψ aus Satz 1.12 folgt Z ∞  −t Z ∞  −t e−tz e−t  e−tz  e e dt dt = − − Ψ(z + 1) = t 1 − e−t t et − 1 0 0 Z ∞ −t Z Z ∞ e − e−tz 1 ∞ −tz 1 1 1  −tz = e dt e dt − dt + − + t t 2 0 2 t e −1 0 0 Z ∞ 1 1  −tz 1 1 =Log(z) + e dt . − − + t 2z 2 t e −1 0 Integration l¨angs der Strecke [1, z] von 1 nach z ergibt: Log(Γ(z + 1)) =Log(Γ(z + 1)) − Log(Γ(2)) Z Z ∞ 1  −tζ 1 1 1 e dt dζ . − + t =(Log(z) − 1)z + 1 + Log(z) − 2 2 t e −1 [1,z] 0

2. EIGENSCHAFTEN UND THEORIE DER Γ–FUNKTION

31

Wegen Log(Γ(z +1)) = Log(z)+Log(Γ(z)) (was man leicht mit Hilfe von (1.24) verifiziert) erhalten wir mit Vertauschung der Integrationsreihenfolge nach Fubini 1 Log(Γ(z)) = − Log(z) + (Log(z) − 1)z + 1 + Log(z)+ 2 Z ∞  −tz e − e−t 1 1 1 + − + t dt (1.41) 2 t e −1 t 0 Z ∞  1 Log(z) − z + 1 + f (t)(e−tz − e−t ) dt . = z− 2 0 Mit Z Z ∞ Z ∞ 1 ∞ t  −t/2 −t f e dt und J := f (t)e−t/2 dt I := f (t)e dt = 2 0 2 0 0 hat man einerseits  Z ∞  −t/2 dt 1 e − t (1.42) J −I = t e −1 t 0 und andererseits aus (1.41) (mit z = 1/2) unter Verwendung von (1.30)   1 1 1 1 J − I = log Γ − = log(π) − . (1.43) 2 2 2 2 Hiermit ergibt sich Z ∞  −t/2 e − e−t e−t  dt − J =(J − I) + I = t 2 t 0 Z ∞  −t −t/2  −t/2 −t  e −e d e −e + dt = − dt t 2t 0 ∞ Z 1 ∞ e−t − e−t/2 e−t/2 − e−t dt =− +2 t t 0 0 1 1 1 = + log . 2 2 2 Mit (1.43) erhalten wir also f¨ ur I: 1 I = 1 − log(2π) . 2 Setzen wir diesen Wert von I in (1.41) ein, so folgt (1.40) f¨ ur Re(z) > 0  2.5. Die allgemeine Stirlingsche Formel. f¨ ur 0 < α < π untersuchen wir nun das asymptotische Verhalten von Γ(z) in dem Winkelbereich Sα := {reiϕ ; r > 0, |ϕ| ≤ α}. Zun¨achst erhalten wir mit Satz 1.14 eine asymptotische Entwicklung f¨ ur LogΓ auf Hr \ {0}. Hierzu beachten wir, daß f¨ ur die Funktion f aus dem Beweis zu Satz 1.14 gilt: Alle Ableitungen von f der Ordnung ≥ 1 sind auf [0, ∞) absolut integrierbar. Dies zeigt man leicht durch vollst¨andige Induktion nach der Ableitungsordnung. Mit partieller Integration folgt f¨ ur 0 6= z ∈ Hr Z ∞ Z Z f (0) 1 ∞ ′ 1 1 ∞ ′ −tz −tz ω(z) = f (t)e dt = + f (t)e dt = + f (t)e−tz dt z z 0 12z z 0 0 ′ ′ ′ und hieraus nach (1.40) wegen |f (t)| = −f (t) und f (t) → 0 f¨ ur 0 ≤ t → ∞: 1 1 log(z) + z − log(2π) = |ω(z)| LogΓ(z) − z − 2 2 Z ∞ 1 (1.44) 1 1 (−f ′ (t)) dt = + ≤ 12|z| |z| 0 6|z|

32

1. DIE Γ–FUNKTION

Durch mehrfache partielle Integration erhalten wir Approximationen h¨oherer Ordnung von LogΓ: Z Z 1 1 ∞ ′ f (0) f ′ (0) 1 ∞ ′′ −tz ω(z) = + f (t)e dt = + 2 + 2 f (t)e−tz dt = . . . 12z z 0 z z z 0 Z n ∞ (k) X f (0) 1 + = f (n+1) (z)e−tz dt . k+1 n+1 z z 0 k=0 Mit Aufgabe 1.2 folgt

Bk+2 (k + 1)(k + 2) = 0 f¨ ur alle k ∈ N. Damit erhalten wir f k (0) =

und B2k+1

Satz 1.15. F¨ur alle 0 6= z ∈ Hr gilt

n

X 1 B2k+2 1 1 LogΓ(z) = z − log(z) − z + log(2π) + + 2n+2 Rn (z) 2k+1 2 2 (2k + 1)(2k + 2)z z k=0

mit

Z |Rn (z)| =

∞ 0

f

2n+2

−tz

(t)e

Z dt ≤ Cn :=

0



|f 2n+2 (t)| dt < ∞.

F¨ ur n = 4 erhalten wir etwa  1  1 1 1 1 1 1 1 . − + − + +O LogΓ(z) = z− log(z)−z+ log(2π)+ 2 2 12z 360z 3 1260z 5 1680z 7 1188z 9 z 10 F¨ ur die Gammafunktion selbst erhalten wir nun: Satz 1.16. F ¨ur alle α ∈ (0, π) gilt in Sα :    1   √ 1 1 Log(z) − z · 1 + +O Γ(z) = 2π exp z − 2 12z |z|2

(1.45)

f¨ur |z| → ∞. F¨ur x ∈ (0, ∞) gilt also   1  √ 1 (x−1/2) −x Γ(x) = 2πx 1+ e f¨ur x → ∞ . (1.46) +O 2 12x x Insbesondere folgt f¨ur n ∈ N die Stirlingsche Formel  n n   1  √ 1 1+ n! = 2πn f¨ur n → ∞ . (1.47) +O 2 e 12n n Beweis. Wir beweisen die asymptotische Darstellung (1.45) zun¨achst in der abgeschlossenen rechten Halbebene Hr = {z ∈ C ; Re(z) ≥ 0}. Wenden wir auf (1.40) die Exponentialfunktion an,   √ 1 Log(z) − z eω(z) , (1.48) Γ(z) = 2π exp z − 2 so folgt (1.45) f¨ ur 0 < α ≤ π/2, denn wegen Satz 1.15 gilt ∞  1  X 1 ω(z)n−1 ω(z) e = 1 + ω(z) f¨ ur |z| → ∞ in Hr . =1+ +O (1.49) n! 12z |z|2 n=1

(1.46) ist nun klar und (1.47) folgt aus (1.46) unter Beachtung von n! = Γ(n+1) = nΓ(n). Sei nun π/2 < α < π. F¨ ur w ∈ Sα mit Re(w) < 0 ist z := −w ∈ Hr . Mit der Eulerschen Reflexionsformel (1.5) und (1.24) erhalten wir −π Γ(z)Γ(−z) = z sin(πz)

2. EIGENSCHAFTEN UND THEORIE DER Γ–FUNKTION

33

und hieraus mit (1.48) −π z sin(πz)Γ(z) −π    = √ 1 z sin(πz) 2π exp z − 2 Log(z) − z eω(z)    √ − z − 12 Log(z) − z e−ω(z) i 2π exp = −2i sin(πz)

Γ(w) =Γ(−z) =

Beachten wir nun noch −2i sin(z) = 2i sin(w) = eiπw − e−iπw und ( Log(w) − iπ falls Im(w) > 0 Log(z) = Log(−w) = Log(w) + iπ falls Im(w) < 0 , so erhalten wir im Fall Im(w) > 0:    √ 1 2π exp w − 2 Log(w) + w e−ω(−w) Γ(w) = 1 − e+i2πw

Nun gilt f¨ ur w ∈ Sα mit Im(w) > 0 und Re(w) < 0 und alle k > 0: |ei2πw | = e−2πIm(w) ≤ e−2π sin(α)|w| = o(|w|−k )

f¨ ur |w| → ∞

und unter Verwendung von (1.49) e−ω(−w) = 1 +

1 + O(|w|−2) 12w

f¨ ur |w| → ∞ .

Hiermit erh¨alt man (1.45) auch auf {w ∈ Sα ; Im(w) > 0, Re(w) < 0}. Den Bereich {w ∈ Sα ; Im(w) < 0, Re(w) < 0} behandelt man analog.



Verwendet man Approximationen h¨oherer Ordnung f¨ ur LogΓ, so erh¨alt man Approximationen h¨oherer Ordnung f¨ ur die Gammafunktion wie z.B.     1   √ 1 1 139 1 Γ(z) = 2π exp z − Log(z) − z · 1 + + − +O 2 12z 288z 2 51840z 3 |z|4 Zum Abschluß dieses Kapitels zeigen wir eine Anwendung der Stirlingschen Formel bei der Untersuchung des Randwachstums holomorpher Funktionen auf der offenen Einheitskreisscheibe D := {z ∈ C ; |z| < 1}. Satz 1.17. Ist f ∈ O(D) gegeben durch eine Potenzreihe f (z) =

∞ X

ck z k

k=0

(z ∈ D)

mit |ck | ≤ C0 k α f¨ur alle k ∈ N0 , mit reellen Konstante C0 > 0 und α > −1, so gibt es eine Konstante C ≥ 0 mit |f (z)| ≤

C (1 − |z|)α+1

f¨ur alle z ∈ D .

34

1. DIE Γ–FUNKTION

Beweis. Nach der Stirlingschen Formel gilt 1

Γ(α + k + 1) (α + k + 1)α+k+ 2 e−α−k−1 lim = lim 1 k→∞ Γ(α + 1)Γ(k + 1)k α k→∞ Γ(α + 1)(k + 1)k+ 2 e−k−1 k α  α + k + 1 k+ 21  α + k + 1 α e−α = lim Γ(α + 1) k→∞ k+1 k 1 = Γ(α + 1) Also gibt es eine Konstante C1 ≥ 0, so daß f¨ ur alle k ∈ N0 gilt |ck | ≤ C1

Γ(α + k + 1) . Γ(α + 1)Γ(k + 1)

Daher erhalten wir f¨ ur alle z ∈ D: ∞ ∞ X X k |f (z)| ≤ |ck ||z| ≤ C0 k α |z|k k=0

k=0

≤C1 C0 mit C = C0 C1 .

∞ X k=0

C Γ(α + k + 1) |z|k = , Γ(α + 1)Γ(k + 1) (1 − |z|)α+1 

3. Die q–Gammafunktion Nat¨ urlich gibt es bei einer so sch¨onen Funktion mit so interessanten Eigenschaften auch Bem¨ uhungen, die gewonnene Theorie in einen allgemeineren Rahmen einzubetten. Auf einen solchen Versuch soll hier noch kurz hingewiesen werden: f¨ ur q 6= 1 und alle n ∈ N gilt 1 − qn = 1 + q + q 2 + · · · + q n−1 1−q und 1 − qn n = lim 1 + q + q 2 + · · · + q n−1 = lim ,. q→1 q→1 1 − q Durch n n Y Y 1 1 − qj = · (1 − q j ) n!q := n 1 − q (1 − q) j=1 j=1 ist also ein vern¨ unftiges Analogon zur Fakult¨at gegeben. f¨ ur 0 < q < 1 l¨asst sich dies auch schreiben in der Form ∞ Y 1 − qj 1 n!q = . (1 − q)n j=1 1 − q n+j F.H. Jackson hat 1910 bemerkt, daß die rechte Seite f¨ ur alle reellen Zahlen n > 0 definiert ist und definierte ∞ Y 1 − qj 1−x Γq (x) := (1 − q) , x > 0. 1 − q n+j j=0 Die Funktionalgleichung lautet nun

1 − qx Γq (x), x > 0. 1−q Es zeigt sich, daß die meisten Eigenschaften der Gammafunktion ein nat¨ urliches q– Analogon besitzen. Selbst der Satz von Bohr und Mollerup bleibt f¨ ur die q–Gammafunktion Γq (x + 1) =

¨ UBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL 1

35

richtig, wie Richard Askey 1978 in [7] gezeigt hat. Auch eine q–Variante der Betafunktion kann man einf¨ uhren. ¨ Askey hat in [8] einen Uberblick u ¨ ber die Geschichte dieser Entwicklungen gegeben. Die Eigenschaften der Γ–Funktion und der mit ihr verwandten speziellen Funktionen sind von vielen Autoren intensiv untersucht worden (siehe z.B. [78, 6, 67, 52, 5] und viele der im Literaturverzeichnis angegebenen Lehrb¨ ucher zur Funktionentheorie). ¨ Ubungsaufgaben zu Kapitel 1 Aufgabe 1.1. Zeigen Sie: Die durch z −1 auf C \ 2πiZ definierte Funktion h ist in 0 holomorph durch h(0) = 1 erg¨anzbar und besitzt die in einer Umgebung von 0 konvergente Potenzreihendarstellung ∞ X Bn n z . h(z) = n! n=0 h(z) :=

ez

Hierbei ist (Bn )∞ n=0 die Folge der Bernoullizahlen. Diese ist definiert durch B0 = 1, B1 = − 21 und die Rekursionsformel  n  X n+1 Bk = 0 f¨ ur alle n ∈ N0 . k k=0 Aufgabe 1.2. Die durch

 z 1 z + −1 f (z) := 2 z z e −1 2 auf C \ 2πiZ definierte Funktion ist offensichtlich auf C meromorph. Zeigen Sie: (a) f ist eine gerade Funktion und in 0 holomorph durch f (0) := 1/12 erg¨anzbar. (b) F¨ ur alle z ∈ G := C \ {n2πi ; 0 6= n ∈ Z} gilt f (z) = 2

∞ X n=1

1 . z 2 + 4π 2 n2

(c) f ist auf [0, ∞) monoton fallend mit limt→∞ f (t) = 0. (d) f besitzt in {z ∈ C ; |z| < 2π} die Potenzreihendarstellung ∞ X Bn+2 n z . f (z) = (n + 2)! n=0

Hierbei ist (Bn )∞ n=0 die Folge der Bernoullizahlen. Da f nach (a) eine gerade Funktion ist, folgt insbesondere B2k+1 = 0 f¨ ur alle k ≥ 1 und somit ∞ X B2(n+1) 2n f (z) = z . (2n + 2)! n=0

Hinweis: Verwenden Sie  z  1 z 1 1 z 1 2 1 1 f (z) = 2 z − 2 = − 2 = + + 1 − coth z 2 z e −1 2 z 2z e − 1 z 2z 2 z und die aus der Funktionentheorie bekannte Mittag–Leffler–Entwicklung f¨ ur die Kotangensfunktion.

36

1. DIE Γ–FUNKTION

Aufgabe 1.3 (Frullani–Integrale 1). Seien a, b > 0 und sei f : [0, ∞) → R eine stetige Funktion, f¨ ur die das uneigentliche Riemann–Integral Z ∞ f (x) dx x 1 existiert. Zeigen Sie: R∞ (bx) dx existiert und es gilt (a) Das uneigentliche Riemann–Integral 0 f (ax)−f x Z ∞  f (ax) − f (bx) b . dx = f (0) log x a 0 Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst Z ∞ Z δb f (ax) − f (bx) f (x) dx = dx f¨ ur alle δ > 0. x x δ δa (b) F¨ ur alle t > 0 gilt: Z log(t) =



0

e−x − e−tx dx = x

Z

∞ 0

cos(x) − cos(tx) dx . x

Aufgabe 1.4 (Frullani–Integrale 2). Seien a, b > 0 und sei f : [0, ∞) → R eine stetige Funktion, f¨ ur die der Grenzwert f (∞) := limx→∞ f (x) existiert. R∞ (bx) (a) Zeigen Sie: Das uneigentliche Riemann–Integral 0 f (ax)−f dx existiert und es x gilt Z ∞ b f (ax) − f (bx) . dx = (f (0) − f (∞)) log x a 0 (b) Berechnen Sie die uneigentlichen Integrale Z ∞ Z ∞ tanh(ax) − tanh(bx) arctan(ax) − arctan(bx) und . x x 0 0 Aufgabe 1.5. Zeigen Sie, daß f¨ ur alle n ∈ N gilt n−1 r  Y n−1 n=2 sin π . n r=1

Hinweis: Beachten Sie

n

x −1 = und bilden Sie den Grenzwert

n  Y r=1

 r  x − exp i 2π n

xn − 1 . x→1 x − 1 lim

Aufgabe 1.6. Zeigen Sie, daß f¨ ur alle z ∈ C mit Re(z) > −1 die folgende Formel gilt: Z 1 Z ∞ 1 z log du = e−t tz dt . u 0 0

Dies zeigt, daß diese beiden Eulerschen Integrale die gleiche Funktion darstellen (n¨amlich z 7→ z! = Γ(z + 1)). Hinweis: Verwenden Sie in (1.23) die Variablensubstitution t = log(1/u).

¨ UBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL 1

37

Aufgabe 1.7. Sei Hr := {z ∈ C ; Rez > 0} die offene, rechte Halbebene. Die Beta– Funktion B : Hr × Hr → C ist definiert durch Z 1 B(α, β) := (1 − t)α−1 tβ−1 dt (α, β ∈ Hr ). 0

Zeigen Sie, daß f¨ ur alle α, β ∈ Hr gilt: Γ(α)Γ(β) (a) B(α, β) = . Γ(α + β) Hinweis: F¨ uhren Sie in dem Doppelintegral Z ∞Z ∞ Γ(α)Γ(β) = tα−1 sβ−1 e−t−s dt ds 0

0

die Variablensubstitution s = ur, t = (1 − r)u durch. Z ∞ α−1 x dx. (b) B(α, β) = (1 + x)α+β 0

Aufgabe 1.8. Zeigen Sie mit Hilfe der Eulerschen Reflexionsformel: 1  r π ∀t ∈ R : + it = . Γ 2 cosh(πt)

Aufgabe 1.9. Verwenden Sie Aufgabe 1.8 und die Verdoppelungsformel von Legendre zum Beweis von Γ(2it) 1 ∀0 6= t ∈ R : Γ(it) = 2pcosh(πt) .

Aufgabe 1.10. K¨onnen Sie in Satz 1.17 auch im Fall α = −1 etwas u ¨ ber das Randwachstum von f aussagen?

Aufgabe 1.11. Zeigen Sie, daß f¨ ur alle z, w ∈ Hr gilt Z ∞ Γ(z) e−wt tz−1 dt = z . w 0 Hinweis: F¨ ur Im(w) = 0 folgt dies leicht mit einer geeigneten Variablensubstitution.

KAPITEL 2

Die Riemannsche Zetafunktion 1. Definition und erste Eigenschaften der Zetafunktion F¨ ur s ∈ R definieren wir

Hs := {z ∈ C ; Re(z) > s} und Hs := {z ∈ C ; Re(z) ≥ s} .

F¨ ur alle s > 1 und alle Z ∈ Hs , n ∈ N gilt −z −z log(n) n = e = e−Re(z) log(n) ≤ n−s . P −s ist also die Reihe Wegen der Konvergenz der Reihe ∞ n=1 n ζ(z) :=

∞ X

n−z

(2.1)

n=1

f¨ ur alle s > 1 gleichm¨aßig und absolut konvergent auf Hs und definiert daher eine auf H1 holomorphe Funktion ζ. Diese nennt man die Riemannsche Zeta–Funktion. F¨ ur reelles s > 1 gilt bei s ց 1 Z ∞ ∞ ∞ Z n+1 X X 1 −s −s ζ(s) = n ≥ x ds = x−s ds = → ∞. (2.2) s − 1 n 1 n=1 n=1 Die Riemannsche Zeta–Funktion spielt eine wesentliche Rolle in der Zahlentheorie. Dies wird bereits durch die folgenden ersten Aussagen u ¨ber ζ deutlich. Satz 2.1. (a) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Diese numerieren wir der Gr¨oße nach durch: p1 = 2, p2 = 3, p4 = 5, . . . . (b) F¨ur alle z ∈ H1 gilt die Produktdarstellung ∞ Y 1 = (1 − p−z n ) ζ(z) n=1

mit gleichm¨aßiger Konvergenz auf Hs f¨ur alle s > 1. Beweis. F¨ ur alle z ∈ H1 ist −z

ζ(z)(1 − 2 ) =

∞ X n=1

−z

n



∞ X

(2n)

−z

ζ(z)(1 − 2 )(1 − 3 ) =

=

∞ X

n−z

n=1 2∤n

n=1

Ebenso erh¨alt man −z

−z

∞ X

n−z

n=1 2∤n,3∤n

und schließlich induktiv: Sind p1 = 2 < p2 = 3 < · · · < pN die ersten N Primzahlen und gilt ∞ N X Y −z n−z , (2.3) ζ(z) (1 − pk ) = k=1

n=1, pk ∤n

f¨ ur 1≤k≤N

38

1. DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN DER ZETAFUNKTION

39

so kann pN nicht die gr¨oßte Primzahl sein, denn andernfalls w¨are 1 die einzige nat¨ urliche Zahl mit pk ∤ n f¨ ur 1 ≤ k ≤ N. Dann w¨ urde aber ζ(z)

N Y

(1 − p−z k ) = 1

k=1

folgen und hieraus lim ζ(s) = lim

sց1

sց1

N Y

(1 −

−1 p−s k )

=

N Y

−1 (1 − p−1 <∞ k )

k=1

k=1

im Widerspruch zu (2.2). Also gibt es doch eine kleinste von p1 , . . . , pN verschiedene Primzahl pN +1 und analog wie oben erh¨alt man mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung ζ(z)

N +1 Y k=1

(1 −

p−z k )

∞ X

=

n−z .

n=1,pk ∤n 1≤k≤N +1

f¨ ur

Damit ist (a) gezeigt und die G¨ ultigkeit von (2.3) f¨ ur alle N ∈ N. Ist s > 1 beliebig, so erhalten wir aus (2.3) f¨ ur alle z ∈ Hs ∞ N ∞ X X Y −z −z −z n ≤ n ≤ ζ(z) (1 − p ) − 1 = k k=1

n=1,pk ∤n

n=pN +1

f¨ ur 1≤k≤N

∞ ∞ X X −z ≤ n ≤ n−s → 0 n=N +1

f¨ ur N → ∞ und damit Wegen

n=N +1

∞ Y 1 = (1 − p−z n ). ζ(z) n=1

∞ ∞ ∞ X X −z X −s pn ≤ pn ≤ n−s < ∞ n=1

n=1

n=1

ullt und es folgt die f¨ ur z ∈ Hs und s > 1 sind die Voraussetzungen zu Satz 9.5 aus [3] erf¨ gleichm¨aßige Konvergenz des Produktes auf Hs f¨ ur alle s > 1.  P∞ −1 Es zeigt sich, daß sogar die Reihe n=1 pn divergiert. In diesem Sinne liegen die Primzahlen dichter in N als die Quadratzahlen. P −1 Satz 2.2. Die Reihe ∞ n=1 pn ist divergent. Ferner gilt

∀s > 1 ∀n ∈ N ∀C > 0 ∃m > n : pm < Cms . (2.4) P∞ −1 Beweis. W¨are (2.4) verletzt, so w¨ urde die Reihe n=1 pn nach dem Majorantenkriterium konvergieren. Wir P zeigen indirekt, daß dies nicht der Fall ist. −1 Die Reihe ∞ n=1 pn konvergiert. Nach Lemma 9.7 in [3] gilt dann ε := Q∞Annahme: −1 −s ur alle s > 1 und n ∈ N folgt wegen 0 < 1 − p−1 n < 1 − pn < 1 nach n=1 (1 − pn ) > 0. F¨ Satz 2.1 auch ∞ ∞ Y Y −1 −1 (1 − pn ) ≤ (1 − p−s . 0<ε= n ) = ζ(s) n=1

n=1

Wegen ζ(s) → ∞ f¨ ur s ց 1 erhalten wir einen Widerspruch. Also muß die Behauptung richtig sein. 

40

2. DIE RIEMANNSCHE ZETAFUNKTION

2π i

εi id

−id

−ε i

−2π i

Abbildung 1. Der Verlauf des Integrationsweges γε,d Im folgenden Lemma stellen wir einen Zusammenhang von ζ mit der Γ–Funktion her. Lemma 2.3. F¨ur alle z ∈ C mit Re(z) > 1 gilt Z ∞ z−1 x ζ(z)Γ(z) = dx . ex − 1 0

Beweis. Nach (1.23) gilt f¨ ur alle z ∈ C mit Re(z) > 0: Z ∞ Γ(z) = e−t tz−1 dt . 0

Mit der Substitution x := t/n erhalten wir hieraus: Z ∞ z Γ(z) = n e−nx xz−1 dx 0

und damit

−z

n Γ(z) =

Z



e−nx xz−1 dx .

0

Durch Summation u ur alle z ∈ C mit Re(z) > 0: ¨ber n ∈ N folgt f¨ Z Z ∞X ∞ ∞ ∞ X −nx z−1 ζ(z)Γ(z) = e x dx = e−nx xz−1 dx = =

n=1 0 ∞ −x z−1

Z

0

0

e x dx = 1 − e−x

Satz 2.4. F¨ur alle z ∈ H1 gilt

Γ(1 − z) ζ(z) = − 2πi

Z

Z



0

γε,d

n=1 z−1

x dx . ex − 1



(−w)z−1 dw , ew − 1

wobei (−w)z−1 := exp((z − 1)Log(−w)) f¨ur alle w ∈ C \ {x ∈ R ; x ≥ 0} und γε,d mit 0 < d < ε < 2π der aus Abbildung 1 ersichtliche Weg ist.

1. DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN DER ZETAFUNKTION

41

Beweis. Man verifiziert durch direktes Nachrechnen, daß das uneigentliche WeginteR z−1 dw auf jeder kompakten Teilmenge von C gleichm¨aßig konvergiert, daß gral γε,d (−w) ew −1 also durch Z (−w)z−1 z 7→ F (z) := dw f¨ ur z ∈ C w γε,d e − 1

eine auf ganz C holomorphe Funktion gegeben ist. Mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes u ¨berlegt man sich ferner, daß der Wert des Integrals unabh¨angig von ε und d ist, unter der Einschr¨ankung 0 < d < ε < 2π. F¨ ur d → 0 und x > 0 folgt lim Log(−(x ± id)) = log(x) ∓ πi

d→0

und damit F (z) = lim

d→0

=

Z

Z

γε,d

∂+ D(0,ε)

(−w)z−1 dw ew − 1

(−w)z−1 dw − ew − 1

Z

∞ ε

xz−1 e−(z−1)πi dx + ex − 1

Z

∞ ε

xz−1 e(z−1)πi dx . ex − 1

F¨ ur |w| = ε < 1 ist (−w)z−1 exp(Re((z − 1)Log(−w))) ew − 1 = |ew − 1| =

|w|Re(z)−1 exp(−Im(z)Arg(−w)) ≤ C|w|Re(z)−2 |ew − 1|

mit einer von ε unabh¨angigen Konstanten C > 0. Ist Im(z) > 1 so folgt f¨ ur ε → 0 Z (−w)z−1 ≤ 2CπεRe(z)−1 → 0 . dw w −1 e ∂+ D(0,ε)

Damit ergibt sich f¨ ur F (z), z ∈ H1 mit Hilfe von Lemma 2.3 und der Eulerschen Reflexionsformel (Folgerung 1.5): Z ∞ z−1 x F (z) =2i sin(π(z − 1)) dx = −2i sin(z − 1)ζ(z)Γ(z) = ex − 1 0 (2.5) ζ(z) ζ(z)Γ(z) = −2πi = − 2πi Γ(z)Γ(1 − z) Γ(1 − z) Aufl¨osung nach ζ(z) ergibt die Behauptung.



Da, wie oben bemerkt wurde, die Funktion F auf ganz C holomorph ist und die Funktion Γ eine auf C meromorphe Funktion ist, erhalten wir: Folgerung 2.5. Die Funktion ζ kann zu einer auf C meromorphen Funktion fortgesetzt werden (die wieder mit ζ bezeichnet wird). Diese hat nur eine Polstelle im Punkt 1. Diese Polstelle ist von der Ordnung 1 und hat das Residuum 1. Beweis. Die Funktion F ist auf C holomorph, hat also keine Polstellen. ζ kann also h¨ochstens Polstellen in den Polstellen {k ; k ∈ N} der Funktion z 7→ Γ(1 −z) haben. Diese haben alle die Ordnung 1 (Vergl. Satz 1.1). Da aufgrund der urspr¨ unglichen Definition der Zeta-Funktion diese auf H1 holomorph ist, m¨ ussen die Polstellen {k ; 2 ≤ k ∈ N} durch Nullstellen von F kompensiert werden. Es bleibt also nur noch 1 als m¨ogliche Polstelle

42

2. DIE RIEMANNSCHE ZETAFUNKTION

u ur das Residuum in 1 berechnet man unter Verwendung von Res(Γ, 0) = 1 und ¨ brig. F¨ des Residuensatzes: F (1) Res(ζ, 1) = lim (z − 1)ζ(z) = lim −(z − 1)Γ(1 − z) · z→1 z→1 2πi Z 1 1 = dw = 1 . 2πi γε,d ew − 1  Die folgende Funktionalgleichung ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Theorie der Riemannschen Zeta–Funktion. Satz 2.6 (Funktionalgleichung der Zeta–Funktion). F¨ur alle z ∈ C \ {0, 1} gilt ζ(z) = 2z π z−1 sin

πz  Γ(1 − z)ζ(1 − z) . 2

(2.6)

Beweis. Sei zun¨achst 0 > s ∈ R. F¨ ur alle n ∈ N und 0 < d < 1 sei Rn das achsenparallele Rechteck mit den Eckpunkten −(2n + 1)π(1 + i), (2n + 1)π(1 − i), (2n + 1)π(1 + i), (2n + 1)π(i − 1) und γn,d der in Abbildung 2 skizzierte Weg. In Abwandlung des Beweises zu Satz 2.4 definieren wir Z (−w)s−1 dw Fn (s) := lim d→0 γ ew − 1 n,d Z Z ∞ Z ∞ (−w)s−1 xs−1 e−(s−1)πi xs−1 e(s−1)πi = dw − dx + dx (2.7) w ex − 1 ex − 1 ∂+ Rn e − 1 (2n+1)π (2n+1)π Z Z ∞ (−w)s−1 xs−1 sin((s − 1)πi) = dw + 2i dx . w ex − 1 ∂+ Rn e − 1 (2n+1)π Man rechnet nach, daß |ew − 1| > 1/2 f¨ ur alle w ∈ ∂Rn und damit (−w)s−1 ≤ Cns−1 w e −1

mit einer positiven Konstante C gilt. Das erste Integral der letzten Zeile von (2.7) ist also von der Gr¨oßenordnung O(ns ) da der Integrationsweg von der L¨ange 8(2π + 1)n ist. Auch f¨ ur das zweite Integral gilt: Z ∞ xs−1 sin((s − 1)πi) dx → 0 f¨ ur n → ∞ . 2i ex − 1 (2n+1)π s−1

Es folgt daher Fn (s) → 0 f¨ ur n → ∞. Die Funktion w 7→ (−w) ist auf C\{x ∈ R ; x ≥ 0} ew −1 meromorph mit Polstellen nur in ±2πiN, die alle von erster Ordnung sind, und deren Residuen sich wie folgt berechnen: Res

 (−w)s−1 ew − 1

 , ±2kπi = (2πk)s−1 e(s−1)Log(∓i) f¨ ur alle k ∈ N .

1. DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN DER ZETAFUNKTION

43

Mit dem Residuensatz ergibt sich Fn (s) − F (s) =2πi(2π)

s−1

−(s−1)π/2

e

(s−1)π/2

+e

k s−1

k=1

=2πi2(2π)s−1 cos((s − 1)π/2) =2πi2s π s−1 sin(sπ/2)

n X

n X

n X

k s−1

k=1

k s−1

k=1

Wegen Fn (s) → 0 f¨ ur n → ∞ erhalten wir f¨ ur n → ∞:

−F (s) = 2πi2s π s−1 sin(sπ/2)ζ(1 − s)

Einsetzen in (2.5) und Aufl¨osen nach ζ(s) liefert die Behauptung f¨ ur alle negativen reellen Zahlen s. Da beide Seiten von (2.6) meromorph auf C sind folgt mit Hilfe des Identit¨atssatzes die Behauptung f¨ ur alle z ∈ C \ {0, 1}.  Mit Hilfe der Reflexionsformel f¨ ur die Gammafunktion von Euler (Folgerung 1.5) und   πz πz unter Verwendung von sin(πz) = 2 sin 2 cos( 2 erh¨alt man die folgende Fassung der Funktionalgleichung der Zetafunktion: Folgerung 2.7. F¨ur alle z ∈ C \ {0, 1} gilt:

πz  Γ(z)ζ(z) . 2 Die in 0 holomorph durch 1 erg¨anzte Funktion ez + 1 z z z 7→ h(z) := z z = + z 2(e − 1) 2 e −1 ist gerade und hat daher eine Potenzreihendarstellung der Form ∞ X B2n 2n z , h(z) = 1 + (−1)n−1 (2n)! n=1 ζ(1 − z) = 21−z π −z cos

(2.8)

wobei die Zahlen B2n die Bernoullischen Zahlen sind. Es folgt f¨ ur alle n ∈ N: Z   n! w ζ(−n) =(−1)n dw w −n−2 h(w) − 2πi γε,d 2 ! Z ∞ X n! B w 2k =(−1)n (−1)k−1 w 2k dw . w −n−2 1 − + 2πi γε,d 2 (2k)! k=1

Mit dem Residuensatz folgt ζ(−2k) = 0 f¨ ur alle k ∈ N und ζ(0) = −1/2 sowie B2k ζ(−2k + 1) = (−1)k f¨ ur alle k ∈ N . 2k Insbesondere sind alle diese Werte rationale Zahlen. Wegen Satz 2.1 kann ζ keine Nullstellen in H1 besitzen. Hieraus folgt mit Hilfe der Funktionalgleichung der Zeta–Funktion, daß alle von den trivialen Nullstellen −2k (mit k ∈ N) verschiedenen Nullstellen der Riemannschen Zeta–Funktion in dem kritischen Streifen {z ∈ C ; 0 ≤ Re(z) ≤ 1} liegen. Die bis heute weder bewiesene noch widerlegte Riemannsche Vermutung besagt, daß sie sogar alle auf der kritischen Linie {z ∈ C ; Re(z) = 1/2} liegen. Unter Verwendung der Verdoppelungsformel von Lagrange (Satz 1.11) zeigen wir eine weitere Fassung der Funktionalgleichung:

44

2. DIE RIEMANNSCHE ZETAFUNKTION

Folgerung 2.8. Durch ξ(z) :=

z(1 − z) − z z  ζ(z) π 2Γ 2 2

ist eine ganze Funktion auf C gegeben mit

ξ(1 − z) = ξ(z)

f¨ur alle z ∈ C .

(2.9)

Beweis. Die Nullstellen des Vorfaktors z(1 − z) bei 0 und 1 sowie die Nullstellen von ζ in allen geraden negativen ganzen Zahlen kompensieren die Polstellen  (erster Ordnung) der Zetafunktion in 1 und von Γ 2z bei 0 sowie die Polstellen von Γ 2z in allen negativen geraden ganzen Zahlen. Somit ist ξ eine auf ganz C holomorphe Funktion. Multiplizieren wir die Verdoppelungsformel z 1 + z Γ 2 2

1

π 2 Γ(z) = 2z−1 Γ  1−z  mit cos πz Γ 2 = cos 2 onsformel von Euler: 1

π 2 Γ(z) cos

πz 2

 Γ 1−

1+z 2



, so erhalten wir unter Verwendung der Reflexi-

z 1 + z 1 − z πz  πz  1 − z  Γ =2z−1Γ Γ Γ cos 2 2 2 2 2  2 πz z  cos 2  π =2z−1Γ 2 sin π 1+z 2 z z−1 =2 πΓ 2 z

Multiplikation mit z(1 − z)π −1− 2 2−z ζ(z) ergibt f¨ ur die rechte Seite ξ(z) und wir erhalten mit Folgerung 2.7: 1+z 1 − z πz  1 Γ(z)Γ ξ(z) = z(1 − z)π − 2 21−z ζ(z) cos 2 2 2 1−z 1 1 − z = (1 − z)(1 − (1 − z))π − 2 ζ(1 − z)Γ = ξ(1 − z) . 2 2

Damit sind die Behauptungen gezeigt.



F¨ ur x ∈ R definieren wir wie u ¨ blich [x] := max{n ∈ Z ; n ≤ x} . 2. Einige Absch¨ atzungen fu ¨r die Zetafunktion Die folgende Darstellung der Zetafunktion wird uns bei Absch¨atzungen n¨ utzlich sein. Lemma 2.9. F¨ur alle z ∈ H0 \ {1} und alle N ∈ N gilt: ζ(z) =

N X

−z

n

n=1

N 1−z −z + z−1

Z

∞ N

(x − [x])x−z−1 dx.

F¨ur N = 1 hat man insbesondere 1 1 ζ(z) = + −z 2 z−1

Z

1



 1  −z−1 x dx. x − [x] − 2

¨ ¨ DIE ZETAFUNKTION 2. EINIGE ABSCHATZUNGEN FUR

45

Beweis. F¨ ur Rez > 1 und alle N ∈ N gilt Z ∞ Z n+1 ∞ ∞ X 1X −z−1 n(n−z − (n + 1)−z ) [x]x dx = n x−z−1 dx = z N n n=N n=N ∞ ∞   X  X 1 −z+1 −z+1 = n − (n + 1) + (n + 1)−z z n=N n=N ∞   X 1 n−z = N −z+1 + z n=N +1 = Wegen

N  X 1  −z+1 N + ζ(z) − n−z z n=1

Z ∞ N 1−z z N 1−z 1−z N =− + N =− +z x−z dx z−1 z−1 z−1 N folgt hieraus durch Aufl¨osen nach ζ(z) die erste der beiden behaupteten Darstellungen der Zeta-Funktion f¨ ur Rez > 1. Da beide Seiten dieser Darstellung auf H0 \ {1} holomorph sind, folgt mit Identit¨atssatz die G¨ ultigkeit der Darstellung auf H0 \ {1}. Die zweite Behauptung erh¨alt man aus der ersten f¨ ur N = 1.  1−z

Bekanntlich gilt f¨ ur Rez ≥ 2: |ζ(z)| ≤

∞ X n=1

n−Rez ≤

∞ X

n−2 = ζ(2) ,

n=1

so daß die Zetafunktion auf H2 beschr¨ankt ist. Dies gilt auch f¨ ur alle Ableitungen der Zeta-Funktion, denn wir d¨ urfen nach dem Satz von Weierstraß gliedweise differenzieren und erhalten ∞ ∞ ∞ X X X (k) k −z −Rez k |ζ (z)| = (− log n) n ≤ n | log n| ≤ C n−3/2 < ∞ n=1

n=1

n=1

unter Verwendung der bekannten Tatsache, daß f¨ ur alle ε > 0 (hier speziell ε = 1/2) eine von x unabh¨angige Konstante C = Ck (ε) > 0 existiert mit ∀x ≥ 1 :

log x ≤ Ck (ε)xε .

F¨ ur alle z ∈ C mit Rez ≥ 2 gilt ferner |ζ(z)| ≥ 1 − |ζ(z) − 1| ≥ 1 −

X n=2

n−Rez ≥ 1 −

(2.10) X

n−2 > 0 .

(2.11)

n=2

Die Zeta-Funktion ist also auf der Halbebene H2 nach unten beschr¨ankt. Folgerung 2.10. F¨ur 0 < δ < 1 gilt: (a) |ζ(z)| = O(|z|1/(1+δ) ) f¨ur |z| → ∞ in Hδ . (b) F¨ur alle k ∈ N0 existiert eine Konstante Ck′ (δ) > 0, so daß f¨ur alle z ∈ C mit Rez ≥ δ und |Imz| ≥ 1 gilt: (k) ζ (z) ≤ C ′ (δ)|z| . k

Beweis. Da die Zeta-Funktion und alle ihre Ableitungen auf H2 beschr¨ankt sind, gen¨ ugt es die Behauptungen f¨ ur δ ≤ Rez ≤ 2 zu beweisen.

46

2. DIE RIEMANNSCHE ZETAFUNKTION

(a) Aus der ersten Darstellung der Zetafunktion in Lemma 2.9 folgt f¨ ur alle z ∈ C mit δ ≤ Rez ≤ 2 und |z| ≥ 2 und f¨ ur alle N ∈ N: Z ∞ N X N 1−Rez −Rez + |z| x−Rez−1 dx |ζ(z)| ≤ n + |z| − 1 N n=1 2N 1−δ 1 + |z|N −δ |z| Rez 1−δ 2N |z| ≤N + + N −δ . |z| δ h i 1 W¨ahlen wir speziell N := |z| 1+δ + 1, so folgt wegen 0 < 1 − δ < 1: ≤N +

1

−δ (|z| 1+δ + 1)1−δ |z| 1+δ + |z| |ζ(z)| ≤|z| +1+ |z| − 1 δ 1−δ  1 1 1 1 |z| 1+δ + 1  |z| 1+δ + 1 + |z| 1+δ + 4 . ≤ 1+ ≤ 1+ δ |z| − 1 δ 1 1+δ

Damit folgt die Behauptung. (b) Wir verwenden die zweite Darstellung der Zeta-Funktion aus Lemma 2.9. Mit Z ∞ 1  −z−1 x dx f (z) := x − [x] − 2 1

gilt f¨ ur alle k ∈ N0 und z ∈ C mit δ ≤ Rez ≤ 2 und |Imz| ≥ 1 (da wir Integration und Differentiation vertauschen d¨ urfen): Z Z ∞  1  −z−1 1 ∞ (k) k x dx ≤ (log x)k x−Rez−1 dx |f (z)| = (− log x) x − [x] − 2 2 1 1 Z Ck (δ/2) ∞ −1− δ Ck (δ/2) 2 dx = ≤ x 2 δ 1 Hierbei ist Ck (δ/2) wie in (2.10). F¨ ur k = 0 folgt hiermit die Behauptung durch direkte Absch¨atzung der zweiten Darstellung von ζ(z) aus Lemma 2.91. Im Fall k ≥ 1 erhalten wir durch k-malige Differentiation f¨ ur δ ≤ Rez ≤ 2 und |Imz| ≥ 1: (−1)k k |z| (k−1) (k) − kf (z) − zf (z) |ζ k (z)| = ≤ k! + Ck−1 (δ/2) + Ck (δ/2) k+1 k!(z − 1) δ δ und damit die Behauptung.



Im folgenden Satz zeigen wir eine untere Absch¨atzung f¨ ur den Betrag der ZetaFunktion. Satz 2.11. Die Zeta-Funktion besitzt auf H1 keine Nullstellen. Ferner gibt es eine Konstante c > 0 mit |ζ(z)| ≥ c|z|−4 f¨ur alle z ∈ H1 mit |Imz| ≥ 1.

Beweis. (a) Wir bemerken zun¨achst: ∀w ∈ T : 1Dieser

Re(w 4 ) + 4Re(w 2 ) + 3 ≥ 0.

Fall folgt nat¨ urlich auch aus der sch¨arferen Wachstumsabsch¨atzung in (a).

(2.12)

¨ ¨ DIE ZETAFUNKTION 2. EINIGE ABSCHATZUNGEN FUR

47

Mit dem Binomialsatz gilt f¨ ur alle w ∈ T (wegen ww = 1): 0 ≤16(Rew)4 = (w + w)4

=w 4 + w 4 + 4(w 3 w + ww3 ) + 6w 2w 2 = 2Re(w 4 ) + 8Re(w 2 ) + 6.

Hieraus folgt (2.12). (b) Wir zeigen nun: ∀z ∈ H1 :

|ζ(z)|4 · |ζ(Rez + 2iImz)| · |ζ(Rez)|3 ≥ 1 .

(2.13)

Sei also z ∈ H1 beliebig. Wir schreiben x := Rez und y := Imz. Mit (2.12) angewendet auf w := n−iy/2 folgt: Re(n−2iy ) + 4Re(n−iy ) + 3 ≥ 0. Multiplikation mit an n−x und Summation u ¨ber n ergibt Re(Lζ (x + 2iy)) + 4Re(Lζ (x + iy)) + 3Lζ (x) ≥ 0.

¨ Durch Ubergang zum Exponenten folgt (2.13). Aus (2.13) folgt durch Division durch Rez − 1: ζ(z) 4 1 . (2.14) ∀z ∈ H1 : |ζ(Rez + 2iImz)||ζ(Rez)(Rez − 1)| ≥ Rez − 1 Rez − 1 Dies zeigt schon, daß ζ keine Nullstelle auf der Geraden Rez = 1 haben kann: F¨ ur 1 + iy mit y 6= 0 und ζ(1 + iy) = 0 w¨ urde man f¨ ur die linke Seite von (2.14) f¨ ur Imz = y und Rez = x → 1 n¨amlich den endlichen Grenzwert |ζ ′ (1 + iy)| · |ζ(1 + 2iy)| erhalten, w¨ahrend die rechte Seite gegen ∞ konvergiert. (c) Beim Beweis der unteren Absch¨atzung k¨onnen wir uns auf die Menge S := {z ∈ C ; 1 < Rez ≤ 2, |Imz| ≥ 1}

beschr¨anken, da |ζ| auf H2 von 0 weg beschr¨ankt ist. Da die Zeta-Funktion in 1 eine Polstelle der Ordnung 1 besitzt, ist die auf (1, 2] definierte, positive, nullstellenfreie Funktion x 7→ ζ(x)(x − 1)

in 1 stetig durch einen von 0 verschiedenen Wert erg¨anzbar und daher nach oben und nach unten durch positive Konstanten beschr¨ankt. Mit (2.13) erhalten wir f¨ ur alle z = x + iy ∈ S: |x − 1|3/4 ≤ (ζ(x)(x − 1))3/4 |ζ(z)|. 1/4 |ζ(x + 2iy)| 1/4 F¨ ur |ζ(x + 2iy)| haben wir nach Folgerung 2.10 eine Absch¨atzung nach oben |ζ(x + 2iy)|1/4 ≤ K0 |z|1/4 ≤ K1 |y|1/4

auf S mit positiven Konstanten K0 , K1 . Insgesamt erhalten wir f¨ ur alle z = x + iy ∈ S |ζ(z)| ≥ K2 (x − 1)3/4 |y|−1/4

(2.15)

mit einer Konstanten K2 > 0. Ebenfalls nach Folgerung 2.10 gilt f¨ ur alle z ∈ S |ζ ′(z)| ≤ K3 |z| ≤ K4 |y|

mit Konstanten K3 , K4 > 0. Wir w¨ahlen nun ε > 0 so klein, daß K2 − K4 ε1/4 > 0

gilt. (d) Sei nun z = x + iy ∈ S beliebig. Wir unterscheiden zwei F¨alle: (i) x ≥ x0 := 1 + ε|y|−5. Dann folgt mit (2.15) |ζ(z)| ≥ K2 (x − 1)3/4 |y|−1/4 ≥ K2 ε3/4 |y|−15/4|y|−5 = K2 |y|−4 ≥ ε3/4

(2.16)

K2 . |z|4

48

2. DIE RIEMANNSCHE ZETAFUNKTION

(ii) Im Fall x < x0 beachten wir ζ(z) = ζ(x0 + iy) −

Z

x0

ζ ′(ξ + iy) dξ

x

und erhalten mit (2.15) und der oberen Absch¨atzung f¨ ur |ζ ′(ξ + iy)|: Z x0 Z x0 ′ |ζ(z)| ≥|ζ(x0 + iy)| − ζ (ξ + iy) dξ ≥ |ζ(x0 + iy)| − |ζ ′(ξ + iy)| dξ x

x

≥K2 (x0 − 1)|y|−1/4 − K4 (x0 − 1)|y| = (K2 ε3/4 − K4 ε)|y|−4 ≥(K2 ε3/4 − K4 ε)|z|−4 .

Damit ist die untere Absch¨atzung vollst¨andig bewiesen (mit c = K2 ε3/4 − K4 ε > 0 nach Wahl von ε in (2.16)).  F¨ ur die logarithmische Ableitung der Zetafunktion erh¨alt man mit den Absch¨atzungen aus Folgerung 2.10 und Satz 2.11: Folgerung 2.12. Es gibt eine Konstante ′ ζ (z) 5 ζ(z) ≤ C|Imz| und

f¨ur alle z ∈ H1 mit |Imz| ≥ 1.

C > 0 mit d ζ ′ (z) 10 dz ζ(z) ≤ C|Imz|

3. Der Primzahlsatz ¨ In den Ubungen wird f¨ ur die logarithmische Ableitung der Zetafunktion gezeigt (Aufgabe 2.3): ∞ X ζ ′(z) =− Λn n−z (Rez > 1), ζ(z) n=1 wobei die Folge (Λn )∞ n=1 definiert ist durch ( log p falls n = pk f¨ ur eine Primzahl p und ein k ∈ N Λn : 0 sonst.

Die zugeh¨orige summatorische Funktion ψ : (0, ∞) → [0, ∞) mit X ψ(x) := Λn (x > 0) n≤x

wird Tschebyscheff-Funktion genannt. Ihr asymptotisches Verhalten soll im folgenden untersucht werden. Zur Vereinfachung der Notation bezeichnen wir mit P die Menge aller Primzahlen. Die Tschebyscheffsche Thetafunktion ist definiert durch X θ(x) := log p f¨ ur alle x > 0. p∈P, p≤x

Zwischen dem Wachstumsverhalten von ψ und θ besteht folgender Zusammenhang: √ Lemma 2.13. ψ(x) = θ(x) + O( x log x) f¨ur x → ∞.

3. DER PRIMZAHLSATZ

49

Beweis. Mit A(x) := {pk ; p ∈ P, 2 ≤ k ∈ N, pk ≤ x} gilt X X X ψ(x) = Λn ≤ log p + n≤x,n∈N

≤θ(x) + ≤θ(x) +

p≤x, p∈P

X

Λn

n≤x,n∈A(x)

log p

p∈P,2≤k∈N,pk ≤x

X

log x

p∈P,2≤k∈N,pk ≤x

≤θ(x) + N(x) log x ,

¨ wobei N(x) die Anzahl der Elemente von A(x) bezeichne. In den Ubungen (Aufgabe 2.4) wird gezeigt, daß es eine Konstante C > 0 gibt mit √ N(x) ≤ C x f¨ ur alle x > 0. Damit folgt die Behauptung.



Zum Abschluß dieses Kapitels soll der folgende Primzahlsatz bewiesen werden: X log p = x + o(x) f¨ur x → ∞. Satz 2.14 (Primzahlsatz). Es gilt θ(x) = p≤x, p∈P

Wegen Lemma 2.13 ist die Aussage des Primzahlsatzes ¨aquivalent zu X ψ(x) = Λn = x + o(x) f¨ ur x → ∞. n≤x



Man beachte hierbei, daß x log x = o(x) f¨ ur x → ∞ gilt. Meist wird der Primzahlsatz in folgender Form angegeben: Satz 2.15 (Primzahlsatz). Mit π(x) := |{p ∈ P ; p ≤ x}| gilt π(x) = 1. x→∞ x/ log x lim

Beweis. Wir zeigen, wie Satz 2.15 aus Satz 2.14 folgt: Definieren wir r(x) durch θ(x) = x(1 + r(x)), so gilt nach Satz 2.14 r(x) → 0 f¨ ur x → ∞. Wegen der Monotonie der Logarithmusfunktion hat man f¨ ur alle x > 0 X X θ(x) = log p ≤ log x = π(x) log x p∈P, p≤x

p∈P, p≤x

und somit π(x) ≥

x(1 + r(x) log x

also auch π(x) ≥ 1. x→∞ x/ log x F¨ ur eine obere Absch¨atzung beachten wir, daß f¨ ur 0 < q < 1 und x > 1 die triviale Ungleichung π(xq ) ≤ xq lim inf

gilt und somit θ(x) ≥

X

xq ≤p≤x, p∈P

log p ≥

X

xq ≤p≤x, p∈P

log xq = q(π(x) − π(xq )) ≥ q(π(x) − xq ).

50

2. DIE RIEMANNSCHE ZETAFUNKTION

Aufl¨osen nach π(x) ergibt die Ungleichung π(x) ≤

θ(x) x + xq = (1 + r(x)) + xq . q log x q log x

F¨ ur x > e und mit speziell q = 1 − (log x)−1/2 folgt nach etwas Rechnung x π(x) ≤ (1 + R(x)) log x mit  log x 1 −1 ur x → ∞. + 1/√log x → 0 f¨ R(x) = −1 + (1 + r(x)) 1 − √ log x x Damit folgt π(x) lim sup ≤1 x→∞ x/ log x und damit die Behauptung.



Zum Beweis des Primzahlsatzes 2.14 ben¨otigen wir noch den folgenden Tauber-Satz: Satz 2.16. Gegeben sei eine Folge (an )∞ n=1 in [0, ∞), so daß die Reihe ∞ X D(z) = an n−z n=1

f¨ur alle z ∈ H1 konvergiert. Es sei weiter vorausgesetzt, daß gilt: (a) Die Funktion z 7→ (z−1)D(z) besitzt eine holomorphe Fortsetzung auf eine offene Menge Ω ⊆ C mit H1 ⊂ Ω und D hat in 1 eine Polstelle der Ordnung 1 und vom Residuum ρ :=Res(D, 1) > 0. (b) Es gibt Konstanten C, κ ∈ (0, ∞) mit |D(z)| ≤ C|Imz|κ

und |D(z)| ≤ C|Imz|κ

f¨ur alle z ∈ H1 mit |Imz| ≥ 1. P Dann gilt f¨ur die summatorische Funktion x 7→ A0 (x) := n≤x an : X A0 (x) = an = ρx(1 + r(x)) n≤x

mit

 1  r(x) = O √ f¨ur x → ∞. N log x f¨ur ein geeignetes N = N(κ) (z.B. N(κ) := 2[κ]+2). Herleitung des Primzahlsatzes aus dem Taubersatz 2.16: Wir zeigen, daß die Funktion ∞ ζ ′ (z) X = Λn n−z (z ∈ H1 ) z 7→ D(z) := − ζ(z) n=1

die Voraussetzungen zu Satz 2.16 erf¨ ullt. Die Absch¨atzungen in Voraussetzung (b) sind nach Folgerung 2.12 erf¨ ullt mit κ = 10 (und somit N(κ) = 212 ). Da die Zetafunktion sich zu einer auf C meromorphen Funktion fortsetzen l¨aßt mit nur einer Polstelle in 1 vom Residuum 1, hat D eine meromorphe Fortsetzung auf C mit Polstellen h¨ochstens in 1 und den Nullstellen der Zetafunktion. Es ist ζ(z) = (z − 1)−1 + h(z) mit einer ganzen Funktion h und somit ζ ′(z) −(z − 1)−2 + h′ (z) (z − 1)D(z) = −(z − 1) = −(1 − z) → 1 f¨ ur z → 1. ζ(z) (z − 1)−1 + h(z)

3. DER PRIMZAHLSATZ

51

D hat daher in 1 eine Polstelle der Ordnung 1 vom Residuum ρ = 1. Da die Zetafunktion auf H1 keine Nullstellen besitzt, gibt es zu jedem z ∈ H1 eine offene Umgebung U(z), auf der die Funktion z 7→ (z − 1)D(z) S holomorph ist. Insbesondere ist diese Funktion ullt somit die also auf der offenen Obermenge Ω := z∈H1 U(z) von H1 holomorph. D erf¨ 12 Bedingungen aus Satz 2.16 und es folgt mit N = 2 aus diesem Satz:  1  f¨ ur x → ∞. A0 (x) = ψ(x) = x(1 + r(x)) mit r(x) = O √ N log x Hieraus folgt nun der Primzahlsatz 2.14.



Beweis des Taubersatzes 2.16. Wir definieren f¨ ur alle k ∈ N0 , x > 0: ∞

1 X 1 X an (x − n)k = an (x − n)k χ[n,∞)(x) . Ak (x) := k! n≤x k! n=1

F¨ ur k = 1 ist dies die in der Formulierung des Taubersatzes angegebene Funktion. Durch Integration sieht man: Z x Ak (t) dt = Ak+1 (x) und somit A′k+1 (x) = Ak (x) f¨ ur alle x > 0, k ∈ N0 . 1

F¨ ur alle k ∈ N0 , x > 0 definieren wir rk (x) durch Ak (x) =

ρxk+1 (1 + rk (x)). (k + 1)!

(2.17)

Wenn wir nun f¨ ur k ∈ N0 , N ∈ N und x → ∞ die beiden folgenden Aussagen beweisen k¨onnen p p (2.18) rk+1 (x) = O(1/ N log x) =⇒ rk (x) = O(1/ 2N log x)

und

k >κ+1

=⇒

rk (x) = O(1/log x),

(2.19)

so folgt p rk (x) = O(1/ log x) mit Nk := Nk

( 1 2[κ]+2−k

so folgt f¨ ur k = 0 die Behauptung.

f¨ ur k > κ + 1 f¨ ur k ≤ κ + 1,



Es m¨ ussen also nun noch die beiden Aussagen (2.18) und (2.19) unter den Voraussetzungen des Taubersatzes bewiesen werden. Beweis zu (2.18). Sei k ∈ N0 und N ∈ N beliebig. Nach Voraussetzung existiert eine Konstante Ck > 0 und ein x0 > 1, so daß ∀x ≥ x0 :

|rk+1 (x)| ≤ Ck (log x)−1/N .

(2.20)

Da die Funktion Ak monoton wachsend ist gilt f¨ ur alle x ∈∈ (e, ∞) und h ∈ [−1, 1] unter Verwendung von (2.17): Z x(1+h) ρhxk+2 (1 + rk (x)) = xhAk (x) ≤ Ak (t) dt = Ak+1 (x + h) − Ak+1 (x) (k + 1)! x (2.21)  ρxk+2 k+2 = (1 + h) (1 + rk+1(x(1 + h))) − (1 + rk+1 (x)) (k + 2)!

Wegen

0 6= ρ = Res(D, 1) = lim+ hD(x) . x→1

52

2. DIE RIEMANNSCHE ZETAFUNKTION

Da D(x) > 0 f¨ ur alle x > 1 gilt, ist ρ eine positive reelle Zahl. Dividieren wir nun (2.21) ρxk+2 und subtrahieren wir anschließend h, so erhalten wir durch die positive reelle Zahl (k+1)! die Ungleichung  1 (1 + h)k+2 (1 + rk+1 (x(1 + h))) − (1 + rk+1(x)) − h hrk (x) ≤ k+2  1 1 = (1 + h)k+2rk+1 (x(1 + h)) − rk+1 (x) + ((1 + h)k+2 − 1 − (k + 2)h) k+2 k+2 k    1 1 X k j k+2 = h (1 + h) rk+1 (x(1 + h)) − rk+1 (x) + k+2 k + 2 j=2 j und hieraus mit Hilfe von (2.20) hrk (x) ≤

2k+2 (C(log(1 + h) + log x)−1/N + (log x)−1/N + h2 ) k+2

(2.22)

1

F¨ ur hinreichend großes x ≤ x1 ≥ x0 ist h := (log x)− 2N < 1/2 und es folgt nach Division durch h (wegen h > 0) die Absch¨atzung Kk √ rk (x) ≤ 2N log x mit eine nur von k abh¨angigen Konstante Kk > 0. Um auch ein Absch¨atzung f¨ ur −rk (x) 1 − 2N zu erhalten, setzen wir h := −(log x) < 1/2 und erhalten aus (2.22) nach Division durch −h wegen 1 + h ≤ 1/2 und log(1 + h) + log x ≥ − log 2 + log x ≤ 12 log x f¨ ur x ≥ max 4, x1 : K′ −rk (x) ≤ 2N√ k log x mit einer ebenfalls nur von k abh¨angigen Konstante Kk′ . Damit ist (2.18) bewiesen.  ¨ Beweis zu (2.19). Mit den Ubungsaufgaben 2.6 - 2.8 folgt f¨ ur alle k ∈ N und alle s, x > 0 Z s+i∞ D(z)xz+k 1 dz. (2.23) Ak (x) = 2πi s−i∞ z(z + 1) · . . . · (z + k) Die in (2.19) vorausgesetzte Absch¨atzung |D(z)| ≤ C|Im|κ

(z ∈ H1 , |Imz| ≥ 1)

gilt aus Stetigkeitsgr¨ unden auch f¨ ur alle z ∈ C mit Rez ≥ 1 und |Imz| ≥ 1. Es gibt also eine Konstante C ′ > 0 mit D(z) ′ κ−k−1 z(z + 1) · . . . · (z + k) ≤ C |Imz|

f¨ ur alle z ∈ C mit Rez ≥ 1 und |Imz| ≥ 1. Insbesondere folgt f¨ ur k > κ + 1 und alle z ∈ C mit Rez ≥ 1 und |Imz| ≥ 1: D(z) ′ −2 z(z + 1) · . . . · (z + k) ≤ C |Imz| . Wir verlegen nun den Integrationsweg teilweise auf die Gerade Rez = 1. Mit Hilfe des Integralsatzes von Cauchy folgt aus (2.23) Z 1 D(z)xz+k Ak (x) = dz. 2πi γ z(z + 1) · . . . · (z + k)

Hierbei sei γ der Weg der von 1 − i∞ u ¨ber 1 − i, 2 − i, 2 + i, 1 + i nach 1 + i∞ verl¨auft.

3. DER PRIMZAHLSATZ

53

6

4

2

0 0.5

1.0

1.5

2.0

K

2

K

4

K

6

Abbildung 2. Der Verlauf des Integrationsweges γ Wir haben also die f¨ unf Teilintegrale Z 1−i 1 D(z)xz+k I1 := dz, 2πi 1−i∞ z(z + 1) · . . . · (z + k) Z 2−i D(z)xz+k 1 dz, I2 := 2πi 1−i z(z + 1) · . . . · (z + k) Z 2+i 1 D(z)xz+k I3 := dz, 2πi 2−i z(z + 1) · . . . · (z + k) Z 1+i D(z)xz+k 1 dz, I4 := 2πi 2+i z(z + 1) · . . . · (z + k) Z 1+i∞ 1 D(z)xz+k I5 := dz 2πi 1+i z(z + 1) · . . . · (z + k) ¨ abzusch¨atzen. F¨ ur I1 , I5 folgt unter Verwendung von Ubungsaufgabe 2.5  xk+1  (x → ∞) |I1 | + |I5 | = O log x

¨ Sie tragen also nur zum Restglied bei. F¨ ur I3 liefert jedoch diese Ubungsaufgabe nur die Absch¨atzung  xk+2  |I3 | ≤ O (x → ∞), log x was nicht mehr von der gew¨ unschten Gr¨oßenordnung ist. Da jedoch nach Voraussetzung die Funktion z 7→ (z − 1)D(z) auf eine offene Obermenge Ω von H1 holomorph fortsetzbar ist, gibt es ein s ∈ (0, 1), so daß das abgeschlossene achsenparallele Rechteck mit den Eckpunkten s − i, 2 − i, 2 + i, s + i in Ω enthalten ist. Mit dem Residuensatz folgt

54

2. DIE RIEMANNSCHE ZETAFUNKTION

6

4

2

0 0.5

1.0

1.5

2.0

K

2

K

4

K

6

Abbildung 3. Die Ab¨anderung des Integrationsweges γ 1 I2 + I3 + I4 = 2πi

Z

γ ˜

  D(z)xz+k D(z)xz+k dz + Res ,1 z(z + 1) · . . . · (z + k) z(z + 1) · . . . · (z + k)

wobei γ˜ der Polygonzug ist, der von 1 − i u ¨ ber s − i und s + i nach 1 + i verl¨auft. ¨ Auf den vertikalen Anteil des Integrals ist nun Ubungsaufgabe 2.5   wieder anwendbar. k+s k+1 Er liefert nur einen Beitrag der Gr¨oßenordnung O log = o (wegen 0 < s < 1). x log x Durch direkte Absch¨atzung sieht man, daß die horizontalen Anteile des Integrals von der  k+1 Gr¨oßenordnung O log sind und somit ebenfalls nur zum Restglied bei tragen. F¨ ur das x Residuum berechnet man   D(z)xz+k ρ Res ,1 = xk+1 . z(z + 1) · . . . · (z + k) (k + 1)!

Dies ist gerade der Vorfaktor in (2.17). Damit ist der noch ausstehende Beweis f¨ ur (2.19) erbracht und sowohl der Taubersatz als auch der Primzahlsatz vollst¨andig gezeigt.  Zur Theorie und Geschichte der Riemannschen Zeta–Funktion siehe [26, 55, 58, 87, 102]. Auch einige der im Literaturverzeichnis angegebenen Lehrb¨ ucher zur Funktionentheorie haben zum Teil umfangreiche Abschnitte u ¨ ber die Riemannsche Zeta–Funktion. Zur Theorie analytischer Funktionen in der Zahlentheorie verweisen wir insbesondere auch auf [40, 63]. ¨ Ubungsaufgaben zu Kapitel 2 Aufgabe 2.1. F¨ ur alle n ∈ N definieren wir ( 1 falls n = pk fur eine Primzahl p an := k 0 sonst. Zeigen Sie:

¨ UBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL 2

55

P∞

(a) Die Reihe n=1 an n−z konvergiert auf H1 kompakt und punktweise absolut gegen eine auf H1 holomorphe Funktion Lζ . (b) F¨ ur alle z ∈ H1 gilt ζ(z) = exp(Lζ (z)). Hinweis zu (b): Zeigen Sie zun¨achst ∀z ∈ H1 :

h(z) =

(pm )∞ m=1

∞ X ∞ X 1

m=1 k=1

k

p−kz m =

∞ X

m=1

− log(1 − p−z m ).

Hierbei sei die Folge der der Gr¨oße nach durchnumerierten Primzahlen und log der Hauptzweig der Logarithmusfunktion. Aufgabe 2.2. Zeigen Sie, daß f¨ ur die logarithmische Ableitung der Zeta-Funktion in H1 gilt ∞ ∞ X X ζ ′ (z) p−kz log(pn ) =− n ζ(z) n=1 k=1

(pn )∞ n=1

mit absoluter Konvergenz. Hierbei sei die Folge der der Gr¨oße nach durchnumerierten Primzahlen. Hinweis: Erinnern Sie sich an Lemma 1.7 der Vorlesung und die Produktdarstellung der Zeta-Funktion. Aufgabe 2.3. Zeigen Sie: F¨ ur alle z ∈ H1 gilt mit ( log p falls n = pk f¨ ur eine Primzahl p und ein k ∈ N Λn : 0 sonst f¨ ur die logarithmische Ableitung der Zetafunktion: ∞ X ζ ′ (z) Λn n−z =− ζ(z) n=1 Aufgabe 2.4. F¨ ur reelles x > 0 sei A(x) die Menge aller pn von Primzahlpotenzen der Ordnung n ≥ 2, n ∈ N, mit pn ≤ x. Sei ferner N(x) die √ Anzahl der Elemente von A(x). Zeigen Sie: Es gibt eine Konstante C > 0 mit N(x) ≤ C x f¨ ur alle x > 0. Hinweis: Zeigen Sie hierzu: x . (a) F¨ ur alle Primzahlpotenzen pn ≤ x mit n ≥ 2 gilt n ≤ log log 2 (b) X √ X √ √ n n N(x) ≤ x≤ x+ x. x 2≤n≤ log log 2

x 3≤n≤ log log 2

Sch¨atzen Sie anschließend geeignet ab. Aufgabe 2.5. Sei −∞ ≤ a < b ≤ ∞ und sei f ∈ C 1 (a, b) eine auf (a, b) absolut integrierbare, beschr¨ankte Funktion, f¨ ur die auch die Ableitung f ′ absolut auf (a, b) integrierbar ist. Zeigen Sie: F¨ ur alle x > 0 ist auch die Funktion t 7→ f (t)xit auf (a, b) absolut integrierbar und es gibt eine von Konstante C = C(f ) > 0, so daß f¨ ur alle x > 0 gilt Z b it ≤ C . f (t)x dt log x a

Hinweis: Partielle Integration.

56

2. DIE RIEMANNSCHE ZETAFUNKTION

Aufgabe 2.6. Zeigen Sie, daß unter den Voraussetzungen und mit den Bezeichnungen von Satz 2.16 f¨ ur k ∈ N, x > 0 und s > 1 gilt: Das uneigentliche Linienintegral Z s+i∞ D(z)xz+k Ik (s, x) := dz s−i∞ z(z + 1) · . . . · (z + k) Z ∞ D(s + it)xz+k dt :=i −∞ (s + it)(s + it + 1) · . . . · (s + it + k) ist absolutkonvergent und es gilt Z s+i∞ ∞ x X k n Ik (s, x) = an x dz . s−i∞ z(z + 1) · . . . · (z + k) n=1 Aufgabe 2.7. Berechnen Sie f¨ ur k ∈ N, s > 0 und 0 < a ≤ 1 das uneigentliche Linienintegral Z s+i∞ 1 az Jk (s, a) := dz. 2πi s−i∞ z(z + 1) · . . . · (z + k) Aufgabe 2.8. Berechnen Sie f¨ ur k ∈ N, s > 0 und reelles a ≥ 1 das uneigentliche Linienintegral Z s+i∞ 1 az dz. Jk (s, a) := 2πi s−i∞ z(z + 1) · . . . · (z + k) Aufgabe 2.9. Zeigen Sie ( Z 2+i∞ z 1 0 falls 0 < x < 1 x dz = 2πi 2−i∞ z 2 log x falls x ≥ 1.

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LITERATURVERZEICHNIS

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Index

Beta–Funktion, 37 Bohr–Mollerup Satz von, 25

Taubersatz, 50 Thetafunktion von Tschebyscheff, 48 Tschebyscheff-Funktion, 48

Digammafunktion, 25

Verdoppelungsformel von Legendre, 28

Eulersche Konstante, 22 Eulersche Multiplikationsformel fur die Gammafunktion, 9 fur die Sinusfunktion, 27 Eulersche Reflexionsformel, 23

Zeta–Funktion, 38 Funktionalgleichung, 42

Frullani–Integral, 28, 36 Funktion Γ, 20 Ψ, 25 θ, 48 ξ, 44 ζ, 38 Beta–, 37 Funktionalgleichung der Gammafunktion, 20, 21 der Riemannschen Zeta–Funktion, 42 Gammafunktion, 20 Eulersche Multiplikationsformel, 9 Eulersche Reflexionsformel, 23 Funktionalgleichung, 20, 21 Gaußsche Multiplikationsformel, 26 Stirlingsche Formel, 32 Verdoppelungsformel von Legendre, 28 Gaußsche Multiplikationsformel, 26 Legendre Verdoppelungsformel, 28 logarithmische Ableitung, 24 Primzahlatz, 49 Primzahlsatz, 49 Psi–Funktion, 25 Riemannsche Vermutung, 43 Riemannsche Zeta–Funktion, 38 Funktionalgleichung, 42 Satz von Bohr–Mollerup, 25 Stirlingsche Formel, 32 61