Solutions for Midterm

Solutions for Midterm

Physics  160  Fall  2013     Midterm  Exam     Physics  160:  Stellar  Astrophysics   Midterm  Exam   31  October  2013   Score  (out  of  128)  ...

133KB Sizes 0 Downloads 18 Views

Recommend Documents

Midterm Solutions
(I) A bullet of mass m moving at horizontal velocity v strikes and sticks to the rim of a wheel (a solid disc) of mass.

Midterm Solutions
Mar 8, 2007 - The Bankers algorithm is a deadlock avoidance scheme since it defines an algorithm and .... to 12 using a

Solutions for the Midterm Exam
4. ) be the quotient space of the unit interval, where the open interval (1. 4. , 3. 4. ) is identified to a single poin

Midterm Examples Solutions
Oct 14, 2011 - the price of both candy bars and toothpaste is 1. Draw the income consumption curve and the. Engel curves

Practice Midterm solutions
The statement is true by the first derivative test. 2. If /'(a) = 0, /(x) can have an inflection point at a, which is ne

Oct 9, 2006 - Chipotle Mexican Grill, Inc. has future operating lease commitments ... In your valuation of Chipotle Inte

Midterm Practice with Solutions
(c) If A and B are sets, A − B = A ∩ B. F ... (l) one-to-one on the set of positive integers. T. 1. Page 2. 2. Show

Midterm Exam 2 Solutions
The second derivative test: f//(x)=2+. 3 · 32 x4. > 0 for all x > 0. Specifically f//(2) > 0. Hence there is a local mi

Midterm 2 Solutions - Piazza
Nov 13, 2013 - AC won out over DC in the war of currents in part because of this critical device: A) The electric genera

Midterm Exam 2 with Solutions
Solution: The characteristic equation corresponding to the homogeneous equation is λ2 +λ−2=0. The roots are λ = 1,

Physics  160  Fall  2013  


Midterm  Exam    

Physics  160:  Stellar  Astrophysics   Midterm  Exam   31  October  2013  

Score  (out  of  128)  







S    O    L    U    T    I    O    N    S    










  Student  ID  #:      






INSTRUCTIONS  –  READ  ME!   1.  You  have  80  minutes  to  complete  the  exam.   2.  Complete  all  of  the  questions  in  Part  1:  Short  Answer  Questions,  but  do   not  spend  too  long  on  this  section.   3.  Complete  as  many  questions  as  you  can  in  Part  2:  Long  Answer   Questions;  you  do  not  need  to  do  all  of  them  to  get  full  credit.   4.  All  answers  should  be  written  on  these  pages  in  the  space  provided.   5.  For  all  questions,  clearly  circle/box  your  final  answer(s).   6.  Be  sure  to  show  your  work,  as  partial  credit  will  be  awarded.  Extra   sheets  for  work  are  available  after  the  last  question.   7.  Equations  and  unit  conversions  are  provided  on  the  last  three  pages   for  reference  (you  might  consider  tearing  these  out  for  ease  of  use).   8.  You  may  use  a  non-­‐graphing  calculator  for  computation.    



Good  luck!   Page  1  of  16  

Physics  160  Fall  2013  


Part  1:  Short-­‐Answer  Questions

Midterm  Exam    


Answer  all  of  the  questions.  You  do  not  need  to  show  your  work.  Do   not  spend  too  long  on  this  section   (1)  [18  pts]  Order  of  Magnitude  Guesstimation:     Estimate  the  following  quantities  in  the  units  indicated  to  the  nearest   power  of  10  (3  pts  each).  Note:  answers  within  a  factor  of  10  were   given  partial  credit   (a)  Diameter  of  the  Galaxy’s  disk  (in  parsec):   2x104    (b)  Mass  density  of  stars  in  the  vicinity  of  the  Sun  (in  Msun/pc3):   0.14    

 (c)  Total  number  of  stars  in  the  Galaxy:   2x1011    

(d)  The  mass  of  the  supermassive  black  hole  in  the  center  of  our  Galaxy   (in  solar  masses):   4x106    

(e)  Resolution  of  the  eye  (in  arcseconds):   60    

(f)  Fraction  of  the  Sun’s  mass  lost  due  to  fusion  over  1010  yr  (in  %):   L/c2  =  4e26W/(3e8m/s)2  ≈  4e9  kg/s  x  πe7  s/yr  x  1e10  yr  ≈  1e27  kg  ≈  10-­‐3  Msun   so  0.1%  

Page  2  of  16  

Physics  160  Fall  2013  


Midterm  Exam    

(2)  [20  pts]  Were  you  paying  attention?  Short  Answers     Answer  each  of  the  following  (4  pts  each);  you  do  not  need  to  show  your   work.  Question  (b)  refers  to  letters  written  on  the  chalkboards.   (a)  What  is  the  current  Sidereal  Time?       At  2:30pm  (4:00pm)  on  10/31,  it  will  be  16:21  (17:51).    You  can  estimate  by   remembering  that  in  Week  1  LST  midnite  was  0:00,  so  2:30pm  would   have  been  14:30.  However,  4  weeks  have  passed,  which  is  roughly  a   month,  or  2  hours  of  sidereal  motion.       (b)  Which  of  the  letters  on  the  boards  corresponds  to  an  azimuth  of  90º?   It  will  be  the  one  pointing  due  East  –  A,  B  or  C  was  accepted       (c)  What  is  the  current  phase  of  the  Moon?  If  you  choose  crescent  or   gibbous,  be  sure  to  indicate  whether  it  is  wanning  or  waxing.     New  or  Wanning  Crescent.  A  hint  from  class:  our  originally  scheduled   night  lab  on  Friday  10/18  was  a  lunar  eclipse,  and  hence  a  full  moon;  2   weeks  later  is  ½  of  the  lunar  cycle   (d)  What  is  the  fastest  proper  motion  measured  for  a  star  in   arcseconds/year,  and  what  star  is  it?     11  arcseconds/year  for  Barnard’s  Star.    You  can  estimate  this  by  assuming   stars  move  around  50  km/s  and  nearby  stars  are  rough  5  pc  away,  so  µ  =   Vtan/4.74d  =  2  arcseconds/yr  would  have  been  a  good  guess     (e)  Around  what  element  or  proton  number  do  you  cease  gaining  energy   through  fusion?   Iron,  or  Z  =  26;  this  is  the  peak  of  the  binding  energy  curve  

Page  3  of  16  

Physics  160  Fall  2013  


Midterm  Exam    

Part  2:  Long-­‐Answer  Questions   Answer  as  many  of  the  following  questions  as  you  can.    Full  credit  for   this  part  is  90  points;  any  additional  points  you  earn  above  this  will  be   added  as  30%  bonus  points  (for  a  maximum  of  120  points).   (1)  [Total:  40  pt]  Let’s  meet  Vega   Vega  (α  Lyr)  is  the  brightest  star  in  the  constellation  Lyra,  an  A0  V  star   which  by  definition  has  an  apparent  visual  magnitude  V  =  0.    It  also  has  a   parallax  π  =  0.130  arcseconds,  a  proper  motion  of  µ  =  0.35   arcseconds/year  and  a  surface  temperature  of  9600  K.    Its  Balmer  Hα  line   (n  =  2-­‐>3)  is  observed  to  be  at  656.2  nm.   (a)  [5  pts]  What  is  the  distance  to  Vega  in  pc?   Distance  (pc)    =  1/π  (arcseconds)     =  1/0.130   =   7.7  pc         (b)  [5  pts]  What  is  the  absolute  visual  magnitude  of  Vega?   M  –  m  =  -­‐5log10(d/10  pc)   =>  MV  =  V  -­‐  5log10(d/10  pc)      

 =  0  –  5log10(7.7  pc/10  pc)  


 =   0.57  mag  

      Page  4  of  16  

Physics  160  Fall  2013  


Midterm  Exam    

(c)  [5  pts]  What  is  the  tangential  speed  of  Vega  in  km/s?   Vtan  (km/s)  =  4.74  µ  (“/yr)  d(pc)      


=  4.74  x  0.35  x  7.7  



=   13  km/s  

          (d)  [5  pts]  What  is  the  radial  velocity  of  Vega  in  km/s?  Be  sure  to  indicate   whether  it  is  moving  toward  us  or  away  from  us.   Vrad  =  c  (Δλ/λ0)  =  (3  x  105  km/s)  x  (656.2  nm  –  656.3  nm)/(656.3  nm)    


             =   -­‐46  km/s  

The  line  is  at  a  shorter  wavelength  (toward  the  blue),  so  it  is  blueshifted   and  therefore   moving  toward  us.                

Page  5  of  16  

Physics  160  Fall  2013  


Midterm  Exam    

(e)  [10  pts]  A0  stars  have  a  bolometric  correction  Mbol  –  MV  =  0.15.    Using   the  Sun’s  absolute  bolometric  magnitude  as  a  guide,  calculate  the   luminosity  of  Vega  in  units  of  solar  luminosities,  and  its  radius  in  units   of  Solar  radii.    Is  Vega  a  dwarf  (Main  Sequence)  or  giant  star?     Mbol  =  0.57+0.15  =  0.72   Mbol  for  the  Sun  is  4.74,  and  using  the  standard  definition  of  magnitude:   Mbol(Vega)  –  Mbol(Sun)  =  -­‐2.5log10(LVega/LSun)   =>  LVega  =  LSun  x  10-­‐0.4(0.72-­‐4.74)  =   41  LSun   L  =  4πR2σT4  =>  R  =  (L/4πσT4)1/2   Or  in  solar  units:  (R/R¤)  =  (L/L¤)1/2(T/T¤)-­‐2      =  (41)1/2(9600/5800)-­‐2  








                    R  =  2.3  R¤  

This  is  a   dwarf  star.     (f)  [10  pts]  What  is  the  apparent  angular  size  (diameter)  of  Vega  in   arcseconds  as  viewed  from  Earth?  Can  this  be  resolved  with  the  Keck   telescopes  (resolution  ≈  0.05  arcseconds)       θ  (“)  =  diameter  (AU)  /  distance  (pc)      

=  2  x  radius  (AU)  /  distance  (pc)  


=  2  x  (2.3  R¤)  x  (6.96x108  m/R¤)  x  (AU/1.50x1011  m)  /  7.7  pc  


=   2.8x10-­‐3  arcseconds  or  2.8  milliarcseconds  

This  could  not  be  resolved  with  Keck.        

Page  6  of  16  

Physics  160  Fall  2013  


Midterm  Exam    

(2)  [Total:  50  pt]  Taking  Jupiter’s  Temperature.         (a)  [5  pts]  What  is  the  radiant  flux  received  at  Jupiter  (orbital  radius  5.2   AU)  from  the  Sun  in  W/m2?     Flux  =  Luminosity/Area  =    L/4πd2   =  3.84x1026  W  /  4π  x  (5.2  x  1.50x1011  m)2     =   50.2  W/m2         (b)  [10  pts]  What  fraction  of  the  Sun’s  luminosity  is  absorbed  by  Jupiter,   assuming  it  reflects  20%  of  incident  sunlight?  Jupiter  has  a  radius  about   0.1  times  that  of  the  Sun.   Power  =  Flux  x  Area  =  0.8  x  50.2  W/m2  x  πRJ2     =  40.2  W/m2  x  π(6.96x107  m)2  =     =  6.11x1017  W   Power  absorbed/Luminosity    =  6.11x1017  W/3.84x1026  W  =   1.59x10-­‐9     (c)  [10  pts]  Jupiter  has  a  stable  effective  temperature  of  about  125  K.     What  fraction  of  the  radiant  energy  coming  from  Jupiter’s  is  thermally   emitted  versus  reflected  from  the  Sun?       Thermal  emission  =  4πRJ2σTJ4   Reflected  emission  =  L/4πd2  x  0.2  x  πRJ2   Ratio  =  4πRJ2σTJ4  x  4πd2  /  0.2LπRJ2  =  80π  d2  σTJ4  /  L    =  80π  (5.2  x  1.50x1011  m)2  (5.67x10-­‐8  W/m2-­‐K4)  (125  K)4  /  (3.84x1026  W)    =   0.97     Almost  the  same!         Page  7  of  16  

Physics  160  Fall  2013  


Midterm  Exam    

(d)  [15  pts]  Derive  a  general  equation  relating  the  equilibrium  surface   temperature  Tp  of  a  planet  of  radius  Rp  to  the  surface  temperature  T*  of  a   star  of  radius  R*  separated  by  a  distance  d.    Assume  that  both  objects   radiate  as  uniform  blackbodies  at  these  temperatures,  and  that  the   planet  reflects  a  fraction  A  of  the  incident  radiation  back  into  space  (this   value  is  known  as  the  albedo).   Thermal  equilibrium  implies  that  the  energy  per  second  absorbed  by  the   planet  is  equal  to  the  energy  per  second  emitted.    The  powers  in  and  out   are:   Power  in    =  σT*4  x  (R*/d)2  x  πRp2  x  (1-­‐A)   Power  out  =  4πRp2σTp4     Power  out  =  Power  in  =>  4πRp2σTp4  =  σT*4  x  (R*/d)2  x  πRp2  x  (1-­‐A)   =>   Tp  =  0.71  T*(R*/d)1/2  (1-­‐A)1/4   Note  that  this  is  independent  of  the  planet’s  radius!                                   Page  8  of  16  

Physics  160  Fall  2013  


Midterm  Exam    

(e)  [10  pt]  Suppose  Jupiter  is  actually  orbiting  Vega,  which  has  T*  =  9600   K  and  R*  =  2.4  Rsun.  What  would  be  the  equilibrium  temperature  of  its   photosphere?    Assume  again  that  it  reflects  20%  of  incident  light.   Compare  this  temperature  with  the  freezing  and  boiling  points  of  water,   and  comment  on  the  potential  habitability  (possible  presence  of  life)  of   moons  around  a  Vegan  Jupiter.   We  can  either  use  the  result  from  (d),  or  note  from  (c)  that  the  fraction   TJ4/L  ~  TJ4/R*2T*4,  so  both  imply  scaling  TJ  with  T*R*1/2  will  preserve  a  ratio   of  unity   Tp  =  125  K  (9600  K/5800  K)(2.4/1.0)1/2  =   320  K   This  is  right  between  the  freezing  (273  K)  and  boiling  (373  K)  points  of   water,  suggesting  that  moons  around  Vegan  Jupiter  could  have  liquid   water  on  their  surfaces  if  they  have  sufficient  atmospheric  pressure.     Liquid  water  is  a  critical  ingredient  for  life  on  Earth,  so  it’s  presence  on   other  worlds  is  seen  as  a  requirement  for  habitability.      

Page  9  of  16  

Physics  160  Fall  2013  


Midterm  Exam    

(3)  [Total:  50  pts]  Nubulium   Prof.  Burgasser  has  proposed  a  new  element  called  Nubulium,  which  is  a   Hydrogen-­‐like  atom  that  has  a  low  ionization  potential,  χNu  =  3  eV.    He   estimates  that  Nubulium  has  a  cosmic  abundance  10-­‐8  that  of  Hydrogen,   and  that  the  Sun  is  a  good  place  to  look  for  it.   (a)  [5  pts]  At  what  wavelengths  and  in  what  parts  of  the  electromagnetic   spectrum  (UV,  visible,  infrared,  etc.)  would  we  expect  to  see  absorption   lines  from  Nubulium  for  the  n=1-­‐>2  (Lyman  α)  and  n=2-­‐>3  (Balmer  α)   transitions?   En  =  -­‐χNu/n2  =>  E1  =  -­‐3  eV,  E2  =  -­‐0.75  eV,  E3  =  -­‐0.33  eV   ΔE  =  hc/λ  =>  λ  =  hc/ΔE     =>  1-­‐>2  transition  occurs  at  1.24  eV  µm/2.25  eV  =   552  nm  –  visible     =>  2-­‐>3  transition  occurs  at  1.24  eV  µm/0.42  eV  =   2.95  µm  –  infrared         (b)  [10  pts]  Assume  the  Sun’s  atmosphere  contains  Nubulium.  What  is   the  ratio  of  neutral  Nubulium  in  the  n  =  2  to  n  =  1  states?   This  makes  use  of  the  Boltzmann  Equation:   N2/N1  =  g2/g1  e-­‐(ΔE21)/kT    =  (2x22)/(2x12)  e-­‐[2.25  eV/(8.62x10-­‐5  eV/K  x  5800  K)]    =  4e-­‐4.5  =   0.044                

Page  10  of  16  

Physics  160  Fall  2013  


Midterm  Exam    

(c)  [15  pts]  If  the  cosmic  fraction  of  Nubulium  to  Hydrogen  atoms  is  10-­‐8   (about  the  same  as  Lithium  to  Hydrogen),  what  are  the  number  densities   of  Hydrogen  and  Nubulium  atoms  in  the  Sun’s  photosphere  (τ  =  2/3)?    For   simplicity,  assume  the  Sun’s  atmosphere  is  pure  Hydrogen,  has  a  mean   opacity  κ  =  0.1  m2/kg,  and  the  surface  pressure  P  =  0  at  τ  =  0.   nNu  =  10-­‐8  nH  =  10-­‐8  P/kT   To  solve  for  the  pressure,  use  the  relation  we  derived  in  the  homework:   dP/dτ  =  g/κ  =>  Pph  =  3/2  GM/R2  1/κ        

=  3/2  (6.67x10-­‐11  N  m2/kg2)(1.99x1030  kg)/(6.99x108  m)2  /0.1  m2/kg  


 =  4.07  x  103  N/m2  

=>  nH  =  (4.07x103  N/m2)/[(1.38x10-­‐23  J/K)(5800  K)]  =   5.08x1022  m-­‐3   =>  nNu  =  10-­‐8nH    =   5.08x1014  m-­‐3                                     Page  11  of  16  

Physics  160  Fall  2013  


Midterm  Exam    

(d)  [15  pts]  What  is  the  fraction  of  ionized  to  neutral  Nubulium  atoms  in   the  Sun’s  photosphere?  To  simplify  the  calculation,  assume  that  the   partition  function  for  ionized  Nubulium  atoms  Z+  =  1,  that  all  neutral   Nubulium  atoms  are  in  the  n=1  ground  state,  and  that  all  of  the  free   electrons  in  the  gas  come  from  ionized  Nubulium  atoms  (so  N+  ≈  Ne).   This  is  the  Saha  equation:   N+Ne/N0  ≈  N+2/No  =  2  Z+/Zo  (2πmekT/h2)3/2  e-­‐  χ/kT   Z+  =  1,  Z0  =  g1  e-­‐ΔE11/kT  =  2,  so  2  Z+/Z0  =  1   the  numerical  factor:     2πmekT/h2  =  2π(mec2)kT/(hc)2     =  2π(0.511x106  eV)(0.5  eV)/(1.24  eV  µm)2   =  1.04x106  µm-­‐2  x  (106  µm/m)2   =  1.04x1018  m-­‐2   therefore  N+2/N0  =  (1.04x1018  m-­‐2)3/2  e-­‐(3  eV/0.5  eV)      


               =  2.63x1024  m-­‐3  

We  want  the  fraction  N+/N    =  x,  and     N+2/N0  =  (N+/N)2/[(N-­‐N+)/N2]  =  N  x2/(1-­‐x)  =  2.63x1024  m-­‐3   =>  x2/(1-­‐x)  =  5.18x109    based  on  part  (c)   Since  0  <  x  <  1,  x  must  be  very  close  to  1,  so  we  can  approximate     x  =  1-­‐(1-­‐x)  =  1-­‐(1-­‐[N+/N])  ≈  1-­‐(1/5.18x109)  =   1-­‐1.9x10-­‐10  ≈  1   Nearly  all  of  the  Nubulium  is  ionized!                

Page  12  of  16  

Physics  160  Fall  2013  


Midterm  Exam    

(e)  [5  pts]  Based  on  the  results  from  (d),  is  Prof.  Burgasser’s  prediction   that  we  would  see  Nubulium  absorption  lines  in  the  Solar  spectrum  a   reasonable  one?    Why  or  why  not?  What  might  be  a  better  type  of  star  to   look  for  this  hypothesized  element?   Since  only  a  tiny  fraction  of  Nubulium  is  neutral  (the  equivalent   abundance  would  be  10-­‐18  of  Hydrogen,  which  is  less  than  every  other   atom),  we  would  see  no  Nubulium  absorption  lines  in  a  Solar  spectrum   even  if  it  was  there.    We  need  to  look  in  a  cooler  class  of  star,  such  as  an   M  dwarf,  to  detect  any  bound-­‐bound  transitions.

Page  13  of  16  

Physics  160  Fall  2013  


Midterm  Exam    

(4)  [Total:  40  pts]  A  stellar  model   Assume  a  star  of  mass  M  and  radius  R  has  a  density  that  varies  linearly   with  radius;  i.e.:    

ρ = ρc


r" 1− R  

  where  ρc  is  the  central  radius  density.         (a)  [10  pts]  Using  the  equation  of  mass  conservation,  write  down  an   expression  for  M(r),  the  mass  of  the  star  interior  to  radius  r,  as  a  function   of  the  total  mass  M  and  radius  R   ∫  dM  =  ∫  4πr2ρ(r)dr  =  4πρc  ∫  (r2-­‐r3/R)dr     integrate  from  M  =  o  to  M  =  M(r)  and  from  r  =  0  to  r  =  r   M(r)  –  M(0)  =  4πρc  (1/3  r3  -­‐  1/4  r4/R)     M(r)  =  4π/3  ρc  r3  (1-­‐3/4  r/R)     At  the  maximum  radius:   M(R)  =  M  =  π/3  ρcR3        <-­‐-­‐-­‐¼  the  value  you’d  get  for  a  uniform  sphere!   =>   M(r)  =  M  (r/R)3  (4-­‐3r/R)                       Page  14  of  16  

Physics  160  Fall  2013  


Midterm  Exam    

(b)  [5  pts]  Determine  a  relation  between  the  average  density  <ρ>  of  the   star  to  the  central  density  ρc  which  does  not  depend  explicitly  on  M  or  R.     <ρ>  =  3/4π  M(R)/R3     substituting  in  above  

 =  3/4π  [4π/3  ρc  R3  (1-­‐3/4)  ]  /  R3   =>  

 =  1/4  ρc                       (c)  [10  pts]  Derive  an  expression  for  the  core  density  pressure  in  terms  of   G,  M  and  R.     Use  the  equation  of  hydrostatic  equilibrium:   ∫  dP  =  -­‐  ∫  g(r)ρ(r)  dr      =  -­‐G  ∫  [M(r)ρ(r)/r2]  dr     =  -­‐1/4  GM  4πρc  ∫  [(r/R)3  (1-­‐3/4  r/R)  (1-­‐r/R)]/r2  dr        <-­‐-­‐  substitute  x  =  r/R   =  -­‐  4π  GM/R  <ρ>  ∫  [x  (1-­‐3/4  x)  (1-­‐x)]  dx       Note  that  I  have  substituted  in  <ρ>  and  pulled  1/R  out  of  the  integral.   Expanding  the  terms  in  the  integral  and  evaluating  P  =  P(0)  =  Pc  to  P(R)  =   0  and  x  =  0  to  1:   P(R)-­‐P(0)  =  -­‐Pc  =  -­‐4π  GM/R  <ρ>  ∫  [3/4x3  –  7/4x2  +x]  dx   =>  Pc  =  4π  GM/R  <ρ>  [3/16  –  7/12  +  1/2]        

=  5/48  4π  GM/R  [3/4π  M/R3]   =   5/16  GM2/R4    


Physics  160  Fall  2013  


Midterm  Exam    

 (d)  [10  pts]  Using  the  Sun’s  mass  and  radius,  evaluate  ρc  and  Pc.  Then,   assuming  this  to  be  a  fully  ionized,  pure  hydrogen,  ideal  gas,  find  Tc.     ρc  =  4  <ρ>  =  4  x  3/4π  x  1.99x1030  kg/(6.96x108  m)3     =   5640  kg/m3   Pc  =  5/16  x  (6.67x10-­‐11  N  m2/kg2)  x  (1.99x1030  kg)2  /  (6.96x108  m)4     =   3.52x1014  N/m2  =  3.52  Gbar   For  fully  ionized  hydrogen,  µ  =  0.5   Tc  =  PcµmH/ρck   =  (3.52x1014  N/m2)(0.5)(1.67x10-­‐27  kg)/[(5640  kg/m3)(1.38x10-­‐23  J/K)]      

=   3.77x106  K  

  NOTE:  BECAUSE  THE  PREVIOUS  PROBLEM  WAS  WORDED  INCORRECTLY   IN  THE  EXAM,  THIS  ONE  WAS  ALSO  NOT  INCLUDED  IN  THE  GRADING     (e)  [5  pts]  Is  this  a  good  model  for  the  Sun?  Why  or  why  not?     This  is  not  a  good  model  because  the  inferred  core  temperature  is  too   low  to  produce  the  level  of  fusion  needed  to  keep  the  Sun  as  bright  as  it   is.    The  Sun  must  be  more  centrally  condensed  than  this  model,  as  this   would  raise  the  pressure  and  result  in  a  higher  core  temperature.            


Page  16  of  16