H. und s c h u 1 z F e d d e r s e n W e i c h e r t ZWÄNGUNGSKRÄFTE

H. und s c h u 1 z F e d d e r s e n W e i c h e r t ZWÄNGUNGSKRÄFTE

Dr.-Ing. s c h u 1 z H. Dipl. -Ing. I. F e d d e r s e n und Dipl.-Ing. H.-J. W e i c h e r t ZWÄNGUNGSKRÄFTE INFOLGE SOHLREIBUNG Restraining forces ...

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Dr.-Ing. s c h u 1 z H. Dipl. -Ing. I. F e d d e r s e n und Dipl.-Ing. H.-J. W e i c h e r t

ZWÄNGUNGSKRÄFTE INFOLGE SOHLREIBUNG Restraining forces due to base friction

Zusammenfassung Auf dem Boden aufliegende Balken und Platten werden durch Schubkräfte zwischen Boden und Balken (Platte) beansprucht, wenn Horizontalkräfte auf den Balken wirken, der Balken vorgespannt wird oder Tem~eraturunterschiede zwischen Balken und Boden auftreten. Der l e tztgenannte Fall der Beanspruchung infolge von Temperaturunterschieden t r i t t immer auf, wird in der Regel nicht richti~ erfaßt und unterschätzt. Der Aufsatz befaßt sich mit der Größe und der Verteilung der Schubkräfte in der Balkensohl e und der daraus resultierenden Balkenbeanspruchung für e in e bilineare (linearerastische ideal-plastische) Scherspannungs-Verschiebungsfunktion unter Berücksichtigung der Sohlnorm a lspannung und der Balkenelastizität.

Summary Be ams and plates on the grotind are stressed by shear-forces between ground and beam, if horizontal forces are effecting the beam, if the beam is prestressed or if differences in temperature oc cur between beam and ground. The last mentioned case of stress caused by differences in temperature is not avoidable. The resulting stresses are usually not ca lculated with sufficient accuracy and they are of ten underestimated. The report concerns with the magnitude and the distributior 6f the shear forces along the beam. The resulting forces in the beam are calculated with a bilinear (linear elastic ideal plastic) shear Stress-displacement function resarding the normal stress between beam and ground and the elasticity of the beam.

Mitt.-Bl.d.BAW

(1980)

Nr.

48

57

Schulz u.a.:

Zwängungskräfte infolge Sohlreibung

I N H A L T

Seite

58

0

Zusammenstellung der Bezeichnungen

59

1

Einleitung

61

2

Ansatz der Sohlreibung

62

3

Herleitung der Gleichungen

64

3.1 Bereich 0~ x ~L*

65

3.2 Bereich O< x
69

3.3 Kopplung der Bereiche

70

3.4 Dimensionslose Darstellung

72

3.5 Berücksichtigung von Kohäsion

75

4

Anwendung

76

5

Schlußbetrachtung

79

6

Literatur

80

Mitt.-Bl.d.BAW

(1980)

Nr.

48

Schulz u.a.:

0

Zwängungskräfte infolge Sohlreibung

Zusarrunenstellung der Bez·e ichnungen

A

Balken- oder

B

Balken- oder . Plattenbreite

cf

Bruchwert

Plattenqu~rschnitt

(Grenzwert)

der Kohäsion

mobilisierte Kohäsion Elastizitätsmodul des Balken- oder Mobilisierungsgrad für Reibung:

f f

c

H

Balken- oder Plattenhöhe

L

Balken- oder Plattenlänge

=

f

Mobilisierungsgrad für Kohäsion:

Platte~materials

f

c

= m

c

• s

Bereich von L, in dem die Verschiebung s kleiner oder. gleich der Grenzverschiebung sg ist Bereich von L, in dem die Verschie~ung s größer als die Grenzverschiebung s ist

L

g

m

c

Kohäsionsverformungsmodul Steigung der linearisierten Mobilisierungsfunktion für die Kohäsion Schubbettungsmodul Steigung der linearisierten Mobilisierungsfunktion für die Reibung

PL

r

Randnormalkraft am Balken- oder Plattenende Normalkraft an der Stelle x

L

Normalkraft an der Stelle x

0

Reibungsparameter für Ve~schieb~ngen bis zur Grenzverschiebung sg, d.h. gültig für den Bereich der Länge L *: , r

r

*

B~cr-mR.tan!llf =

AEB

Reibungsparameter für größere Ve~schiebungen s als die Grenzverschiebung sg, d.h • . gültig für den Bereich der Länge L: B.cr.tan~f

r

s

=

AE~

Verschiebung eines Eleme~tes des Platte in axialer Richtung

Mitt.-Bl.d.BAW

(1980)

Balk~~s

Nr.

48

oder

de~

59

Schulz u.a.:

s

g

infolge Sohlreibung

Grenzverschiebung: Scherverschiebung,bei der der volle Scherwiderstand der linearisierten Mobilisierungsfunktion erreicht ist. Sohlreibungskraft über die Balken- bzw. Plattenbreite

T

T

Zwängung~kräfte

c

Sohlschubkraft infolge Kohäsion über die Balken- oder Plattenbreite

x

Ortskoordinate im Bereich der Länge L*

x

Ortskoordinate im Bereich der Länge L

~t

mittlere, gleichmäßige Temperaturänderung über der Querschnittsfiäche A

a

Temperaturdehnungskoeffizient

E

Randdehnung am Balken- oder Plattenende unter der Wirkung der Randkraft PL und der Temperaturänderung

-

Dehnung des Balkens oder der Platte an der Stelle . * unter der Wirkung der Kraft PL* und der X == L Temperaturänderung ~t p.o

Gesamtverlustfaktor: 'f'

f

*

-

'f

PL Verlustfakto.r über die Länge L*: 'f'

-

Verlustfaktor über die Länge L:

p



c

PL * PL*

("'

PL

~f

Bruchreibungswinkel zwischen Baugrund und Bauwerk

~ ""mob

mobilisierter Reibungswinkel zwischen Baugrund und Bauwerk Längenverhältnis:

cr

L*

A

L

Sohlnormalspannung Sohlreibungsspannung dimensionslose Ortsveränderliche im Bereich der Lange L

.

*

X

AL dimensionslose Ortsveränderliche im Bereich der Länge L: X

==

L

60

Mitt.-Bl.d.BAW

X

( 1-A)L

(1980)

Nr.

48

~t

Schulz u.a.:

1

Zwängungskräfte infolge Sohlreibung

Einleitung

Verschiebungen von Bauwerken auf dem Baugrund lösen Sohlschubspannungen aus, die zur Erhaltung des Gleichgewichtes der horizontalen Kräfte sehr willkommen · sind. Rühren diese Verschiebungen , aber aus Längenänd-erungen einer Sohlplatte oder eines Gründungsbalkens her, so können die Sohlschubspannungen zu unerwünschten Zwängungskräften in diesen Bauteilen führen, etwa bei Temperaturänderungen großer fugenloser Bauteile oder bei der Einleitung von Vorspannkräften zur Verhinderung durchgehender Trennrisse. Der Einfluß der Sohlreibung auf die Bemessung von Sohlplatten konnte zunächst bei kleinen Platten mit vereinfachenden Annahmen, z.B. einer verschiebungsunabhängigen konstanten Sohlreibung berücksichtigt werden , erlangte aber mit dem Bau größerer und stärker -beanspruchter Flugpisten und vorgespannter Fahrbahnen zunehmend eine wirtschaftliche BedeUtung. Die math.e-:matische Ableitung für die Berücksichtigung eines bilinearen Scherspannungs - Verschiebungsgesetzes für die Sohlreibung beschrieb R. Walter in /1/ nach einer Arbeit von R. Peltier. Die Integrationskonstant e D1 der Lösung der . Differentialgleichung wird hier jedoch f~lschlicherweise D1 = o gesetzt, was zu einem falschen Ergebnis führt. Ebenso ist in der Arbeit von Koepcke /2/ über die Berechnung von Betonfahrbahnen, in welcher die Berücksichtigung eines b~~iebigen polygonalen Scherspannungs - Scherverschiebungsgesetz~s mathematisch hergeleitet wird, ein Fehler enthalten . In Gleichung (9a) muß es dort tanhax statt sinhax heißen. Im Jahre 1978 hat Alpan jjj das Pfahlproblem mit einer bilinearen Arbeitslinie für die Mantelreibung behandelt und dabei auf Matlock verwiesen, der nach Seed und Reese, 1955, /4/ die maßgebende Differentialgleichung 1951 angegeben h~be. Nachfolgend werden die Differentialgleichungen für ein bilineares Scherspannungs - Scherverschiebungsgesetz für den Sohlreibungsfall nochmals abgeleitet. Es wird gezeigt, wie die Kombination der Gleichungen für die Bereiche einer linear zunehmenden Scherspannung und einer konstanten · Scherspannung es gestattet, die Zwängungskräfte aus Temperaturänderungen oder die Vorspannkraftverluste beim Vorspannen langer Platten geschlossen zu errechnen.

Mitt.-Bl.d.BAW

(1980)

Nr.

48

61

Schulz u.a.:

2

Zwängungskräfte infolge Sohlreibung

Ansatz der Sohlreibung

Aus Scherversuchen kennen wir die in Bild 1 a gezeigte Scherkraft•Scherverschiebungslinie, die i~ Bild 1 b in dimensionsloser Form wiedergegeben ist und in dieser Form häufig "Mo- . bilisierungsfunktion" genannt· wird. Unter Inkaufnahme g~wisser Ungenauigkeite~ soll der gekrümmte Kurvenverlauf durch einen den jewe~iigen Erfordernissen nach ingenieurmäßigen Gesichtspunkten angepaßten bilinearen Geradenzug vereinfacht werden, wie er in Bild 1 c dargestellt ist. Nach einer Grenzverschiebung sg ist die mögliche Reibung voll mobilisiert und damit f = 1. Die Neigung mR des ansteigenden Astes der bilisierungsfunktion beträgt damit

lineari~ierten

Mo-

mR soll als Schubbettung s mod ul bezeichnet werden, wobei der Index R andeutet, daß es sich dabei um einen Reibungsanteil handelt. Soweit die Reibung nicht voll mobilisiert ist, .f als 1 ist, gilt

also kleiner

(1)

und das Mohr-Coulomb'sche Gesetz wird T

a • mR • s • tan

=

~f

( 2a) •

Damit ist die Mobilisierung einer Scherspannung T an ein Verschiebungsmaß s geknüpft. Im Bereich s setz

> sg gilt dann das verschiebungsunabhängige Ge-

T

62

= a • tan

Mitt.-Bl.d.BA~

~f

(1980)

( 2b)

Nr.

48

Schulz u.a.:

Zwängungskräfte infolge Sohlrßibung

I

a)

~

I

r = o tan lb

1

~-= o tan


1.0

b)

tan ~mob tan
I

0.5

I s Sg

c)

Sg

Bild 1

a) b) c)

Sch.erspannungs-"Sch.erversch.iehungslinie Mobilisierungsfunktion Bilineare Mobilisierungsfunktion

Mitt.-Bl.d.BAW

(1980)

Nr.

48

63

Schu l z u . a . :

3

Zwängungskräfte infolge Sohlreib u ng

Herle i tung der Gleichun gen

Der Balken wird in der Symmetrieachse und in dem noc h un bekannten Punkt, an dem s = sg erreicht ist , geschnitten ( Bild 2) .

I pl ..

~

1

Bild 2

·+=,

1-- ·

- -

L

L

·

1__!1__.

~+H +B-+

L

I

Bereic h

0 ~ x sL" :

s (x )
Bereich

o< x ~r :

s (xl > s 9

Geometrie und Bezeichnung e n a n Pl a tte oder Ba lken

Im Bereich mit der Länge L~ gilt T = f (s,o) . Das Verhältnis der Randkräfte (Schnittkräfte) wird durch den Verlustfaktor . f * = Po/PL~ ausgedrückt . Im äußeren Bereich mit der Länge L gilt T = f(o). Der V~rlustfaktor beträgt hier~= PL*/PL • Für den gesamten Balken ergibt er sich zu

'f* . f

=

f.

(3)

Zur Ermittlung des Vorspannkraftverlustes wird ein Platten element der Querschnittsfläche A

= H • B

mit H = Höhe und B = Breite und der Länge dx (Bild 3) betrach tet , das den Elastizi t ä t smodu l E 8 habe • . Fo l gende Vorze i chsn regeln werden zusätzlich zu den in Bild 2 dargestellten Bezeichnungen vereinbart: Versch i ebung s positiv in positiver x - Richtung Betonkraft P positiv bei Zug

64

Mitt .- Bl . d . BAW

(1980)

Nr.

48

Schulz u.a.:

Zwängungskräfte infolge Sohlreibung

Temperaturänderung ßt positiv bei Erwärmung Reibungsparameter r positiv bei Verschiebung in positiver x-Richtung

s(x).ds (x)

Bi.ld 3

s (x)

Platten- oder Balkenelement

Betrachtet wird zunächst der losgelöste Balkenteil 0 ~ x ~ L * , in dem die Grenzverschiebung lsg!= · 1/mR noch nicht oder gerade an der Stelle x = L* erreicht sei. Für diesen Te~l wird die Sohlreibungskraft T(x): T(x)

= B·T(X)

=

B·cr•mR • tan{Zif

• s(x).

( 4)

Aus dem Kräftegleichgewicht am Element der Länge dx folgt: dP(x)

= T(x)•dx.

(5)

Die axiale Dehnung des Betons beträgt in erster Näherung ds(x) dx

P (x)

A.E

+

(6)

a•ßt,

B

woraus durch Differentiation fqlgt: dP(x) dx

( 7)

Wird (4) in (~) eingesetzt, dieser Ausdruck dann in (7) ., so ergibt sich mit der "Reibungsparameter r" genannten. Abkürz·ung r

2

B.q.mR·tan{Zif

(8)

A• E . B

Mitt.-Bl.d.BAW

(1980)

Nr.

48

65

Schulz u.a.:

Zwängungskräfte irrfolge Sohlreibung

die das Problem beschreibende DifferentialgleicQung: d

2

s (x)

dx

r

2

2

o.

•s(x)

(9)

Der L6sungsansatz für diese hbmogene Differentialgleichung lautet:

+ C

s (x)

2e

-rx

(10)

Folgende Randbedingungen stehen zur Bestimmung . der Konstanten c 1 und c 2 zur Verfügung: X

X

*

p

* r*·<~ AEB

ds (x=O) dx

= 0:

L :

*

PL*

ds( x =L) dx

AEB

+ a • ßt)

(11)

+ a •t:.t.

( 1 2)

Gleichung (11) sollte an sich in der folgenden Form angeschrieben werden:

ds(x=O) dx

+

'f t *

• a-· t:. t •

Da aber im vorliegenden linearen Bereich das Überlagerungs·= 'f*· prlnzlp gl l t, lSt lp * = V>t* 1 •

0

0

0

10

Die Ableitung von

(10)

ds(x) dx

ergibt

C rer x

(13)

1

und mit der Schreibweise a•t:..t

+

(14)

ergibt sich nach Einsetzen von (11) bzw. (12) in Gleichungssystem zur Bestimmung von c und C2:

(13)

ein

1

-

rC 1 • e-

66

rL

*

rC

r

C

(15)

2 .

2

~e

-rL

Mitt.-Bl.d.BAW

*

*

e:

(1980)

(16)

Nr.

48

Schulz

Zw&ngungskräfte infolge Sohlreibung

u~a.:

Die Konstanten ergeben sich daraus zu: E:

c1

*

r e

E:

*

rL

1-

r

e

f * e rL

rL

(1 7)

* -e -rL * ~

-e

~

-rL

( 18)

~

und damit die Lösung E:

s (x)

*

r

e

bezw.

E:

*



-e

-rL

.

(19)

cosh rx- 'f~ cosh r (L ~ -x)

r X

~

in einfacherer Form

S (X)

Für

rL

0

L

und x

s(x=O)

s

* E:

r

0

s(x=L * )= s •= L

Aus Gleichung

(20)

sinh rL*

( 2 1)

ergeb e n sich die

*

*

1-}:> cosh rL

Ausdrück~

*

(2 1)

sinh rL *

* *

cosh rL - 'f r

. h Sln

rL

erhält man, da

'f*

( 2 2)

*

0

sein muß:

1

( 2 3)

cosh rL~

Wenn r und L* gegeben sind, kann aus Bild 4 der Verlustfaktor ~* entnommen werden, wobei L* an die Stelle von A•L treten muß. Der Verlauf der im Balken verbleibenden Kraft P(x) Verwendung von (6) und (20) gegeben durch

p (X)

AE B"

(ds (x) dx

ist unter

-a.. L'lt)

bzw.

Mitt.-Bl.d.BAW

(1980)

Nr.

48

67

Schulz u.a.:

P (x)

AE

B

• ( E:

*•

sinh rx + 'fll'sinh r (L *-x)

-

-

Cll:l.t)

(24)

sinh rL*

'P'" = .!L Pl.,

1.0

Zwängungskräfte infolge Sohlreibung

. Bereich

S < Sg

0. g

I

V=PL•

0.8

·

V: Pl•

~,lm>X t Yhl I P>A t t»>;r

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0

Bild 4

2

3

*

Verlustfaktor 'f als Funktion des Reibungsparameters und der Länge

Der Verlauf der Sohlreibungskraft T( x ) ergibt sich aus und (20) in Verbindung mit (a);

T (x)

68

rAE

B

E:*

cosh rx -

*

*

'(' cosh r (L -x)

. h s~n

Mitt.-Bl.d.BAW

rL *

(1980)

Nr.

48

(4)

(25)

Schulz u.a.:

Zwängungskräfte infolge Sohlreibung

< - < 3.2 Bereich 0 - x - L

Für diesen Bereich mit s · > ·Sg ist .T (x) . unablLängig vom Verschiebungsbetrag. Es gilt: Bcrtan~f · dx

(26)

und dP

(2.7)

~

Die Dehnung im Bereich 0

ci> dx

ds

xi

L ist

at;t,

+

woraus sich mit (27) ~nd (26) und urite~ Beachtung des tungsbehafteten Reibungsparameters für diesen Bereich_

rich~

Bcrtan~f

r

(29)

AEB

die Differentialgleichung

-

r

c3 C))

= 0

ergibt. Der . Lösungsansatz für dies~ Diffe~entialgleiclL~ng lautet 1 r 2

s (x)

-2

+ b

X

+ b

X

1

(31)

2

mit den Randbedingungeri

X

X

s

= 0:

-

ci

0)

s

PL·

ds (x)

= .L:

1

g

dx

AEB

(32)

mR

+ ' at...t

E:,

(33)

woraus sich die Konstanten ergeben zu: b2

b1

=

1

mR E:

- r-

L

Mitt.-Bl.d.BAW

(1980)

Nr.

48

69

Schulz u.a.:

Zwängungskräfte infolge Sohlreibung

Damit ergibt sich die Verschiebung s (x}

1 --2 rx +

=

( 3 4)

2

mit den Randwerten X

=

X

0:

s(x

0)

L:

s(x

i:>

Die Axialkraft P(x)

= +

+

sg

(35)

1--2 1 -rL + E:L + mR •

sL

wird nach

1 -mR

2

(36)

(28) {37)

oder unter Beachtung von (33)

ci:-x>

p (~)

d.h. P(~)

(38)

>

ist von der Temperaturänderung öt unabhängig.

Die Sohlreibungskraft T(x) ist: T (~)

AE

• r

B

(39)

An dieser Stelle soll noch kurz erwähnt werden, daß neben dem Reibungsparameter r auch die Grenzverschiebung Sg bzw. der Schubbettungsmodul ffiR als richtungsbehaftete Größen in den Gleichungen dieses Abschhittes betrachtet werden müssen.

3.j Kopplung der Bereich~ -------------------~-

An der Stelle x s(x oder mit

e: * r

70

=

L * bzw.



0

gilt

0)

L )

(22)

-x =

und (35)

cosh rL

·JJ

-:-

(40)

sinh rL*

Mitt.-Bl.d.BAW

(1980)

Nr.

48

Schulz u.a.:

Ersetzt man E: mit

(38) · ~

Zwängungskräfte infolge Sohlreibung

• durch

(14),

nach Gleichung

darin PL* durch

'f' •PL und bildet

(3):

rL 1- E:-a.t.t so erhält man aus

(40)

E:-rL. cosh rL r

(4 1~

*

t*

-

sinh rL

( 4 2)

*

*

*

Drückt man nun ~ durch (23) aus und setzt L = AL entsprechend Bild 2, sowie E = (1-A~L, so geht, mit Benützu~g von (8) und (29) für r

( 4 3)

:r Gleichung

(42)

über in

cosh rAL sinh rAL

r A. L + ( r

L

.;...

~E: ) r

o.

( 4 4)

Mit (44) steht eine implizite Bestimmungsgleichung für A. zur Verfügung, die für die Parameter ~L und(r/~) • E: in Bild 5 wiedergegeben ist. Mit A aus Bild 5 ergibt sich aus Bild 4 der Wert von f*· Der gesamte Verlustfaktor infolge e~ner axialen Vorspannkraft PL und einer gleichmäßigen Temperaturänderung t.t beträgt damit

y>*" • bzw.

'f

unter Beachtung von

i

( 4 5)

(41)

*.(l- r:(1-A.)L

(46)

E:-a.t.t

so daß die von der eingeleiteten Kraft PL im Bewegungsnullpunkt noch ankommende Kraft gegeben ist durch

(47) Die info l ge t.t zusätzlich ~uftretenden Zwängungskräfte müssen im Bereic~ o. S x S L* entsprechend Gleichung (24) noch ' überlagert werden.

Mitt .• -Bl.d.BAW

(1980)

Nr.

48

71

Schulz u.a.:

Zwängungskräfte infolge Sohlreibung

A C)c::l' ,_-,

q

~~- ~-fiif~~~

gu:s~......, -·-·

1--b--r

1.0

E

I=

1.25 1. 50 2.00 2.50 3.00 0.5 4.00 5.00 6.00 8.00 10.0

0 0

2

3

4

5

rL

Längenverhältnis A als Funktion des Reibungsparameters, der Länge und der Randdehnung

Bild 5

Unter Benutzung des Längenverhältnisses

A = L*

( 4 8)

L

und von dimensionslosen Ortsveränderlichen

~* = ~ AL (49) X

(1-A)L erhält man für den Bereich 0 ~ · x S AL mit

72

Mitt.-Bl.d.BAW

(1980)

Nr.

(23)

48

Schulz u.a.:

r s (i;;•) e: '.t.

Zwängungskräfte infolge Sohlreibung

= cosh rA.L .cosh rA.Ls

*

*

-cosh rA.L ( 1-i;; ) cosh rAL•sinh rA.L

( 5 0)

Bei der Axialkraft wird zweckmäßig ein Anteil mit ßt = 0 und ein Anteil mit PL'.t ~ 0 unterschieden:

ßt = 0:

p

L~

T (

0:

s*>

rAEB.e:

cosh rAL•sinh rA.LE;*+sinh rA.L cosh rA.L•sinh rA.L

PU;*>

rL

-p



l+P(i;; ) AEBaßt

(51)

cosh rA.L·sinh rA.LE;*+sinh rA.L(l-E; * ) ; (52).. cosh rA.L·sinh r .A.L

*

*

(1-.;*>

cosh rA.L.cosh rA.Ls -cosh rA.L(l-s cosh rA.L·sinh rA.L

*)

(53)

Die Gleichungen (50) und (53) sind durch Bild 6, die Glei6hungen (51) und (52) durch Bil~ 7 wiedergegeben. T( ~ )

AE8 re:• ~. s (~),Bere i ch s< s9

I. 0

+--------..,....---------

0.5

0

1.0

Bild 6

0.5

0

Dimensionslose Darstellung der Sohlschubkraft und der Ve~schiebung

Mitt.-Bl.d.BAW

(1980)

Nr.

48

13

Schulz u.a.:

Zwängungskräfte infolge Sohlreibung

P( ~)

1.

AE 1 at.t

p(g l

, Bereich

S < Sg

rL~ =

1.0

0.25 0.50 0.75 1.00

0.5 1.50 2.00

3.00

4.00

5.00

0 0.5

1.0

0

-1

g :X- ~

Bild . 7

Dimensionslose Darstellung der Normalkraft

- < Für den Bereich 0 -< X

1 (1-A)L

l

2

-2

r(1-A)L~

(1-A)L

+

ergeben sich folgende Ausdrücke:

-

-

(E:-r(1~A)L)~

Für die Axialkraft folgt aus

+

1 ( 1-A) LmR.

(54)

(38):

AEB 1 -

·r

p

(1-A)L(1-~)

(55)

L

74

Mitt.-Bl.d.BAW

(1980)

Nr.

48

Schulz u.a.:

Zwängungskräfte infolge Sohlreibung

und . für die Sohlreibungskraft

1.

(56)

Da sämtliche Größen im Bereich 0 ~ ~ ~ (1-A)L einfach von ~ bzw. ~2 abhängen, werden sie nicht gesondert dargestellt.

Setzt man für die Mobilisierung der Kohäsion mit

f

(57)

c

mobilisierte Kohäsion

mit cmob

Bruchwert der Kohäsion eine ebenfalls bilineare Beziehung entsprechend Bild 1c an, so gilt

f

m

c

c

• s

bzw. (58)

cmob wobei mc als Kohäsionsverformungsmodul bezeichnet wird. Die Sohlreibungskraft ergibt sich dann zu T

c

(x)

= B•m

c

·c

f

(59)

·s(x).

Ersetzt man in dem Ausdruck (8) den Term cr•catan~f durch den Term mc•Cf, in dem Ausdruck (29) den Term cr·tan~f durch den Term Cf, so können alle bisher hergeleiteten Gleichungen auch für den kohäsiven Boden verwe.n det w-erden. An dieser Stelle . soll nochmals auf dLe vereinfachende Annahme einer linearen Mobilisierungsfunktion hingewiesen werden. Diese Annahme kann recht erhebliche Auswirkungen haben, die aber, da es sich insgesamt um ein von den Randbedingungen her einfaches Problem handelt, am besten ingenieurmäßig berücksichtigt werden kann, inde~ ein die tatsächliche Mobilisierungsfunktion in dem zu erwartenden Bewegungsbereich optimal annäh~rnder ma-Wert g~währt wird. Bei Scherverschie-

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(1980)

Nr.

48

75

Schulz u.a.:

Zwängungskräfte infolge Sohlreibung

bungskurven,die nach dem Bruchwert einen Abfall zeigen, erhält man mit der bilinear~n Form zu große Sohlreibungskräfte. In der Regel wird man damit auf der sicheren ·Seite liegen. Für den Sonderfall, ?aß die Randverschiebungen eines Balkens oder einer Platte kle~ner sind als die kleinere Grenzverschiebung sg für Reibung oder Kohäsion, kann die Sohlreibungskraft auch in der Form ( 60) angesetzt ward~n. In Gleichung (8) ist dann statt a•mR•tan~f der Klammerausdruck von (60) ~inzusetzen. Wegen der geringen Verschieb u ngen, die häufig zur vollen Mobilisierung der ' Kohäsion ausreichen, kann es gelegentlich sinnvoll sein, sie sofort mit dem voll~n Wert Cf anzusetzen.

4

Anwendung

Wird der einfache Fall k o nstanter Parameter be~rachtet, so ist die Größe des Vorspannkraftverlustes durch die Gleichung (23) gegeben, soweit sg nicht überschritten wird. Interessant ist nun die Frage, welche Randkräfte müssen z.B. ari einer Betonplatte noch aufgebracht werden, damit bei einer Temperaturänderung ~ßt im Bewegungsnullpunkt keine Zugspannungen entstehen. Für ~* ßt mit

0 erhält man aus P(~*) (51) und (52):

=

infolge P

L

und P(~*)infolge

cosh r!..L bzw. 'fP

L

Gleichung s (x

-

(61)

=

L

*)

(1-cosh r/..L)

ist in Bild 8 ~

s

~

( 6.1)

wiedergegeb~n.

Für den Fall

g

gilt:

76

'f

1,

t..

1,

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Nr.

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Schulz u.a.:

t

Zwängungskräfte infolge Sohlreibung

PL• AE 1atd

·10

.g

·8

• 7·

•b

~ = coshrl- 1 AE 8 a61

·5

·4

•3

·2 ·1

3

Bild 8

SirALl Ir 1•1

4

Randkraft infolge Temperaturänderung bei Vermeidung von Zugspannungen im Bewegungsnullpunkt

so daß aus Bild 8 sofort die Größe der Randkraft PL ·zu ermitteln ist:

Zur Verdeutlichung diene folgendes Beispiel:

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Nr.

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Schulz u.a.:

Sohlplatte:

Zwängungskräfte infolge Sohlreibung

30 m

L B A

8 m 2 8 m

EB

3•10

kN/m 2

2

25 kN/m 1 1300 m 35° m 10- 5 m.OK _:2o K

(J

m

R

=

y:Sf

7

Cl

t:.t

Aus diesen Daten ergibt sich:

r

8·25·1300·0,70 7 8·3·10

rL

0,0275·30 = 0,825 .

Aus Bild 8 ist unter der Annahme A zu entnehmen: erf P

L

1

0,0275

m

1, d.h.

für rAL=0,825

0,375 .

Damit ergibt sich erf.P

L

:

7 -5 ·2 0,375·8·3-10 •10 In diesem Beispiel ist die Temperaturänderung noch riicht so groß, daß die Grenzverschiebung sg an irgendeiner Stelle der Platte überschritten wird. Soweit dies zu befürcht~n ist, kann die Stelle x = folgendermaßen gefunden werden: L wird als Unbekannte so eingeführt, daß A=1 gilt. Aus Gleichung (44) erh~lt man mit Berücksichtigung von (43):

L*

cosh rL sinh rL

-

r

(62)

E:

Aus (61) erhält man zur Vermeidung von gungsnullpunkt:

Z~gkräften

im Bewe-

p

L

78

+

1

cosh rL

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(6 3)

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Schulz u.a.:

Zwängungskräfte irifolge Sohlreibung

Auß den Gleichungen Gr6ßen :i. und P

(62)

und

(63)

erhält mari die gesuchten

L

sinh rL

r

( 6 4)

2 AE

B

+ 1

a.ßt ·

-

( 6 5)

1

Das sich aus (64) ergebende L ist in weiteren Berechnungen als L* zu verwenden, das sich aus (65) ergebende PL als PL*· Die zum Ausgleich der Temperaturspannungen im Bewegungsnullpunkt erforderliche Randkraft PL ergibt ·sich mit (65) und (39) unmittelbar zu: 2 p

+ 1

L

Man erkennt aus mendem ßt, aber

5

( 6 6)

(64), daß die Größe von L (= L * ) • mit zunehmit zunehmendem mR abnimmt.

au~h

Schlußbetrachtung

Die Bewertung der hergeleiteten Formeln anhand eines Beispiels ist aber nicht als vollständig zu beze~chnen, wenn nicht wenigstens noch einige weitere Faktoren, die von Einfluß sind, angesprochen werden. ITie vorstehende Betrachtungsweise läßt . völlig außer acht, daß zwischen den Wirkungslinien ~on Axialkraft (Verspannung) und Sohlreibung ein Hebelarm existi~rt, der ein Biegemoment in ·der Platte bewirkt~ Dieses wird zwar durch . das Eigengewicht wieder ausgeglichen, führt aber doch zu Umlageru~gen der Sohlnormalspannungsverteilung mit einer Konzentratlori in Plattenmitte und damit insgesamt zu einer Verringeruftg der Zwängungsbeanspruchung. Dennoch sollen alle die Zwängung abbauenden Effekte, zu denen auch Kriecheinflüsse ~u zählen sind, nicht zu einer Unterschätzung der Zwängungsbeanspruchung führen. Am Beginn einer Verschiebung liegt in der Regel ein höherer r-Wert vor und damit ergibt sich eine größere Zwängungsschnittkraft. Insgesamt sind die Zusammenhänge von Tempera-

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Nr.

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Schulz u.a.:

Zwängungskräfte infolge Sohlreibung

tur-, Festig~eits-, Elastizitätsentwicklung, Kriech- und Reibungsverhalten sehr kompliziert und in dem hier beleuchteten Problemkreis nicht annähernd vollständig erfaßt. Dennoch meinen wir, . stelle~ die hergeleiteten Formeln ein wichtiges, zumindest einige wesentliche Parameter in einfacher Weise berücksichtigendes Hilfsmittel dar, um die Reibungsbeanspruchungen von Gründungselementen abschätzen zu können.

6 /1/

Literatur Walther, R.

147 -

160

/2/

Koepcke, W.

Berechnung vorr Betonfahrbahnen. Der Bauingenieur 36 ( 1961) s. 87 - 93

/3/

Alpan, I .

Das Last-Setzungsverhalten des Einzelpfahles. Der Bauingenieur 53 (1978) s. 293 - 298

/4/ Seed, H.B., Reese, L.C.

80

Spannbetonstraßen. Beton 10 (1960) s.

The Action of Soft Clay along Friction Piles. Proc. ASCE 81 (1955) S. 1 - 28

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