Zahlentheorie - Wikimedia Commons

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Zahlentheorie Prof. Dr. Holger Brenner Universit¨ at Osnabru ¨ ck Fachbereich Mathematik/Informatik Wintersemester 2016/2017 2 Inhaltsverzeichnis V...

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Zahlentheorie Prof. Dr. Holger Brenner Universit¨ at Osnabru ¨ ck Fachbereich Mathematik/Informatik Wintersemester 2016/2017

2

Inhaltsverzeichnis Vorwort

8

1. Vorlesung - Teilbarkeit in kommutativen Ringen

9

1.1. Teilbarkeitsbegriffe

12

1.2. Integrit¨atsbereiche

13

1. Arbeitsblatt ¨ 1.1. Ubungsaufgaben

14

1.2. Aufgaben zum Abgeben

17

2. Vorlesung - Ideale und euklidische Ringe

18

2.1. Ideale

18

2.2. Gr¨oßter gemeinsamer Teiler

19

2.3. Division mit Rest

19

2. Arbeitsblatt ¨ 2.1. Ubungsaufgaben

23

2.2. Aufgaben zum Abgeben

26

3. Vorlesung - Euklidischer Algorithmus und Hauptidealbereiche

27

3.1. Der euklidische Algorithmus

27

3.2. Das Lemma von Bezout und das Lemma von Euklid

29

3.3. Die Faktorialit¨at von Hauptidealbereichen

30

3.4. Restklassenringe von Hauptidealbereichen

32

3. Arbeitsblatt ¨ 3.1. Ubungsaufgaben

32

3.2. Aufgaben zum Abgeben

35

4. Vorlesung - Restklassenringe und prime Restklassengruppen

36

4.1. Die Restklassenringe Z/(n)

36

4.2. Die eulersche Phi-Funktion

37

4.3. Endliche K¨orper und der Satz von Wilson

39

4.4. Der Chinesische Restsatz

39

4.5. Die Einheitengruppe im Restklassenring

42

4. Arbeitsblatt ¨ 4.1. Ubungsaufgaben

43

4.2. Aufgaben zum Abgeben

46

14

23

32

43

3

5. Vorlesung - Die primen Restklassengruppen

46

5.1. Endliche Untergruppen eines K¨orpers

46

5.2. Die Einheitengruppen der Restklassenringe

48

5.3. Die Einheitengruppen nach Primzahlpotenzen

48

5. Arbeitsblatt ¨ 5.1. Ubungsaufgaben

51

5.2. Aufgaben zum Abgeben

53

6. Vorlesung - Quadratreste

55

6.1. Der Charakterisierungssatz f¨ ur zyklische Einheitengruppen

55

6.2. Quadratische Reste

55

6. Arbeitsblatt ¨ 6.1. Ubungsaufgaben

58

6.2. Aufgaben zum Abgeben

60

7. Vorlesung - Das Quadratische Reziprozit¨atsgesetz I

61

7.1. Quadratische Reste modulo einer Primzahl

61

7.2. Das Quadratische Reziprozit¨atsgesetz

63

7. Arbeitsblatt ¨ 7.1. Ubungsaufgaben

66

7.2. Aufgaben zum Abgeben

69

8. Vorlesung - Das Quadratische Reziprozit¨atsgesetz II

70

8.1. Beweis des quadratischen Reziprozit¨atsgesetzes

70

8.2. Das Jacobi-Symbol

74

8. Arbeitsblatt ¨ 8.1. Ubungsaufgaben

76

8.2. Aufgaben zum Abgeben

77

9. Vorlesung - Summe von Quadraten

78

9.1. Summe von zwei Quadraten - Primzahlen

78

9.2. Primfaktorzerlegung f¨ ur Gaußsche Zahlen

80

9.3. Summe von zwei Quadraten

82

9.4. Summe von drei und von vier Quadraten

82

9. Arbeitsblatt ¨ 9.1. Ubungsaufgaben

83

9.2. Aufgaben zum Abgeben

85

51

58

66

76

83

4

10. Vorlesung - Pythagoreische Tripel

85

10.1. Pythagoreische Tripel

85

10.2. H¨ohere Fermat-Gleichungen

91

10. Arbeitsblatt ¨ 10.1. Ubungsaufgaben

93

10.2. Aufgaben zum Abgeben

95

11. Vorlesung - Primzahlen und ihre Verteilung I

96

11.1. Die Unendlichkeit der Primzahlen

96

93

11.2. Die Funktion π(x)

100

11. Arbeitsblatt ¨ 11.1. Ubungsaufgaben

103

11.2. Aufgaben zum Abgeben

105

12. Vorlesung - Primzahlen und ihre Verteilung II

105

12.1. Die Absch¨atzungen von Tschebyschow

105

12. Arbeitsblatt ¨ 12.1. Ubungsaufgaben

110

12.2. Aufgaben zum Abgeben

112

13. Vorlesung - Spezielle Primzahlen I

112

13.1. Mersenne-Primzahlen

112

13.2. Vollkommene Zahlen

114

13.3. Befreundete Zahlen

116

13.4. Zahlentheoretische Funktionen

117

13. Arbeitsblatt ¨ 13.1. Ubungsaufgaben

119

13.2. Aufgaben zum Abgeben

121

14. Vorlesung - Spezielle Primzahlen II

121

14.1. Fermatsche Primzahlen

121

14.2. Sophie Germain Primzahlen

123

14.3. Pseudo-Primzahlen

124

14. Arbeitsblatt ¨ 14.1. Ubungsaufgaben

125

14.2. Aufgaben zum Abgeben

127

15. Vorlesung - Quotientenk¨orper und K¨orpererweiterungen

128

103

110

119

125

5

15.1. Der Quotientenk¨orper

128

15.2. Algebraische Erweiterungen

129

15. Arbeitsblatt ¨ 15.1. Ubungsaufgaben

133

15.2. Aufgaben zum Abgeben

136

16. Vorlesung - Moduln

137

16.1. Diskriminanten

137

16.2. Beschreibung von Spur und Norm mit Einbettungen

139

16.3. Moduln und Ideale

140

16. Arbeitsblatt ¨ 16.1. Ubungsaufgaben

142

16.2. Aufgaben zum Abgeben

144

17. Vorlesung - Ganzheit

144

17.1. Ganzheit

144

17.2. Normale Integrit¨atsbereiche

147

17.3. Der ganze Abschluss in Erweiterungsk¨orpern

148

17. Arbeitsblatt ¨ 17.1. Ubungsaufgaben

149

17.2. Aufgaben zum Abgeben

152

18. Vorlesung - Zahlbereiche

153

18.1. Zahlbereiche

153

18.2. Gruppenstruktur von Idealen

155

18.3. Noethersche Ringe und Dedekind-Bereiche

157

18. Arbeitsblatt ¨ 18.1. Ubungsaufgaben

159

18.2. Aufgaben zum Abgeben

161

19. Vorlesung - Endliche K¨orper

162

19.1. Endliche K¨orper

163

19.2. Quadratische Ringerweiterungen u ¨ber einem K¨orper

166

19. Arbeitsblatt ¨ 19.1. Ubungsaufgaben

166

19.2. Aufgaben zum Abgeben

169

20. Vorlesung - Quadratische Zahlbereiche

170

133

142

149

159

166

6

20.1. Quadratische Zahlbereiche

170

20.2. Primideale in quadratischen Zahlbereichen

173

20. Arbeitsblatt ¨ 20.1. Ubungsaufgaben

176

20.2. Aufgaben zum Abgeben

178

21. Vorlesung - Ideale in quadratischen Zahlbereichen

178

21.1. Ideale und ihre Norm in einem quadratischen Zahlbereich

178

21. Arbeitsblatt ¨ 21.1. Ubungsaufgaben

184

21.2. Aufgaben zum Abgeben

185

22. Vorlesung - Nenneraufnahme, Lokalisierung, Bewertungsringe

186

22.1. Nenneraufnahme

186

22.2. Diskrete Bewertungsringe

188

22. Arbeitsblatt ¨ 22.1. Ubungsaufgaben

192

22.2. Aufgaben zum Abgeben

195

23. Vorlesung - Ideale und effektive Divisoren in Zahlbereichen

196

23.1. Die Ordnung an einem Primideal

196

23.2. Effektive Divisoren

197

23. Arbeitsblatt ¨ 23.1. Ubungsaufgaben

201

23.2. Aufgaben zum Abgeben

204

24. Vorlesung - Gebrochene Ideale und Divisoren in Zahlbereichen

205

24.1. Divisoren und gebrochene Ideale

205

24. Arbeitsblatt ¨ 24.1. Ubungsaufgaben

210

24.2. Aufgaben zum Abgeben

214

25. Vorlesung - Die Divisorenklassengruppe von Zahlbereichen

215

25.1. Die Divisorenklassengruppe

215

25.2. Normeuklidische Bereiche

217

25. Arbeitsblatt ¨ 25.1. Ubungsaufgaben

219

25.2. Aufgaben zum Abgeben

222

176

184

192

201

210

219

7

26. Vorlesung - Der Gitterpunktsatz von Minkowski

222

26.1. Gitter und konvexe Mengen

222

26. Arbeitsblatt ¨ 26.1. Ubungsaufgaben

229

26.2. Aufgaben zum Abgeben

230

27. Vorlesung - Die Endlichkeit der Klassenzahl

231

27.1. Die Endlichkeit der Klassenzahl f¨ ur quadratische Zahlk¨orper

231

27. Arbeitsblatt ¨ 27.1. Ubungsaufgaben

236

27.2. Aufgaben zum Abgeben

237

28. Vorlesung - Quadratische Formen

238

28.1. Bin¨are quadratische Formen

238

28.2. Bin¨are quadratische Formen und quadratische Zahlbereiche

241

28. Arbeitsblatt ¨ 28.1. Ubungsaufgaben

247

28.2. Aufgaben zum Abgeben

250

Anhang A: Bildlizenzen

251

Abbildungsverzeichnis

251

229

236

247

8

Vorwort

9

1. Vorlesung - Teilbarkeit in kommutativen Ringen In der Zahlentheorie wollen wir Eigenschaften der ganzen Zahlen verstehen. Dazu ist es sinnvoll, nicht nur Z selbst zu betrachten, sondern auch davon abgeleitete Objekte, wie Restklassenringe (Modulare Arithmetik), Ringe der ganzen Zahlen in K¨orpererweiterungen von Q, wie etwa den Ring der Gaussschen Zahlen, Lokalisierungen und Komplettierungen wie die padischen Zahlen. Die grundlegende Gemeinsamkeit dieser Objekte ist, dass es sich um kommutative Ringe handelt. Deshalb werden wir von Anfang an die ben¨otigten Begriffe auf der Ringebene entwickeln. Beispiel 1.1. Betrachten wir die Frage, welche nat¨ urlichen Zahlen die Summe von zwei Quadratzahlen sind. Anders formuliert, f¨ ur welche n hat die Gleichung n = x2 + y 2 L¨osungen mit ganzen Zahlen x, y? Es ist 0 = 0+0 1 = 1+0 2 = 1+1 3 4 = 4+0 5 = 4+1 6 7 8 = 4+4 9 = 9+0 10 = 9 + 1 11 12 13 = 9 + 4 14 15

10

16 = 16 + 0 17 = 16 + 1 18 = 9 + 9 19 20 = 16 + 4 Erkennt man hier schon eine Struktur? Es ist in der Zahlentheorie u ¨blich, solche Fragen erstmal f¨ ur Primzahlen zu verstehen, und die Ergebnisse dann auf zusammengesetzte Zahlen zu u ¨bertragen. Von den Primzahlen ≤ 20 sind 3, 7, 11, 19 keine Summe von zwei Quadraten, w¨ahrend 2, 5, 13 und 17 es sind. Es f¨allt auf, dass die erste Reihe alle den Rest 3 bei Division durch 4 haben, und die zweite Reihe (von 2 abgesehen) den Rest 1. Hier zeigt sich bereits, dass es sinnvoll ist, zu anderen Ringen u ¨berzugehen, um Fragen u ¨ber nat¨ urliche Zahlen zu beantworten. Die Restabbildung zur Division mit Rest durch 4 ist ein Ringhomomorphismus Z −→ Z/(4) = {0, 1, 2, 3}, n 7−→ n mod 4.

Dabei ist in Z/(4) die Addition und die Multiplikation modulo 4 erkl¨art, also etwa 3 · 3 = 9 = 1. Die Abbildung respektiert also die Addition und die Multiplikation. Wenn nun die Gleichung n = x2 + y 2 in Z eine L¨osung besitzt, so liefert das sofort auch eine L¨osung modulo 4, n¨amlich n = x2 + y 2 mod 4 bzw. (n mod 4) = (x mod 4)2 + (y mod 4)2 oder n ¯ = x¯2 + y¯2 . Nun sind aber in Z/(4) die Quadrate einfach 02 = 22 = 0 und 12 = 32 = 1 und damit sind 0, 1 und 2 Summe von Quadraten in Z/(4), aber nicht 3. Es best¨atigt sich also bereits die obige Beobachtung, dass nat¨ urliche Zahlen (nicht nur Primzahlen), die den Rest 3 modulo 4 haben, nicht die Summe von zwei Quadraten sein k¨onnen. F¨ ur Primzahlen mit dem Rest 1 modulo 4 liefert die Betrachtung im Restklassenring Z/(4) nat¨ urlich nur, dass eine notwendige Bedingung erf¨ ullt ist, woraus sich nat¨ urlich noch lange nicht auf eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten schließen l¨asst. Die Zahl 21 zeigt auch, dass eine Zahl, die

11

modulo 4 den Rest 1 besitzt, nicht notwendig selbst die Summe von zwei Quadraten ist. Wir werden aber im Verlauf der Vorlesung sehen, dass es f¨ ur Primzahlen mit dieser Restbedingung gilt. Daf¨ ur werden wir in einem weiteren Ring arbeiten, n¨amlich im Ring der Gaußschen Zahlen Z[i] = Z ⊕ Zi (einem Unterring der komplexen Zahlen). Dort k¨onnen wir schreiben n = x2 + y 2 = (x + iy)(x − iy), wodurch die Frage, ob eine Zahl Summe von zwei Quadraten ist, mit der Frage der multiplikativen Zerlegung von nat¨ urlichen Zahlen in einem neuen Ring in Zusammenhang gebracht wird. Die Frage nach den Summen von zwei Quadraten werden wir abschliesend in Satz 9.10 beantworten. Wir erinnern kurz an die Definition eines Ringes und eines kommutativen Ringes. Definition 1.2. Ein Ring R ist eine Menge mit zwei Verkn¨ upfungen + und · und mit zwei ausgezeichneten Elementen 0 und 1 derart, dass folgende Bedingungen erf¨ ullt sind: (1) (R, +, 0) ist eine abelsche Gruppe. (2) (R, ·, 1) ist ein Monoid. (3) Es gelten die Distributivgesetze, also a · (b + c) = (a · b) + (a · c) und (b + c) · a = (b · a) + (c · a) f¨ ur alle a, b, c ∈ R. Definition 1.3. Ein Ring R heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist. Das wichtigste Beispiel f¨ ur uns ist der (kommutative) Ring der ganzen Zahlen Z. Wir werden aber noch viele weitere Ringe kennenlernen, die zahlentheoretisch relevant sind. Wir verwenden wie u ¨blich die Konvention, dass die Multiplikation st¨arker bindet als die Addition und schreiben in der Regel ab anstatt a · b.

Oben hatten wir im Zusammenhang mit der Abbildung Z → Z/(4) den Begriff Ringhomomorphismus erw¨ahnt, den wir hier kurz anf¨ uhren. Definition 1.4. Seien R und S Ringe. Eine Abbildung ϕ : R −→ S heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten: (1) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) (2) ϕ(1) = 1 (3) ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b).

12

1.1. Teilbarkeitsbegriffe. Definition 1.5. Sei R ein kommutativer Ring, und a, b Elemente in R. Man sagt, dass a das Element b teilt (oder dass b von a geteilt wird, oder dass b ein Vielfaches von a ist), wenn es ein c ∈ R derart gibt, dass b = c · a ist. Man schreibt daf¨ ur auch a|b. Lemma 1.6. In einem kommutativen Ring R gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen. (1) (2) (3) (4) (5) (6)

F¨ ur jedes Element a gilt 1 | a und a | a. F¨ ur jedes Element a gilt a | 0. Gilt a | b und b | c, so gilt auch a | c. Gilt a | b und c | d, so gilt auch ac | bd. Gilt a | b, so gilt auch ac | bc f¨ ur jedes c ∈ R. Gilt a | b und a | c, so gilt auch a | rb + sc f¨ ur beliebige Elemente r, s ∈ R.

Beweis. Siehe Aufgabe 1.21.



Definition 1.7. Ein Element u in einem kommutativen Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v ∈ R mit uv = 1 gibt.

Bemerkung 1.8. Eine Einheit ist also ein Element, das die 1 teilt. Das Element v mit der Eigenschaft uv = 1 ist dabei eindeutig bestimmt. Hat n¨amlich auch w die Eigenschaft uw = 1, so ist v = v1 = v(uw) = (vu)w = 1w = w.

Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte v mit uv = 1 nennt man das (multiplikativ) Inverse zu u und bezeichnet es mit u−1 . Die Menge aller Einheiten in einem kommutativen Ring bilden eine kommutative Gruppe (bez¨ uglich der Multiplikation mit 1 als neutralem Element), die man die Einheitengruppe von R nennt. Sie wird mit R× bezeichnet. In den Ringen, die uns bisher begegnet sind, sind die Einheitengruppen einfach zu bestimmen. Es ist Z× = {1, −1} und (Z/(4))× = {1, 3}. Im Ring der Gaußschen Zahlen gibt es vier Einheiten: 1, −1, i, −i, siehe die n¨achste Vorlesung. Definition 1.9. Zwei Elemente a und b eines kommutativen Ringes R heißen assoziiert, wenn es eine Einheit u ∈ R derart gibt, dass a = ub ist. ¨ Bemerkung 1.10. Die Assoziiertheit ist eine Aquivalenzrelation. Siehe Aufgabe 1.7. Das folgende Lemma besagt, dass es f¨ ur die Teilbarkeitsrelation nicht auf Einheiten und Assoziiertheit ankommt. Lemma 1.11. In einem kommutativen Ring R gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

13

(1) (2) (3) (4)

−1 ist eine Einheit, die zu sich selbst invers ist. Jede Einheit teilt jedes Element. Sind a und b assoziiert, so gilt a|c genau dann, wenn b|c. Teilt a eine Einheit, so ist a selbst eine Einheit.

Beweis. Siehe Aufgabe 1.22.



F¨ ur Teilbarkeitsuntersuchungen sind die beiden folgenden Begriffe fundamental. Unter bestimmten Voraussetzungen, etwa wenn ein Hauptidealbereich vorliegt, sind sie ¨aquivalent. Definition 1.12. Eine Nichteinheit p in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar ), wenn eine Faktorisierung p = ab nur dann m¨oglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist. Definition 1.13. Eine Nichteinheit p 6= 0 in einem kommutativen Ring R heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt p ein Produkt ab mit a, b ∈ R, so teilt es einen der Faktoren. Eine Einheit ist also nach Definition nie ein Primelement. Dies ist eine Verallgemeinerung des Standpunktes, dass 1 keine Primzahl ist. Dabei ist die 1 nicht deshalb keine Primzahl, weil sie zu schlecht“ ist, sondern weil sie zu ” ” gut“ ist. 1.2. Integrit¨ atsbereiche. Vor dem n¨achsten Lemma erinnern wir an den Begriff des Integrit¨atsbereiches. H¨aufig wird die Teilbarkeitstheorie nur f¨ ur Integrit¨atsbereiche entwickelt. Definition 1.14. Ein kommutativer, nullteilerfreier, von null verschiedener Ring heißt Integrit¨atsbereich. Ein Nullteiler ist ein Element x mit der Eigenschaft, dass es ein von 0 verschiedenes Element y mit xy = 0 gibt. Die Null ist in einem vom Nullring verschieden Ring stets ein Nullteiler. Nullteilerfrei bedeutet, dass die 0 der einzige Nullteiler ist bzw. dass alle von 0 verschiedenen Elemente keine Nullteiler oder Nichtnullteiler sind. Nullteilerfrei kann man auch so formulieren, dass aus einer Gleichung xy = 0 folgt, dass x = 0 oder y = 0 ist. Definition 1.15. Ein kommutativer Ring R heißt K¨orper, wenn R 6= 0 ist und wenn jedes von 0 verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt. In einem K¨orper sind also alle von 0 verschiedenen Elemente Einheiten (und insbesondere Nichtnullteiler). K¨orper sind also insbesondere Integrit¨atsbereiche. In einem K¨orper ist die Teilbarkeitsbeziehung uninteressant, da jedes von 0 verschiedene Element jedes andere Element teilt.

14

Lemma 1.16. In einem Integrit¨atsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel. Beweis. Angenommen, wir haben eine Zerlegung p = ab. Wegen der Primeigenschaft teilt p einen Faktor, sagen wir a = ps. Dann ist p = psb bzw. p(1 − sb) = 0. Da p kein Nullteiler ist, folgt 1 = sb, so dass also b eine Einheit ist.  1. Arbeitsblatt ¨ 1.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 1.1. (1) Finde die kleinste nat¨ urliche Zahl, die sich auf mehrfache Weise als Quadratsumme darstellen l¨asst, (2) Finde die kleinste nat¨ urliche Zahl, die sich auf mehrfache Weise als Quadratsumme von positiven Zahlen darstellen l¨asst. Aufgabe 1.2. Sei n eine nat¨ urliche Zahl, die modulo 8 den Rest 7 besitzt. Zeige, dass n nicht als Summe von drei Quadraten darstellbar ist. Aufgabe 1.3. Bestimme f¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n ≤ 30, ob sie sich als eine Summe von drei Quadratzahlen darstellen l¨asst. Aufgabe 1.4. Bestimme f¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n ≤ 10, auf wie viele verschiedene Arten sie sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen l¨asst, d.h. man bestimme die Anzahl der 4-Tupel (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ Z4 mit x21 + x22 + x23 + x24 = n. Aufgabe 1.5. Zu einer nat¨ urlichen Zahl n bezeichne r(n) die Anzahl der M¨oglichkeiten, sie als Summe von vier Quadratzahlen darzustellen, d.h. r(n) ist die Anzahl der 4-Tupel (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ Z4 mit x21 + x22 + x23 + x24 = n.

Es sei u eine ungerade positive Zahl. Beweise die Beziehung r(2u) = 3r(u) . Aufgabe 1.6.*

Finde zwei nat¨ urliche Zahlen, deren Summe 65 und deren Produkt 1000 ist.

15

Aufgabe 1.7. Zeige, dass die Assoziiertheit in einem kommutativen Ring ¨ eine Aquivalenzrelation ist. Aufgabe 1.8. Zeige, dass in einem kommutativen Ring R folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten. (1) Sind a und b assoziiert, so gilt a|c genau dann, wenn b|c. (2) Ist R ein Integrit¨atsbereich, so gilt hiervon auch die Umkehrung. Aufgabe 1.9. Es sei R ein kommutativer Ring und seien f, g Nichtnullteiler in R. Zeige, dass das Produkt f g ebenfalls ein Nichtnullteiler ist. Aufgabe 1.10. Zeige, dass im Polynomring K[X] u ¨ber einem K¨orper K die Variable X irreduzibel und prim ist. Aufgabe 1.11. Bestimme im Polynomring K[X], wobei K ein K¨orper sei, die Einheiten und die Assoziiertheit. Gibt es in den Assoziiertheitsklassen besonders sch¨one Vertreter? Im Polynomring K[X] u ¨ber einem K¨orper wird oft mit folgender Definition von irreduzibel gearbeitet. Ein nichtkonstantes Polynom P = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n ∈ K[X], wobei K einen K¨orper bezeichne, heißt irreduzibel, wenn es keine Produktdarstellung P = QR gibt, die die Gradbedingung 0 < deg(Q) < deg(P ) erf¨ ullt. Aufgabe 1.12. Sei K ein K¨orper und sei K[X] der Polynomring u ¨ber K. Zeige, dass die irreduziblen Polynome genau die irreduziblen Elemente in K[X] sind. Aufgabe 1.13.* Sei K ein K¨orper und sei K[X] der Polynomring u ¨ber K und sei P ∈ K[X] ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei T ein Teiler von P . Zeige, dass T ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors X − a in T durch seine Vielfachheit in P beschr¨ankt ist.

16

Aufgabe 1.14. Bestimme im Polynomring Z/(2)[X] alle irreduziblen Polynome vom Grad 2, 3, 4.

Aufgabe 1.15. Sei R ein kommutativer Ring und f ∈ R. Zeige, dass die Multiplikation mit f , also die Abbildung µf : R −→ R, x 7−→ f x, ein Gruppenhomomorphismus von (R, +, 0) ist. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung, wann f ein Nichtnullteiler und wann f eine Einheit ist.

Aufgabe 1.16. Was bedeutet die Eigenschaft, dass man in einem Integrit¨atsbereich k¨ urzen“ kann? Beweise diese Eigenschaft. ” Aufgabe 1.17. Wir betrachten den Ring R = C(R, R) der stetigen Funktionen von R nach R. Zeige, dass R (mit naheliegenden Verkn¨ upfungen) ein kommutativer Ring ist. Handelt es sich um einen Integrit¨atsbereich?

Aufgabe 1.18. Es seien X und Y topologische R¨aume und ϕ : X −→ Y eine stetige Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus C(Y, R) −→ C(X, R), f 7−→ f ◦ ϕ, induziert.

Aufgabe 1.19. Es sei M ein metrischer Raum und R = C(M, R) der Ring der stetigen Funktion auf M . Zeige, dass zwei zueinander assoziierte Elemente f, g ∈ R die gleiche Nullstellenmenge besitzen, und dass die Umkehrung nicht gelten muss.

Aufgabe 1.20.* Zeige, dass es stetige Funktionen f, g : R≥0 −→ R, mit f g = 0 derart gibt, dass f¨ ur alle δ > 0 weder f |[0,δ] noch g|[0,δ] die Nullfunktion ist.

17

1.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 1.21. (4 Punkte) Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring R (1) (2) (3) (4) (5) (6)

F¨ ur jedes Element a gilt 1|a und a|a. F¨ ur jedes Element a gilt a|0. Gilt a|b und b|c, so gilt auch a|c. Gilt a|b und c|d, so gilt auch ac|bd. Gilt a|b, so gilt auch ac|bc f¨ ur jedes c ∈ R. Gilt a|b und a|c, so gilt auch a|rb + sc f¨ ur beliebige Elemente r, s ∈ R.

Aufgabe 1.22. (4 Punkte) Zeige, dass in einem kommutativen Ring R folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten. (1) (2) (3) (4)

−1 ist eine Einheit, die zu sich selbst invers ist. Jede Einheit teilt jedes Element. Sind a und b assoziiert, so gilt a|c genau dann, wenn b|c. Teilt a eine Einheit, so ist a selbst eine Einheit.

Aufgabe 1.23. (4 Punkte) Bestimme im Polynomring Z/(3)[X] alle normierten irreduziblen Polynome vom Grad 3. Aufgabe 1.24. (2 Punkte) Zeige, dass es im Ring der stetigen Funktionen R = C(R, R) Nichtnullteiler gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzen. F¨ ur eine L¨osung des folgenden Collatz-Problems haben verschiedene Autoren einen Preis ausgesetzt. L¨osungen bitte an die Autoren. F¨ ur akzeptierte und pr¨amierte Erstl¨osungen gibt es hier zus¨atzlich 200 Punkte, und Sie w¨aren damit automatisch zur Klausur zugelassen. Aufgabe 1.25. (200 Punkte) F¨ ur positive ganze Zahlen n betrachten wir folgenden Algorithmus. Wenn n gerade ist, so ersetze n durch die H¨alfte. Wenn n ungerade ist, so multipliziere n mit 3 und addiere dann 1 dazu. Frage (Collatz-Problem): Ist es wahr, dass man bei jeder Startzahl n fr¨ uher oder sp¨ater bei 1 landet?

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2. Vorlesung - Ideale und euklidische Ringe 2.1. Ideale. Alle Vielfachen der 5, also Z5, bilden ein Ideal im Sinne der folgenden Definition. Definition 2.1. Eine nichtleere Teilmenge a eines kommutativen Ringes R heißt Ideal, wenn die beiden folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind: (1) F¨ ur alle a, b ∈ a ist auch a + b ∈ a. (2) F¨ ur alle a ∈ a und r ∈ R ist auch ra ∈ a. Definition 2.2. Zu einer Familie von Elementen aj ∈ R, j ∈ J, in einem kommutativen Ring R bezeichnet (aj : j ∈ J) das von den aj erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen X

rj a j ,

j∈J0

wobei J0 ⊆ J eine endliche Teilmenge und rj ∈ R ist. Definition 2.3. Ein Ideal a in einem kommutativen Ring R der Form a = (a) = Ra = {ra : r ∈ R}. heißt Hauptideal. Mit dem Idealbegriff lassen sich Teilbarkeitsbeziehungen ausdr¨ ucken. Lemma 2.4. Sei R ein kommutativer Ring und a, b ∈ R. Dann gelten folgende Aussagen. (1) Das Element a ist ein Teiler von b (also a|b), genau dann, wenn (b) ⊆ (a). (2) a ist eine Einheit genau dann, wenn (a) = R = (1). (3) Ist R ein Integrit¨atsbereich, so gilt (a) = (b) genau dann, wenn a und b assoziiert sind. Beweis. Siehe Aufgabe 2.20.



Definition 2.5. Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.

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2.2. Gr¨ oßter gemeinsamer Teiler. Definition 2.6. Sei R ein kommutativer Ring und a1 , . . . , ak ∈ R. Dann heißt ein Element t ∈ R gemeinsamer Teiler der a1 , . . . , ak , wenn t jedes ai teilt (i = 1, . . . , k). Ein Element g ∈ R heißt gr¨oßter gemeinsamer Teiler der a1 , . . . , ak , wenn g ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler t dieses g teilt. Die Elemente a1 , . . . , ak heißen teilerfremd, wenn 1 ihr gr¨oßter gemeinsamer Teiler ist. Bemerkung 2.7. Eine Einheit ist immer ein gemeinsamer Teiler f¨ ur jede Auswahl von Elementen. Ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler muss im Allgemeinen nicht existieren. Ist t ein gemeinsamer Teiler der a1 , . . . , ak und u eine Einheit, so ist auch ut ein gemeinsamer Teiler der a1 , . . . , ak . Die Elemente a1 , . . . , ak sind teilerfremd genau dann, wenn jeder gemeinsame Teiler davon eine Einheit ist (es gibt noch andere Definitionen von teilerfremd, die nicht immer inhaltlich mit dieser u ¨bereinstimmen). Lemma 2.8. Sei R ein kommutativer Ring, a1 , . . . , ak ∈ R und a = (a1 , . . . , ak ) das davon erzeugte Ideal. Ein Element t ∈ R ist ein gemeinsamer Teiler von a1 , . . . , ak ∈ R genau dann, wenn a ⊆ (t) ist, und t ist ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn f¨ ur jedes s ∈ R mit a ⊆ (s) folgt, dass (t) ⊆ (s) ist. Ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler erzeugt also ein minimales Hauptoberideal von a. Beweis. Aus a = (a1 , . . . , ak ) ⊆ (t) folgt sofort (ai ) ⊆ (t) f¨ ur i = 1, . . . , k, was gerade bedeutet, dass t diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Sei umgekehrt t ein gemeinsamer Teiler. Dann ist ai ∈ (t) und da a = (a1 , . . . , ak ) das kleinste Ideal ist, das alle ai enth¨alt, muss a ⊆ (t) gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten.  Bevor wir mit der Teilbarkeitstheorie f¨ ur Hauptidealbereiche fortfahren, wollen wir zun¨achst zeigen, dass die ganzen Zahlen einen Hauptidealbereich bilden. Dies geschieht u ¨ber den Begriff des Euklidischen Bereiches, der an die Division mit Rest ankn¨ upft. Im Ring der ganzen Zahlen gilt die Division mit Rest, ebenso in einem Polynomring in einer Variablen u ¨ber einem K¨orper. Ihre Bedeutung liegt grob gesprochen darin, dass sie ein Maß daf¨ ur liefert, wie weit eine Zahl davon entfernt ist, eine andere zu teilen. 2.3. Division mit Rest. F¨ ur ganze Zahlen a, b, b 6= 0, gibt es (eindeutig bestimmte) ganze Zahlen q, r mit a = qb + r und 0 ≤ r < |b| . Dabei bezeichnet | | den Betrag einer ganzen Zahl. Das Symbol q soll dabei an Quotient erinnern und r an Rest. Teilt man die Gleichung durch b, so

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erh¨alt man in Q die Beziehung r r a = q + mit q ∈ Z und 0 ≤ < 1 . b b b Definition 2.9. Ein euklidischer Bereich (oder euklidischer Ring) ist ein Integrit¨atsbereich R, f¨ ur den eine Abbildung δ : R \ {0} → N existiert, die die folgende Eigenschaft erf¨ ullt: F¨ ur Elemente a, b mit b 6= 0 gibt es q, r ∈ R mit

a = qb + r und r = 0 oder δ(r) < δ(b) .

Die in der Definition auftauchende Abbildung δ nennt man auch euklidische Funktion. Die ganzen Zahlen Z bilden also einen euklidischen Ring mit dem Betrag als euklidischer Funktion. Beispiel 2.10. F¨ ur einen K¨orper K ist der Polynomring K[X] in einer Variablen ein euklidischer Bereich, wobei die euklidische Funktion δ durch die Gradfunktion gegeben ist. Viele Parallelen zwischen dem Polynomring K[X] und Z beruhen auf dieser Eigenschaft. Die Gradfunktion hat die Eigenschaft δ(f g) = δ(f ) + δ(g). Beispiel 2.11. Eine Gaußsche Zahl z ist durch z = a + bi gegeben, wobei a und b ganze Zahlen sind. Die Menge dieser Zahlen wird mit Z[i] bezeichnet. Die Gaußschen Zahlen sind die Gitterpunkte, d.h. die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, in der komplexen Ebene. Sie bilden mit komponentenweiser Addition und mit der induzierten komplexen Multiplikation einen kommutativen Ring.

Gaußsche Zahlen als Gitterpunkte in der komplexen Zahlenebene

Eine euklidische Funktion ist durch die Norm N gegeben, die durch N (a + bi) := a2 +b2 definiert ist. Man kann auch N (z) = z · z¯ schreiben, wobei z¯ die komplexe Konjugation bezeichnet. Die Norm ist das Quadrat des komplexen Absolutbetrages und wie dieser multiplikativ, also N (zw) = N (z)N (w). Mit der Norm lassen sich auch leicht die Einheiten von Z[i] bestimmen: ist wz = 1, so ist auch N (zw) = N (z)N (w) = 1, also N (z) = 1. Damit sind

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genau die Elemente {1, −1, i, −i} diejenigen Gaußschen Zahlen, die Einheiten sind. Lemma 2.12. Der Ring der Gaußschen Zahlen ist mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich. Beweis. Seien w, z ∈ Z[i], z = 6 0. Wir betrachten den Quotienten w¯ z w = = q1 + q2 i. z z z¯ Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also q1 , q2 ∈ Q. Es gibt ganze Zahlen a1 , a2 mit |q1 − a1 |, |q2 − a2 | ≤ 1/2. Damit ist q1 + q2 i = a1 + a2 i + (q1 − a1 ) + (q2 − a2 )i

mit a1 + a2 i ∈ Z[i]. Ferner ist

N ((q1 − a1 ) + (q2 − a2 )i) = (q1 − a1 )2 + (q2 − a2 )2  2  2 1 1 ≤ + 2 2 < 1.

Multiplikation mit z ergibt w = z(a1 + a2 i) + z((q1 − a1 ) + (q2 − a2 )i)

und aus der Multiplikativit¨at der Norm folgt

N (z ((q1 − a1 ) + (q2 − a2 )i)) = N (z)N ((q1 − a1 ) + (q2 − a2 )i) < N (z).



F¨ ur eine unvollst¨andige Liste von Primfaktorzerlegungen im Ring der Gaußschen Zahlen siehe hier oder hier. Folgendes Lemma hilft bei der Bestimmung der Primelemente der Gaußschen Zahlen und in ¨ahnlichen Ringen. Lemma 2.13. Sei R ein euklidischer Bereich mit einer multiplikativen euklidischen Funktion N : R \ {0} −→ N+ (es werden also nur positive Werte angenommen). Ist dann f¨ ur f ∈ R die Zahl N (f ) prim, so ist f irreduzibel in R. Beweis. Sei f = gh eine Faktorzerlegung. Dann ist N (f ) = N (g)N (h) und da nach Voraussetzung N (f ) eine Primzahl ist, folgt, dass einer der Faktoren, sagen wir N (h), eine Einheit ist, also N (h) = 1. Wir wenden auf 1 und h die Division mit Rest an und erhalten 1 = qh + r, wobei r = 0 ist oder N (r) < N (h) = 1. Letzteres ist aber ausgeschlossen, so dass r = 0 sein muss und damit ist h eine Einheit. Also ist f irreduzibel. 

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Wir werden sp¨ater sehen, dass in euklidischen Bereichen irreduzible Elemente bereits prim sind. Das vorstehende Lemma ist also ein Kriterium f¨ ur Primelemente. Die Umkehrung gilt u ¨brigens nicht. Z. B. ist 3 ein Primelement in Z[i], aber N (3) = 9 ist keine Primzahl. Nach den Gaußschen Zahlen sind die sogenannten Eisenstein-Zahlen ein wichtiges Beispiel f¨ ur quadratische Zahlbereiche. Beispiel 2.14. Die Eisenstein-Zahlen sind komplexe Zahlen der Form   i√ 1 + 3 z = a+b 2 2

mit ganzen Zahlen a und b. Insbesondere ist 1 i√ ω = − + 3 = e2πi/3 2 2 eine Eisenstein-Zahl. Diese Zahl ist zugleich eine (primitive) dritte Einheitswurzel (also ω 3 = 1), so dass der Ring der Eisenstein-Zahlen zugleich der dritte Kreisteilungsring ist. Wegen ω 3 − 1 = (ω − 1)(ω 2 + ω + 1) und gilt die Gleichung

ω 6= 1

ω 2 + ω + 1 = 0.

Eisenstein-Zahlen als Punkte eines Dreiecksgitters in der komplexen Zahlenebene

√ √ Die Eisenstein-Zahlen enthalten den Ring Z[ −3] = Z ⊕ Z −3. Im obigen Bild besteht dieser Ring aus jeder zweiten horizontalen Zeile des Gitters und ist damit ein rechtwinkliges Gitter. Es gilt der folgende Satz. √ Satz 2.15. F¨ ur den Ring Z[ −3] ist die Norm (das Quadrat des komplexen Betrages) keine euklidische Funktion, aber f¨ ur den Ring der Eisenstein√ −1+ 3i Zahlen Z[ω] mit ω = ist die Norm eine euklidische Funktion. 2 Beweis. Wie dem Beweis zur Euklidizit¨at der Gaußschen Zahlen zu entnehmen ist, ist f¨ ur einen Unterring der komplexen Zahlen der Form Γ = Z ⊕ Zx (mit x 6∈ R) die Norm eine euklidische Funktion genau dann, wenn sich zu jedem Element z ∈ Q(Γ) = Q ⊕ Qx ein Element u ∈ Γ findet, das zu z einen

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√ Abstand√kleiner als 1 besitzt. Sei zun¨achst Γ = Z ⊕ Z −3. Das Element ω = −1+2 −3 ∈ Q(Γ) hat den minimalen Abstand zu den vier Gitterpunkten √ √ (0, 0), (−1, 0), (0, 3), (−1, 3), und dieser ist stets r √ −1 + −3 1 3 = + = 1. 2 4 4

F¨ ur den Ring der Eisenstein-Zahlen Z[ω] sind die Gittermaschen gleichm¨aßige Dreiecke mit Seitenl¨ange eins, und jede komplexe Zahl hat zu mindestens einem Gitterpunkt einen Abstand < 1.  √ Es l¨asst sich zeigen, dass der Ring Z[ −3] auch keine andere euklidische Funktion besitzt (er ist auch kein Hauptidealbereich, noch nicht mal, wie wir sp¨ater sehen und erkl¨aren werden, normal). Eine wichtige Konsequenz aus der Existenz einer euklidischen Funktion ist, dass ein Hauptidealbereich vorliegt. Satz 2.16. Ein euklidischer Bereich ist ein Hauptidealbereich. Beweis. Sei I ein von 0 verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge {δ(a)| a ∈ I, a 6= 0} .

Diese Menge hat ein Minimum m, das von einem Element b ∈ I, b 6= 0 herr¨ uhrt, sagen wir m = δ(b). Wir behaupten, dass I = (b) ist. Dabei ist die Inklusion ⊇“ klar. Zum Beweis der Inklusion ⊆“ sei a ∈ I gegeben. ” ” Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt a = qb + r mit r = 0 oder δ(r) < δ(b). Wegen r ∈ I und der Minimalit¨at von δ(b) kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist r = 0 und a ist ein Vielfaches von b.  2. Arbeitsblatt ¨ 2.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 2.1.* Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein K¨orper ist, wenn er genau zwei Ideale enth¨alt. Aufgabe 2.2.* Es seien x, y ∈ R Elemente in einem kommutativen Ring R. Welche der folgenden Formulierungen sind zu ¨aquivalent. (1) x teilt y.

Rx ⊆ Ry

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(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

x wird von y geteilt. y wird von x geteilt. x ist ein Vielfaches von y. x ist ein Vielfaches von x. y teilt x. Rx ∩ Ry = Rx. Jedes Vielfache von y ist auch ein Vielfaches von x. Jeder Teiler von y ist auch ein Teiler von x. Ein Maik¨afer ist ein Schmetterling.

Aufgabe 2.3. a) Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring R eine Untergruppe von R ist. b) Zeige, dass f¨ ur R = Z die Begriffe Untergruppe und Ideal zusammenfallen. c) Man gebe eine Beispiel f¨ ur einen kommutativen Ring R und eine Untergruppe U ⊆ R, die kein Ideal ist. Aufgabe 2.4. Zeige, dass es zu ganzen Zahlen d, n mit d > 0 eindeutig bestimmte ganze Zahlen q, r mit 0 ≤ r < d und mit n = dq + r

gibt. Aufgabe 2.5.* Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus ein Ideal in R ist.

ϕ : R −→ S

Aufgabe 2.6. Zeige, dass Z[X] und der Polynomring in zwei Variablen K[X, Y ] u ¨ber einem K¨orper K keine Hauptidealbereiche sind. Aufgabe 2.7. Es sei T ⊆ R eine Teilmenge. Zeige, dass im Ring der stetigen Funktionen R = C(R, R) die Teilmenge I = {f ∈ R| f (x) = 0 f¨ ur alle x ∈ T } ein Ideal in R ist. Aufgabe 2.8. Wir betrachten das Ideal zu T = {0} ⊆ R im Sinne von Aufgabe 2.7. Ist dies ein Hauptideal?

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Aufgabe 2.9. Es sei R ein kommutativer Ring und a1 , a2 , . . . , an , b, f ∈ R Elemente. Zeige die folgenden Aussagen. 1) Wenn b ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler der a1 , a2 , . . . , an ist, so ist auch f b ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler der f a1 , f a2 , . . . , f an . 2) Wenn f ein Nichtnullteiler ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung. Aufgabe 2.10. Es seien a, b ∈ R zwei irreduzible, nicht assoziierte Elemente in einem Integrit¨atsbereich. Zeige, dass a und b teilerfremd sind. Aufgabe 2.11. Sei R ein Integrit¨atsbereich und p ∈ R, p 6= 0. Zeige, dass p genau dann irreduzibel ist, wenn es genau zwei Hauptideale oberhalb von (p) gibt, n¨amlich (p) selbst und (1) = R. Aufgabe 2.12. Seien r und s teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede L¨osung (x, y) der Gleichung rx + sy = 0 die Gestalt (x, y) = v(s, −r) hat, mit einer eindeutig bestimmten Zahl v. Aufgabe 2.13. Zeige durch ein Beispiel, dass die in Aufgabe 2.12 bewiesene Aussage ohne die Voraussetzung teilerfremd nicht stimmt. Aufgabe 2.14.* Zeige, dass die Untergruppen von Z genau die Teilmengen der Form Zd = {kd| k ∈ Z}

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl d sind. Der Begriff des gr¨oßten gemeinsamen Teilers wird innerhalb der ganzen Zahlen h¨aufig wie folgt definiert. Seien a1 , . . . , ak nat¨ urliche Zahlen. Eine nat¨ urliche Zahl g heißt gr¨oßter gemeinsamer Teiler der a1 , . . . , ak , wenn g ein gemeinsamer Teiler ist und wenn g unter allen gemeinsamen Teilern der a1 , . . . , ak der (bez¨ uglich der Ordnungsrelation auf den nat¨ urlichen Zahlen) Gr¨oßte ist. Aufgabe 2.15. Sei a1 , . . . , an eine Menge von ganzen Zahlen. Zeige, dass der nichtnegative gr¨oßte gemeinsame Teiler der ai (im Sinne der allgemeinen Ringdefinition) mit demjenigen gemeinsamen Teiler u ¨bereinstimmt, der bez¨ uglich der Ordnungsrelation ≥ der gr¨oßte gemeinsame Teiler ist.

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Aufgabe 2.16.* Bestimme in Z[i] mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den gr¨oßten gemeinsamen Teiler von 5 + 2i und 3 + 7i.

Aufgabe 2.17. Sei R ein euklidischer Bereich mit euklidischer Funktion δ. Zeige, dass ein Element f ∈ R ( f 6= 0) mit δ(f ) = 0 eine Einheit ist. 2.2. Aufgaben zum Abgeben.

Aufgabe 2.18. (3 Punkte) Sei n ∈ N+ und seien n (verschiedene) nat¨ urliche Zahlen gegeben. Zeige, dass es eine nichtleere Teilmenge dieser Zahlen derart gibt, dass die zugeh¨orige Summe ein Vielfaches von n ist.

Aufgabe 2.19. (3 Punkte) Alle Fl¨ohe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohm¨annchen springt bei jedem Sprung 78 cm und die deutlich kr¨aftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung 126 cm. Die Flohm¨annchen Florian, Fl¨ohchen und Carlo sitzen in den Positionen −123, 55 und −49. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position 17 bzw. 109. Welche Fl¨ohe k¨onnen sich treffen?

Aufgabe 2.20. (3 Punkte) Beweise folgende Aussagen f¨ ur einen kommutativen Ring R. (1) Das Element a ist ein Teiler von b (also a|b) genau dann, wenn (b) ⊆ (a). (2) a ist eine Einheit genau dann, wenn (a) = R = (1). (3) Ist R ein Integrit¨atsbereich, so gilt (a) = (b) genau dann, wenn a und b assoziiert sind.

Aufgabe 2.21. (2 Punkte) √ √ Zeige, dass im Ring Z[ −2] = Z ⊕ Z 2i die Norm eine euklidische Funktion ist.

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Aufgabe 2.22. (6 Punkte) Sei R ein Integrit¨atsbereich. Betrachte die beiden folgenden Bedingungen: (1) Es gibt ein Primelement p ∈ R mit der Eigenschaft, dass sich jedes Element f ∈ R, f 6= 0, eindeutig als f = upi darstellen l¨asst mit einer Einheit u und i ∈ N.

(2) R ist ein euklidischer Bereich mit einer surjektiven euklidischen Funktion δ : R \ {0} → N, die zus¨atzlich die beiden folgenden Eigenschaften erf¨ ullt.

a) Es gilt δ(f g) = δ(f ) + δ(g) f¨ ur alle f, g ∈ R \ {0}.

b) Es gilt f |g genau dann, wenn δ(f ) ≤ δ(g) f¨ ur alle f, g ∈ R\{0}. Zeige, dass beide Bedingungen a¨quivalent sind. K¨onnen Sie Beispiele f¨ ur solche Ringe angeben? 3. Vorlesung - Euklidischer Algorithmus und Hauptidealbereiche 3.1. Der euklidische Algorithmus. Euklidische Bereiche heißen so, weil in ihnen der euklidische Algorithmus ausgef¨ uhrt werden kann.

Euklid (4. Jahrhundert v. C.)

Definition 3.1. Seien Elemente a, b (mit b 6= 0) eines euklidischen Bereichs R mit euklidischer Funktion δ gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen r0 = a und r1 = b und die mittels der Division mit Rest ri = qi ri+1 + ri+2 rekursiv bestimmte Folge ri die Folge der euklidischen Reste.1 1Da

wir einen euklidischen Bereich ohne Eindeutigkeitsbedingung in der Division mit Rest definiert haben, ist diese Restfolge nicht unbedingt eindeutig bestimmt. Die relevanten Eigenschaften h¨ angen aber nicht von Auswahlen ab und in allen wichtigen Beispielen ist die Division mit Rest eindeutig.

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Satz 3.2. Seien zwei Elemente r0 = a, r1 = b 6= 0 eines euklidischen Bereiches R mit euklidischer Funktion δ gegeben. Dann besitzt die Folge ri , i = 0, 1, 2, . . ., der euklidischen Reste folgende Eigenschaften. (1) Es ist ri+2 = 0 oder δ(ri+2 ) < δ(ri+1 ). (2) Es gibt ein (minimales) k ≥ 2 mit rk = 0. (3) Es ist ggT(ri+1 , ri ) = ggT(ri , ri−1 ). (4) Sei k ≥ 2 der erste Index derart, dass rk = 0 ist. Dann ist ggT(a, b) = rk−1 .

Beweis. (1) Dies folgt unmittelbar aus der Definition der Division mit Rest. (2) Solange ri 6= 0 ist, wird die Folge der nat¨ urlichen Zahlen δ(ri ) immer kleiner, so dass irgendwann der Fall ri = 0 eintreten muss. (3) Wenn t ein gemeinsamer Teiler von ri+1 und von ri+2 ist, so zeigt die Beziehung ri = qi ri+1 + ri+2 , dass t auch ein Teiler von ri und damit ein gemeinsamer Teiler von ri+1 und von ri ist. Die Umkehrung folgt genauso. (4) Dies folgt aus (3) mit der Gleichungskette ggT(a, b) = = = =

ggT(b, r2 ) ggT(r2 , r3 ) ... ggT(rk−2 , rk−1 ) = ggT(rk−1 , rk ) = ggT(rk−1 , 0) = rk−1 . 

Als Beispiel zum Euklidischen Algorithmus l¨osen wir die folgende Aufgabe. Aufgabe: Bestimme in Z mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den gr¨oßten gemeinsamen Teiler von 1071 und 1029. L¨osung: Der gr¨oßte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 wird mit dem Euklidischen Algorithmus wie folgt berechnet: 1071 = 1 · 1029 + 42,

1029 = 24 · 42 + 21, 42 = 2 · 21 + 0. Der gr¨oßte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 ist somit 21. Aufgabe:

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Bestimme in Z[i] mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den gr¨oßten gemeinsamen Teiler von 7 + 4i und 5 + 3i. L¨osung: Wir setzen a = 7 + 4i und b = 5 + 3i und f¨ uhren die Division mit Rest a/b durch. Es ist (in C oder in Q[i]) 7 + 4i (7 + 4i)(5 − 3i) 47 − i 47 1 a = = = = − i. b 5 + 3i (5 + 3i)(5 − 3i) 34 34 34

Die beste Approximation f¨ ur diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist 1, so dass die Division mit Rest ergibt: a = 1 · b + r mit r = a − b = 2 + i .

Die n¨achste durchzuf¨ uhrende Division ist somit b 5 + 3i (5 + 3i)(2 − i) 13 + i 13 1 = = = = + i. r 2+i (2 + i)(2 − i) 5 5 5

Die beste Approximation f¨ ur diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist 3, so dass die Division mit Rest ergibt: b = 3 · r + s mit s = b − 3r = 5 + 3i − 3(2 + i) = −1 .

Da dies eine Einheit ist, sind a = 7 + 4i und b = 5 + 3i teilerfremd. 3.2. Das Lemma von Bezout und das Lemma von Euklid. Satz 3.3. Sei R ein Hauptidealring. Dann gilt: Elemente a1 , . . . , an besitzen stets einen gr¨oßten gemeinsamen Teiler d, und dieser l¨asst sich als Linearkombination der a1 , . . . , an darstellen, d.h. es gibt Elemente r1 , . . . , rn ∈ R mit r1 a1 + r2 a2 + · · · + rn an = d.

Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente a1 , . . . , an eine Darstellung der 1.

Beweis. Sei I = (a1 , . . . , an ) das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element d mit I = (d). Wir behaupten, dass d ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler der a1 , . . . , an ist. Die Inklusionen (ai ) ⊆ I = (d) zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Sei e ein weiterer gemeinsamer Teiler der a1 , . . . , an . Dann ist wieder (d) = I ⊆ (e), was wiederum e|d bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus d ∈ I = (a1 , . . . , an ).

Im teilerfremden Fall ist I = (a1 , . . . , an ) = R.



Die vorstehende Aussage heißt Lemma von Bezout. In einem euklidischen Bereich kann man mit dem euklidischen Algorithmus eine Darstellung des gr¨oßten gemeinsamen Teilers bestimmen, indem man r¨ uckw¨arts durch den Algorithmus wandert. Die folgende Aussage heißt Lemma von Euklid.

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Lemma 3.4. Sei R ein Hauptidealbereich und a, b, c ∈ R. Es seien a und b teilerfremd und a teile das Produkt bc. Dann teilt a den Faktor c. Beweis. Da a und b teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente r, s ∈ R mit ra + sb = 1. Die Voraussetzung, dass a das Produkt bc teilt, schreiben wir als bc = da. Damit gilt c = c1 = c(ra + sb) = cra + csb = acr + ads = a(cr + ds), was zeigt, dass c ein Vielfaches von a ist.



3.3. Die Faktorialit¨ at von Hauptidealbereichen. Satz 3.5. Sei R ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim, wenn es irreduzibel ist. Beweis. Ein Primelement in einem Integrit¨atsbereich ist nach Lemma 1.16 stets irreduzibel. Sei also umgekehrt p irreduzibel, und nehmen wir an, dass p das Produkt ab teilt, sagen wir pc = ab. Nehmen wir an, dass a kein Vielfaches von p ist. Dann sind aber a und p teilerfremd, da eine echte Inklusionskette (p) ⊂ (p, a) = (d) ⊂ R der Irreduzibilit¨at von p widerspricht. Damit teilt p nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor b.  Lemma 3.6. In einem Hauptidealbereich l¨asst sich jede Nichteinheit a 6= 0 darstellen als Produkt von irreduziblen Elementen. Beweis. Angenommen, jede Zerlegung a = p1 · · · pk enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette a1 = a, a2 , a3 , . . ., wobei an+1 ein nicht-trivialer Teiler von an ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette (a1 ) ⊂ (a2 ) ⊂ (a3 ) ⊂ · · · .

Die Vereinigung dieser Ideale ist aber Aufgabe 3.13 ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.  Satz 3.7. In einem Hauptidealbereich l¨asst sich jede Nichteinheit a 6= 0 darstellen als Produkt von Primelementen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit. W¨ahlt man aus jeder Assoziiertheitsklasse von Primelementen einen festen Repr¨asentanten p, so gibt es eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Darstellung a = u·pr11 ·pr22 · · · prkk , wobei u eine Einheit ist und die pi Repr¨asentanten sind. Beweis. Die erste Aussage folgt direkt aus Lemma 3.6 und Satz 3.5. Die behauptete Eindeutigkeit bis auf Umordnung bedeutet, dass wenn a = u · p 1 · · · p k = v · q1 · · · qm

zwei Primfaktorzerlegungen sind, dass dann k = m ist und es eine Permutation τ auf {1, . . . , k} gibt derart, dass pi und qτ (i) assoziiert sind f¨ ur alle

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i ∈ {1, . . . , k}. Wir beweisen diese Aussage durch Induktion u ¨ber k. Sei zuerst k = 0 (das sei zugelassen). Dann steht links eine Einheit, also muss auch rechts eine Einheit stehen, was m = 0 bedeutet. Sei also k > 0 und die Aussage sei f¨ ur alle kleineren k bewiesen. Die Gleichung (∗) bedeutet insbesondere, dass pk das Produkt rechts teilt. Da pk prim ist, muss pk nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung kann man annehmen, dass qm von pk geteilt wird. Da qm ebenfalls prim ist, sind qm und pk assoziiert. Also ist qm = wpk mit einer Einheit w und man kann die Gleichung (∗) nach pk k¨ urzen und erh¨alt u · p1 · · · pk−1 = (vw) · q1 · · · qm−1 .

Die Induktionsvoraussetzung liefert dann k − 1 = m − 1 und dass jedes pi zu einem qj assoziiert ist. 

Diesen Satz kann man auch so ausdr¨ ucken, dass Hauptidealbereiche faktoriell sind im Sinne der folgenden Definition. F¨ ur solche Bereiche gilt ganz allgemein, dass die Primfaktorzerlegung eindeutig ist. Definition 3.8. Ein Integrit¨atsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erf¨ ullt sind. (1) Jedes irreduzible Element in R ist prim. (2) Jedes Element a ∈ R, a 6= 0, ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen. Korollar 3.9. Jede positive nat¨ urliche Zahl l¨asst sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Beweis. Dies folgt sofort aus Satz 3.7.



Korollar 3.10. Sei R ein Hauptidealbereich und seien a und b zwei Elemente 6= 0 mit Primfaktorzerlegungen a = u · pr11 · pr22 · · · prkk und b = v · ps11 · ps22 · · · pskk

(wobei die Exponenten auch 0 sein k¨onnen und u, v Einheiten sind). Dann gilt a|b genau dann, wenn ri ≤ si ist f¨ ur alle Exponenten i = 1, . . . , k. Beweis. Wenn die Exponentenbedingung erf¨ ullt ist, so ist si − ri ≥ 0 und man kann  b = a vu−1 p1s1 −r1 · · · pskk −rk

schreiben, was die Teilbarkeit bedeutet. Die Umkehrung folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in Hauptidealbereichen (siehe Satz 3.7). 

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√ Beispiel 3.11. Wir betrachten den Ring R = Z[ −3], der aus allen komplexen Zahlen der Form √ a + b 3i mit a, b ∈ Z √

besteht und ein Unterring des Ringes der Eisensteinzahlen Z[ 1+2 3i ] ist. Letzterer Ring ist nach Satz 2.15 euklidisch und ein Hauptidealbereich. Dagegen gilt in R noch nicht einmal die eindeutige Primfaktorzerlegung, es ist n¨amlich √ √ (1 + 3i)(1 − 3i) = 4 = 2 · 2

und in beiden Zerlegungen sind die Faktoren irreduzibel, da es in R (und im Eisensteinring) keine Elemente mit Betragsquadrat 2. Im Ring der Eisensteinzahlen sind wegen √ √ 1 + 3i ·2 1 + 3i = 2 die√ Faktoren zueinander assoziiert, aber nicht in R, da es dort die Einheit 1+ 3i nicht gibt. Das Ideal 2 √ √ √ (2, 1 + 3i) = (1 − 3i, 1 + 3i) ist in R kein Hauptideal.

3.4. Restklassenringe von Hauptidealbereichen. Satz 3.12. Sei R ein Hauptidealbereich und p 6= 0 ein Element. Dann sind folgende Bedingungen ¨aquivalent. (1) p ist ein Primelement. (2) R/(p) ist ein Integrit¨atsbereich. (3) R/(p) ist ein K¨orper. ¨ Beweis. Die Aquivalenz (1) ⇔ (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch f¨ ur p = 0), und (3) impliziert nat¨ urlich (2). Sei also (1) erf¨ ullt und sei a ∈ R/(p) von 0 verschieden. Wir bezeichnen einen Repr¨asentanten davon in R ebenfalls mit a. Es ist dann a 6∈ (p) und es ergibt sich eine echte Idealinklusion (p) ⊂ (a, p). Ferner k¨onnen wir (a, p) = (b) schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt p = cb. Da c keine Einheit ist und p prim (also irreduzibel) ist, muss b eine Einheit sein. Es ist also (a, p) = (1), und das bedeutet modulo p, also in R/(p), dass a eine Einheit ist. Also ist R/(p) ein K¨orper.  3. Arbeitsblatt ¨ 3.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 3.1. Bestimme in Z mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den gr¨oßten gemeinsamen Teiler von 1983 und 1528.

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Aufgabe 3.2. Bestimme in Z mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den gr¨oßten gemeinsamen Teiler von 3711 und 4115. Aufgabe 3.3.* Bestimme in Z mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den gr¨oßten gemeinsamen Teiler von 71894 und 45327. Aufgabe 3.4.* Bestimme den gr¨oßten gemeinsamen Teiler von 3146 und 1515 und gebe eine Darstellung des ggT von 3146 und 1515 mittels dieser Zahlen an. Aufgabe 3.5. Wende auf zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen den euklidischen Algorithmus an. Welche Gesetzm¨aßigkeit tritt auf? Aufgabe 3.6. Die Beschreibungsseite des folgenden Bildes behauptet, etwas mit dem euklidischen Algorithmus zu tun zu haben. Erl¨autere dies. Welche Eigenschaften des euklidischen Algorithmus sind in dem Bild sichtbar? Beweise diese Eigenschaften des Algorithmus.

Aufgabe 3.7. Die Wasserspedition Alles im Eimer“ verf¨ ugt u ¨ber 77-, 91” und 143-Liter Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erh¨alt den Auftrag, genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erf¨ ullen?

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Aufgabe 3.8. Bestimme in C[X] mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den gr¨oßten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome X 3 + (2 − i)X 2 + 4 und (3 − i)X 2 + 5X − 3. Aufgabe 3.9. Bestimme in Q[X] mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den gr¨oßten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome 2X 4 − 7X 2 + 25 X + 3 und X 3 + 1. Aufgabe 3.10. Bestimme in F7 [X] mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den gr¨oßten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome P = X 3 + 6X 2 + 4 und Q = X 2 + 3X + 2. Aufgabe 3.11. Bestimme in Z/(11)[X] den (normierten) gr¨oßten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome X 4 + 2X 3 + 2X 2 + 3 und X 2 + 7X + 10 . Aufgabe 3.12.* Bestimme in Z[i] mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den gr¨oßten gemeinsamen Teiler von 23 + 2i und 1 + 23i. Aufgabe 3.13. Zeige, dass im Polynomring K[X, Y ] nicht das Lemma von Bezout gilt. Aufgabe 3.14. Sei R ein kommutativer Ring und sei a1 ⊆ a2 ⊆ a3 ⊆ . . .

S eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung n∈N an ebenfalls ein Ideal ist. Zeige ebenso durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss. Aufgabe 3.15. Zeige, dass in einem Hauptidealbereich R zu beliebigen Elementen a1 , . . . , an ∈ R sowohl ein gr¨oßter gemeinsame Teiler als auch ein kleinstes gemeinsames Vielfaches existieren. Wie kann man sie berechnen, wenn die Primfaktorzerlegungen der Elemente bekannt sind? F¨ ur Z l¨asst sich die Existenz einer Zerlegung in Primzahlen, also in irreduzible Elemente, einfach direkt zeigen.

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Aufgabe 3.16.* Zeige durch Induktion, dass jede nat¨ urliche Zahl n ≥ 2 eine Zerlegung in Primzahlen besitzt. Aufgabe 3.17. Finde einen Primfaktor der Zahl 225 + 1. Aufgabe 3.18.* Bestimme die Primfaktorzerlegung von 1728. Aufgabe 3.19.* Man gebe zwei Primfaktoren von 235 − 1 an. Aufgabe 3.20. Sei p eine Primzahl. Zeige, dass   p ≡ 0 mod p k ist f¨ ur alle k = 1, . . . , p − 1. Aufgabe 3.21. Es seien a, b ∈ N+ . Zeige, dass ab = b a

genau dann gilt, wenn a = b ist oder wenn a = 2 und b = 4 ist (oder umgekehrt). 3.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 3.22. (2 Punkte) Finde einen Primfaktor der Zahl 225 − 1. Aufgabe 3.23. (3 Punkte) Bestimme in Z[i] mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den gr¨oßten gemeinsamen Teiler von 35 + 18i und 8 + 11i. Aufgabe 3.24. (3 Punkte) Bestimme in F5 [X] mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den gr¨oßten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome P = X 4 + 3X 3 + X 2 + 4X + 2 und Q = 2X 3 + 4X 2 + X + 3.

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In der folgenden Aufgabe wird der Logarithmus verwendet. Aufgabe 3.25. (4 (3+1) Punkte) Betrachte die reellen Zahlen R als Q-Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen ln p, wobei p durch die Menge der Primzahlen l¨auft, linear unabh¨angig ist. Bleibt das Ergebnis g¨ ultig, wenn man den nat¨ urlichen Logarithmus ln durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt? Aufgabe 3.26. (3 (2+1) Punkte) Sei r ∈ N.

a) Finde r aufeinander folgende nat¨ urliche Zahlen (also n, n+1, . . . , n+r−1), die alle nicht prim sind. b) Finde unendlich viele solcher primfreien r- Intervalle“. ” Aufgabe 3.27. (6 (2+2+2) Punkte) Zu einer nat¨ urlichen Zahl n bezeiche T (n) die Anzahl der positiven Teiler von n. Zeige die folgenden Aussagen u ¨ber T (n). a) Sei n = pr11 · · · prkk die Primfaktorzerlegung von n. Dann ist T (n) = (r1 + 1)(r2 + 1) · · · (rk + 1).

b) F¨ ur teilerfremde Zahlen n und m gilt T (nm) = T (n)T (m). c) Bestimme die Anzahl der Teiler von 20!. 4. Vorlesung - Restklassenringe und prime Restklassengruppen 4.1. Die Restklassenringe Z/(n).

F¨ ur die Restklassenringe Z/(n) verwenden wir {0, 1, 2, . . . , n − 1} als kanonisches Repr¨asentantensystem.

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Satz 4.1. Genau dann ist a ∈ Z eine Einheit modulo n (d.h. a repr¨asentiert eine Einheit in Z/(n)) wenn a und n teilerfremd sind. Beweis. Sind a und n teilerfremd, so gibt es nach Satz 3.3 eine Darstellung der 1, es gibt also ganze Zahlen r, s mit ra + sn = 1. Betrachtet man diese Gleichung modulo n, so ergibt sich ra = 1 in Z/(n). Damit ist a eine Einheit mit Inversem a−1 = r. Ist umgekehrt a eine Einheit in Z/(n), so gibt es ein r ∈ Z/(n) mit ar = 1 in Z/(n). Das bedeutet aber, dass ar − 1 ein Vielfaches von n ist, so dass also ar − 1 = sn

gilt. Dann ist aber wieder ar − sn = 1 und a und n sind teilerfremd.



Beweis. Dies folgt unmittelbar aus Satz 3.12.



Korollar 4.2. Der Restklassenring Z/(n) ist genau dann ein K¨orper, wenn n eine Primzahl ist.

Wir geben noch einen zweiten Beweis. Die Zahl n ist genau dann prim, wenn sie teilerfremd zu jeder Zahl a, 0 < a < n, ist. Dies ist nach Satz 4.1 genau dann der Fall, wenn in Z/(n) jedes von 0 verschiedene Element eine Einheit ist. 4.2. Die eulersche Phi-Funktion.

Leonhard Euler (1707-1783)

Definition 4.3. Zu einer nat¨ urlichen Zahl n bezeichnet ϕ(n) die Anzahl der Elemente von (Z/(n))× . Man nennt ϕ(n) die Eulersche Funktion. Bemerkung 4.4. Die Eulersche Funktion ϕ(n) gibt also f¨ ur n ≥ 1 nach Satz 4.1 an, wie viele Zahlen r, 0 ≤ r < n, zu n teilerfremd sind.

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Satz 4.5. Sei n eine nat¨ urliche Zahl. Dann gilt f¨ ur jede zu n teilerfremde Zahl a die Beziehung aϕ(n) = 1 mod n . Beweis. Das Element a geh¨ort zur Einheitengruppe (Z/(n))× , die ϕ(n) Elemente besitzt. Nach dem Satz von Lagrange ist aber die Gruppenordnung ein Vielfaches der Ordnung des Elementes. 

Joseph-Louis Lagrange (1736 Turin - 1813 Paris)

Als Spezialfall erhalten wir den sogenannten kleinen Fermatschen Satz:

Pierre de Fermat (1607/08-1665)

Lemma 4.6. F¨ ur eine Primzahl p und eine beliebige ganze Zahl a gilt ap ≡ a mod p .

Anders ausgedr¨ uckt: ap − a ist durch p teilbar. Beweis. Ist a nicht durch p teilbar, so definiert a ein Element a ¯ in der Einheitengruppe (Z/(p))× ; diese Gruppe hat die Ordnung ϕ(p) = p − 1, und nach

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dem Satz von Lagrange gilt a ¯p−1 = 1. Durch Multiplikation mit a ergibt sich die Behauptung. F¨ ur Vielfache von p gilt die Aussage ebenso, da dann beidseitig 0 steht.  Beispiel 4.7. Sei beispielsweise p = 5. Dann ist f¨ ur a = 1 : 15 = 1

mod 5

a = 2 : 25 = 32 = 2

mod 5

a = 3 : 35 = 243 = 3

mod 5

a = 4 : 45 = 1024 = 4

mod 5 .

4.3. Endliche K¨ orper und der Satz von Wilson. Definition 4.8. Ein K¨orper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt. Satz 4.9. Sei K ein endlicher K¨orper. Dann ist das Produkt aller von 0 verschiedener Elemente aus K gleich −1. Beweis. Die Gleichung x2 = 1 hat in einem K¨orper nur die L¨osungen 1 und −1, die allerdings gleich sein k¨onnen. Das bedeutet, dass f¨ ur x 6= 1, −1 immer x 6= x−1 ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als −1 1(−1)x1 x−1 1 · · · xk xk

schreiben. Ist −1 6= 1, so ist das Produkt −1. Ist hingegen −1 = 1, so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist 1 = −1.  Die folgende Aussage heißt Satz von Wilson. Korollar 4.10. Sei p eine Primzahl. Dann ist (p − 1)! = −1 mod p . Beweis. Dies folgt unmittelbar aus Satz 4.9, da ja die Fakult¨at durch alle Zahlen zwischen 1 und p − 1 l¨auft, also durch alle Einheiten im Restklassenk¨orper Z/(p).  4.4. Der Chinesische Restsatz. Wir wollen im folgenden die Struktur der Restklassenringe Z/(n) verstehen, insbesondere, wenn die Primfaktorzerlegung von n bekannt ist. Lemma 4.11. Seien n und k positive nat¨ urliche Zahlen, und k teile n. Dann gibt es einen kanonischen Ringhomomorphismus Z/(n) −→ Z/(k), (a mod n) 7−→ (a mod k).

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Beweis. Wir betrachten die Ringhomomorphismen ϕ

Z −→ Z/(k) φ↓ Z/(n) Aufgrund der Teilerbeziehung haben wir die Beziehung kern φ = (n) ⊆ (k) = kern ϕ. Aufgrund des Homomorphiesatzes hat man daher einen kanonischen Ringhomomorphismus von links unten nach rechts oben.  Zur Formulierung des Chinesischen Restsatzes erinnern wir an den Begriff des Produktringes. Definition 4.12. Seien R1 , . . . , Rn kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt R1 × · · · × Rn , versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der Ri , i = 1, . . . , n. Satz 4.13. Sei n eine positive nat¨ urliche Zahl mit kanonischer Primfaktorrk r1 r2 zerlegung n = p1 · p2 · · ·pk (die pi seien also verschieden und ri ≥ 1). Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen Z/(n) → Z/(pri i ) einen Ringisomorphismus r Z/(n) ∼ = Z/(pr11 ) × Z/(pr22 ) × · · · × Z/(pkk ).

Zu gegebenen ganzen Zahlen (a1 , a2 , . . . , ak ) gibt es also genau eine nat¨ urliche Zahl a < n, die die simultanen Kongruenzen a = a1

mod pr11 , a = a2

mod pr22 , . . . , a = ak

mod prkk

l¨ost. Beweis. Da die Ringe links und rechts beide endlich sind und die gleiche Anzahl von Elementen haben, n¨amlich n, gen¨ ugt es, die Injektivit¨at zu zeigen. Sei x eine nat¨ urliche Zahl, die im Produktring (rechts) zu 0 wird, also modulo ur alle i = 1, 2, . . . , k. Dann ist x ein Vielfaches von pri i den Rest 0 hat f¨ ri pi f¨ ur alle i = 1, 2, . . . , k, d.h. in der Primfaktorzerlegung von x muss pi zumindest mit den Exponenten ri vorkommen. Also muss x nach Korollar 3.10 ein Vielfaches des Produktes sein, also ein Vielfaches von n. Damit ist x = 0 in Z/(n) und die Abbildung ist injektiv. 

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Aufgabe: (a) Bestimme f¨ ur die Zahlen 3, 5 und 7 modulare Basisl¨osungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in Z/(3) × Z/(5) × Z/(7) die Restetupel (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) repr¨asentieren. (b) Finde mit den Basisl¨osungen die kleinste positive L¨osung x der simultanen Kongruenzen x = 2 mod 3, x = 4 mod 5 und x = 3 mod 7 . L¨osung: (a) (1, 0, 0) Alle Vielfachen von 5 · 7 = 35 haben modulo 5 und modulo 7 den Rest 0. Unter diesen Vielfachen muss also die L¨osung liegen. 35 hat modulo 3 den Rest 2, somit hat 70 modulo 3 den Rest 1. Also repr¨asentiert 70 das Restetupel (1, 0, 0). (0, 1, 0): Hier betrachtet man die Vielfachen von 21, und 21 hat modulo 5 den Rest 1. Also repr¨asentiert 21 das Restetupel (0, 1, 0). (0, 0, 1): Hier betrachtet man die Vielfachen von 15, und 15 hat modulo 7 den Rest 1. Also repr¨asentiert 15 das Restetupel (0, 0, 1). (b) Man schreibt (in Z/(3) × Z/(5) × Z/(7)) (2, 4, 3) = 2(1, 0, 0) + 4(0, 1, 0) + 3(0, 0, 1). Die L¨osung ist dann 2 · 70 + 4 · 21 + 3 · 15 = 140 + 84 + 45 = 269. Die minimale L¨osung ist dann 269 − 2 · 105 = 59.

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4.5. Die Einheitengruppe im Restklassenring. Wir wollen zeigen, dass die Einheitengruppe (Z/(p))× , wenn p eine Primzahl ist, eine zyklische Gruppe ist, also von einem Element erzeugt wird. Der Restklassenring Z/(p) ist ein K¨orper, und wir werden hier nach einigen Vorbereitungen allgemeiner zeigen, dass jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines K¨orpers zyklisch ist. Dazu ben¨otigen wir einige Resultate u ¨ber kommutative Gruppen und zu Polynomringen u ¨ber K¨orpern. Wir beginnen mit zwei gruppentheoretischen Lemmata. Wir verwenden multiplikative Schreibweise. Lemma 4.14. Sei G eine kommutative Gruppe und x, y ∈ G Elemente der endlichen Ordnungen n = ord (x) und m = ord (y), wobei n und m teilerfremd seien. Dann hat xy die Ordnung nm. Beweis. Sei (xy)k = 1. Wir haben zu zeigen, dass k ein Vielfaches von nm ist. Es ist 1 = (xk y k )n = xkn y kn = y kn , da ja n die Ordnung von x ist. Aus dieser Gleichung erh¨alt man, dass kn ein Vielfaches der Ordnung von y, also von m sein muss. Da n und m teilerfremd sind, folgt aus Lemma 3.4, dass k ein Vielfaches von m ist. Ebenso ergibt sich, dass k ein Vielfaches von n ist, so dass k, wieder aufgrund der Teilerfremdheit, ein Vielfaches von nm sein muss.  Definition 4.15. Der Exponent exp(G) einer endlichen Gruppe G ist die kleinste positive Zahl n mit der Eigenschaft, dass xn = 1 ist f¨ ur alle x ∈ G. Lemma 4.16. Sei G eine endliche kommutative Gruppe und sei exp(G) = ord (G), wobei exp(G) den Exponenten der Gruppe bezeichnet. Dann ist G zyklisch. Beweis. Sei n = ord (G) = pr11 · · · prkk die Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung. Der Exponent der Gruppe ist exp(G) = kgV(ord(x) : x ∈ G). Sei pi ein Primteiler von n. Wegen exp(G) = ord (G) gibt es ein Element x ∈ G, dessen Ordnung ein Vielfaches von pri i ist. Dann gibt es auch (in der von x erzeugten zyklischen Untergruppe) ein Element xi der Ordnung pri i . Dann hat das Produkt x1 · · · xk ∈ G nach Lemma 4.14 die Ordnung n. 

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4. Arbeitsblatt ¨ 4.1. Ubungsaufgaben.

Aufgabe 4.1. Bestimme alle L¨osungen der linearen Kongruenz 12x = 3 mod 21.

Aufgabe 4.2. Bestimme alle L¨osungen der linearen Kongruenz 13x = 11 mod 141

Aufgabe 4.3. Sei p eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ap − a ein Vielfaches von p f¨ ur jede ganze Zahl a ist.

Aufgabe 4.4. Bestimme den Rest von 27! modulo 31.

Aufgabe 4.5.* Seien a, b ≥ 2 und sei n = ab.

a) Zeige, dass die beiden Polynome X a − 1 und X b − 1 Teiler des Polynoms X n − 1 sind. b) Sei a 6= b. Ist (X a − 1)(X b − 1) stets ein Teiler von X n − 1?

c) Man gebe drei Primfaktoren von 230 − 1 an.

Aufgabe 4.6. a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der 1 f¨ ur die beiden Zahlen 19 und 109. b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie Z/(2071) ∼ = Z/(19) × Z/(109). Welche Restklasse modulo 2071 entspricht dem Restklassenpaar (1, 0) und welche dem Paar (0, 1)? c) Bestimme diejenige Restklasse modulo 2071, die modulo 19 den Rest 5 hat und die modulo 109 den Rest 10 hat.

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Aufgabe 4.7.* (a) Bestimme f¨ ur die Zahlen 3, 11 und 13 modulare Basisl¨osungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in Z/(3) × Z/(11) × Z/(13)

die Restetupel (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) repr¨asentieren. (b) Finde mit den Basisl¨osungen die kleinste positive L¨osung x der simultanen Kongruenzen x = 2 mod 3, x = 5 mod 11 und x = 6 mod 13 . Aufgabe 4.8.* (a) Bestimme f¨ ur die Zahlen 2, 9 und 25 modulare Basisl¨osungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in Z/(2) × Z/(9) × Z/(25)

die Restetupel (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) repr¨asentieren. (b) Finde mit den Basisl¨osungen die kleinste positive L¨osung x der simultanen Kongruenzen x = 0 mod 2, x = 3 mod 9 und x = 5 mod 25 . Aufgabe 4.9. (a) Bestimme f¨ ur die Zahlen 4, 5 und 11 modulare Basisl¨osungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in Z/(4) × Z/(5) × Z/(11)

die Restetupel (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) repr¨asentieren. (b) Finde mit den Basisl¨osungen die kleinste positive L¨osung x der simultanen Kongruenzen x = 3 mod 4, x = 2 mod 5 und x = 10 mod 11 . Aufgabe 4.10. Es seien R und S1 , . . . , Sn kommutative Ringe mit dem Produktring S = S1 × · · · × Sn . Zeige, dass ein Ringhomomorphismus ϕ : R −→ S

dasselbe ist wie eine Familie von Ringhomomorphismen f¨ ur i = 1, . . . , n.

ϕi : R −→ Si

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Aufgabe 4.11.* Man gebe eine surjektive Abbildung ϕ : Z −→ Z/(3)

an, die mit der Multiplikation vertr¨aglich (also ein Monoidhomomorphismus) ist, aber kein Ringhomomorphismus ist. Aufgabe 4.12. Sei R ein kommutativer Ring und p ∈ R, p 6= 0. Zeige, dass p genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring R/(p) ein Integrit¨atsbereich ist. Aufgabe 4.13. Sei R ein kommutativer Ring, der einen K¨orper der positiven Charakteristik p > 0 enthalte (dabei ist p eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung R −→ R, f 7−→ f p , ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobenius-Homomorphismus nennt. Tipp: Benutze Aufgabe 3.20. Aufgabe 4.14.* Sei p eine Primzahl und sei f (x) ein Polynom mit Koeffizienten in Z/(p) vom Grad d ≥ p. Zeige, dass es ein Polynom g(x) mit einem Grad < p derart gibt, dass f¨ ur alle Elemente a ∈ Z/(p) die Gleichheit f (a) = g(a)

gilt. Aufgabe 4.15. Es seien n1 , . . . , nk positive nat¨ urliche Zahlen und es sei G = Z/(n1 ) × Z/(n2 ) × · · · × Z/(nk )

die Produktgruppe. Bestimme den Exponenten von G. Aufgabe 4.16.*

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe Sn zu einer Menge mit n Elementen. a) Zeige, dass es in Sn Elemente der Ordnung n gibt. b) Man gebe ein Beispiel f¨ ur eine Permutationsgruppe Sn und einem Element darin, dessen Ordnung gr¨oßer als n ist.

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Aufgabe 4.17.* Zeige, dass es in der Restklassengruppe Q/Z zu jedem n ∈ N+ Elemente gibt, deren Ordnung gleich n ist.

Aufgabe 4.18. F¨ ur eine Gruppe G bezeichne T (G) die Menge aller Elemente mit endlicher Ordnung in G. Zeige folgende Aussagen. (1) Ist G abelsch, so ist T (G) eine Untergruppe von G. (2) Ist T (G) eine Untergruppe, so ist T (G) ein Normalteiler in G. (3) Es gibt eine Gruppe G, f¨ ur die T (G) keine Untergruppe von G ist. 4.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 4.19. (3 Punkte) Formuliere und beweise (bekannte) Teilbarkeitskriterien f¨ ur Zahlen im Dezimalsystem f¨ ur die Teiler k = 2, 3, 5, 9, 11.

Aufgabe 4.20. (3 Punkte) Sei f (x) = x7 +2x3 +3x+4 ∈ (Z/(5))[x]. Finde ein Polynom g(x) ∈ (Z/(5))[x] vom Grad < 5, das f¨ ur alle Elemente aus Z/(5) mit f (x) u ¨bereinstimmt.

Aufgabe 4.21. (3 Punkte) (a) Bestimme f¨ ur die Zahlen 2, 3 und 7 modulare Basisl¨osungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in Z/(2) × Z/(3) × Z/(7) die Restetupel (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) repr¨asentieren. (b) Finde mit den Basisl¨osungen die kleinste positive L¨osung x der simultanen Kongruenzen x = 1 mod 2, x = 2 mod 3 und x = 2 mod 7 . 5. Vorlesung - Die primen Restklassengruppen 5.1. Endliche Untergruppen eines K¨ orpers. In diesem Abschnitt besch¨aftigen wir uns mit der Einheitengruppe der Restklassenringe Z/(n), also mit (Z/(n))× . Ihre Anzahl wird durch die Eulersche Funktion ϕ(n) ausgedr¨ uckt. Wir erinnern kurz an eine wichtige Tatsache f¨ ur die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms u ¨ber einem K¨orper.

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Satz 5.1. Sei K ein K¨orper und sei K[X] der Polynomring u ¨ber K. Sei P ∈ K[X] ein Polynom (6= 0) vom Grad d. Dann besitzt P maximal d Nullstellen. Satz 5.2. Sei U ⊆ K × eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines K¨orpers K. Dann ist U zyklisch. Beweis. Sei n = ord(U ) und e = exp(U ) der Exponent dieser Gruppe. Dies bedeutet, dass alle Elemente x ∈ U eine Nullstelle des Polynoms X e − 1 sind. Nach Satz 5.1 ist die Anzahl der Nullstellen aber maximal gleich dem Grad, so dass n = e folgt. Nach Lemma 4.16 ist dann U zyklisch.  Die reellen Zahlen besitzen u ¨berhaupt nur die beiden endlichen multiplikativen Untergruppen {1} und {1, −1}. Im komplexen Fall liegen die endlichen multiplikativen Untergruppen auf dem Einheitskreis, es handelt sich um die Gruppen µk der k-ten Einheitswurzeln, also um j

{e2πi k , j = 0, 1, . . . , k − 1} .

Wir k¨onnen im Fall einer Primzahl die Struktur der Einheitengruppe des Restklassenringes verstehen. Satz 5.3. Sei p eine Primzahl. Dann ist die Einheitengruppe (Z/(p))× zyklisch mit der Ordnung p − 1. Es gibt also Elemente g mit der Eigenschaft, dass die Potenzen g i , i = 0, 1, . . . , p − 2, alle Einheiten durchlaufen. Beweis. Dies folgt unmittelbar aus Satz 5.2, da Z/(p) ein endlicher K¨orper ist.  Definition 5.4. Eine Einheit g ∈ (Z/(n))× heißt primitiv (oder eine primitive Einheit), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt. Bemerkung 5.5. Der Satz 5.3 sagt insbesondere, dass es f¨ ur eine Primzahl p primitive Elemente im Restklassenk¨orper Z/(p) gibt. Er ist lediglich ein Existenzsatz und gibt keinen Hinweis, wie primitive Elemente zu konstruieren oder zu finden sind. F¨ ur eine Primzahl p und eine Einheit g ∈ (Z/(p))× bedeutet die Eigenschaft, primitiv zu sein, dass ein Gruppenisomorphismus (Z/(p − 1), +, 0) −→ ((Z/(p))× , ·, 1), i 7−→ g i ,

vorliegt. F¨ ur eine beliebige nat¨ urliche Zahl n ist die Einheitengruppe der Restklassenringe Z/(n) im Allgemeinen nicht zyklisch. Wir werden sp¨ater diejenigen Zahlen charakterisieren, die diese Eigenschaft besitzen. Korollar 5.6. Sei p eine Primzahl. Dann gibt es in Z/(p) genau ϕ(p − 1) primitive Elemente. Beweis. Aufgrund der Existenz von primitiven Elementen gibt es eine Isomorphie Z/(p − 1) = (Z/(p))× .

48

Daher geht es um die Anzahl der Erzeuger der additiven Gruppe Z/(p − 1). Ein Element aus Z/(p − 1) ist ein Gruppenerzeuger genau dann, wenn es in Z/(p − 1) (als Ring betrachtet) eine Einheit ist. Deshalb ist die Anzahl gerade ϕ(p − 1).  5.2. Die Einheitengruppen der Restklassenringe. Wir kehren nun zum allgemeinen Fall zur¨ uck, wo n eine beliebige positive ganze Zahl ist. Satz 5.7. Sei n eine positive nat¨ urliche Zahl mit kanonischer Primfaktorrk r1 r2 zerlegung n = p1 · p2 · · · pk . Dann induziert der Ringisomorphismus des r Chinesischen Restsatzes Z/(n) ∼ = Z/(pr11 ) × Z/(pr22 ) × · · · × Z/(pkk ) einen Gruppenisomorphismus der Einheitengruppen × × × r (Z/(n))× ∼ = (Z/(pr1 )) × (Z/(pr2 )) × · · · × (Z/(p k )) . 1

2

k

Insbesondere ist die Einheitengruppe von Z/(n) h¨ochstens dann zyklisch, ur alle i = 1, . . . , k zyklisch sind. wenn die Einheitengruppen von Z/(pri i ) f¨ Beweis. Ein Ringisomorphismus induziert nat¨ urlich einen Isomorphismus der Einheitengruppen, und die Einheitengruppe eines Produktringes ist die Produktgruppe der beteiligten Einheitengruppen. Ist eine Produktgruppe zyklisch, so muss auch jede Komponentengruppe zyklisch sein, da diese auch Restklassengruppen der Produktgruppe sind (unter der Projektion auf die Komponente).  Bemerkung 5.8. Aus der Einheitenversion des Chinesischen Restsatzes folgt f¨ ur die Eulersche Funktion, wenn n = pr11 · pr22 · · · prkk die Primfaktorzerlegung ist, die Identit¨at ϕ(n) = ϕ(pr11 ) · ϕ(pr22 ) · · · ϕ(prkk ).

Man muss also nur noch ϕ(pr ) f¨ ur eine Primzahl p berechnen, wobei nat¨ urlich ϕ(p) = p − 1 ist. F¨ ur pr mit r ≥ 2 ist eine Zahl 0 < a < pr genau dann teilerfremd zu pr , wenn sie teilerfremd zu p ist, und das ist genau dann der Fall, wenn sie kein Vielfaches von p ist. Die Vielfachen von p im beschriebenen Intervall sind genau die Zahlen bp mit 0 ≤ b < pr−1 . Dies sind pr−1 St¨ uck, so dass es also pr − pr−1 = pr−1 (p − 1) Einheiten gibt. Wir erhalten demnach ϕ(pr ) = pr−1 (p − 1)

und insgesamt ϕ(n) = pr11 −1 (p1 − 1) · pr22 −1 (p2 − 1) · · · pkrk −1 (pk − 1). 5.3. Die Einheitengruppen nach Primzahlpotenzen. Ausgehend von Satz 5.7 ist es wichtig, die Einheitengruppe von Z/(pr ) zu verstehen.

49

Lemma 5.9. Sei p eine Primzahl und r ≥ 1. Dann ist der durch die kanonische Projektion Z/(pr ) −→ Z/(p) induzierte Gruppenhomomorphismus (Z/(pr ))× −→ (Z/(p))×

der Einheitengruppen surjektiv.

Beweis. Sei a ∈ (Z/(p))× eine Einheit. Dann ist a teilerfremd zu p und damit kein Vielfaches von p. Wir fassen a als Element in Z/(pr ) auf. Da a nach wie vor kein Vielfaches von p ist, ist es auch in Z/(pr ) eine Einheit, und zugleich ein Urbild von a ∈ (Z/(p))× .  Lemma 5.10. Sei p ≥ 3 eine Primzahl und r ≥ 1. Dann ist der Kern des Einheiten-Homomorphismus ϕ : (Z/(pr ))× −→ (Z/(p))×

zyklisch der Ordnung pr−1 .

Beweis. Wir zeigen, dass das Element a = 1+p, das offensichtlich zum Kern von ϕ : (Z/(pr ))× −→ (Z/(p))× geh¨ort, in der Einheitengruppe (Z/(pr ))× die Ordnung pr−1 besitzt. Da diese Kerngruppe die Ordnung pr−1 hat, muss die (multiplikative) Ordnung von a ein Teiler davon sein, also von der Gestalt ps mit s ≤ r − 1 sein. Wir r−2 zeigen, dass ap 6= 1 in (Z/(pr ))× ist, so dass also nur noch die Ordnung pr−1 m¨oglich bleibt. r−2

= 1 mod pr an, das bedeutet

r−2

− 1 = (1 + p)p

Nehmen wir also ap ap

r−2

−1=0

mod pr .

Ausmultiplizieren ergibt den Ausdruck  r−2   r−2   r−2  p p p 2 p3 + . . . = 0 mod pr . p + p+ 3 2 1 r−2  Der erste Summand ist dabei p 1 p = pr−1 und wir betrachten die weiteren Summanden  r−2  p pk . k r−2 mit 2 ≤ k ≤ p . Wir schreiben  r−2  pr−2 ! p = k k!(pr−2 − k)! pr−2 · (pr−2 − 1) · · · (pr−2 − k + 1) = k · (k − 1) · · · 1 pr−2 · (pr−2 − 1) · · · (pr−2 − k + 1) . = k · 1 · · · (k − 1)

50 r−2

r−2

ucke der Form p j −j , So geordnet steht vorne p k und dann folgen Ausdr¨ j = 1, . . . , k − 1. Der Exponent der Primzahl p in diesen letztgenannten Br¨ uchen ist oben und unten gleich. Daher h¨angt der p-Exponent des Binor−2 r−2 mialkoeffizienten p k nur von p k ab. Sei i der p-Exponent von k. Der r−2 p-Exponent von p k ist dann r − 2 − i und damit ist der p-Exponent von  pr−2 k p gleich k r−2−i+k.

Wir behaupten, dass dies ≥ r ist, was f¨ ur i = 0 klar ist (wegen k ≥ 2). Sei also i ≥ 1. Dann gilt aber, wegen p ≥ 3, die Absch¨atzung i ≤ pi − 2 ≤ k − 2,

was genau die Aussage ergibt. Damit ist insgesamt in der obigen Summation der erste Summand, also pr−1 , kein Vielfaches von pr , aber alle weiteren Summanden sind Vielfache von pr , was einen Widerspruch bedeutet.  Satz 5.11. Sei p ≥ 3 eine Primzahl und r ≥ 1. Dann ist die Einheitengruppe (Z/(pr ))×

des Restklassenrings Z/(pr ) zyklisch. Beweis. Nach Lemma 5.9 ist die Abbildung ϕ : (Z/(pr ))× −→ (Z/(p))×

surjektiv. Die Einheitengruppe (Z/(p))× ist zyklisch aufgrund von Satz 5.3. Sei v ∈ (Z/(p))× ein erzeugendes (also primitives) Element dieser Gruppe (der Ordnung p − 1) und sei u ∈ (Z/(pr ))× ein Element, das auf v abgebildet wird. Die Ordnung von u ist dann ein positives Vielfaches von p − 1. Es gibt daher auch ein w ∈ (Z/(pr ))× (n¨amlich eine gewissse Potenz von u), das genau die Ordnung p − 1 besitzt.

Auf der anderen Seite gibt es nach Lemma 5.10 ein Element a ∈ (Z/(pr ))× , das den Kern von ϕ erzeugt und die Ordnung pr−1 besitzt. Die Ordnung von aw ist somit das kleinste gemeinsame Vielfache von = pr−1 und p − 1, also pr−1 (p − 1). Da dies die Gruppenordnung ist, muss die Gruppe zyklisch sein und aw ist ein Erzeuger. 

Bemerkung 5.12. F¨ ur p = 2 ist die Einheitengruppe von Z/(2r ) im Allgemeinen nicht zyklisch. F¨ ur r = 1 ist sie zyklisch (sogar trivial) und f¨ ur r = 2 2 × × ist (Z/(2 )) = (Z/(4)) ebenfalls zyklisch der Ordnung zwei, und zwar ist 3 primitiv. F¨ ur r = 3 hingegen ist (Z/(23 ))× = (Z/(8))× nicht zyklisch. Es gilt n¨amlich 12 = 1 mod 8, 32 = 9 = 1 mod 8, 52 = 25 = 1 mod 8 und 72 = 49 = 1 mod 8,

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so dass alle Einheiten die Ordnung zwei haben und es keinen Erzeuger gibt. Die Einheitengruppe ist isomorph zu (Z/(8))× ∼ = Z/(2) × Z/(2).

¨ ¨ Ahnliche Uberlegungen wie in Lemma 5.10 zeigen, dass die Einheitengruppe r von Z/(2 ) f¨ ur r ≥ 3 isomorph zu Z/(2r−2 )×Z/(2) ist, und zwar ist stets 5 ein Element der Ordnung 2r−2 . Jede Einheit in Z/(2r ) hat somit eine Darstellung der Form ±5i . 5. Arbeitsblatt ¨ 5.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 5.1. Berechne die Restklasse von 21563 modulo 23. Aufgabe 5.2.* Berechne 31457 in Z/(13). Aufgabe 5.3.* Man berechne in Z/(80) die Elemente (1) 31234567 , (2) 21234567 , (3) 51234567 . Aufgabe 5.4. Beweise ausschließlich durch Anzahlbetrachtungen Lemma 5.9, dass also der kanonische Homomorphismus (Z/(pr ))× → (Z/(p))× surjektiv ist (p Primzahl). Aufgabe 5.5. Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenk¨orper Z/(11). Aufgabe 5.6. Bestimme s¨amtliche primitive Einheiten im Restklassenk¨orper Z/(23). Aufgabe 5.7.* Bestimme s¨amtliche primitive Einheiten im Restklassenk¨orper Z/(13).

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Aufgabe 5.8. Sei p eine ungerade Primzahl und Z/(p) der zugeh¨orige Restklassenk¨orper. Zeige, dass das Produkt von zwei primitiven Einheiten niemals primitiv ist. Aufgabe 5.9.* Bestimme in der Einheitengruppe Z/(17)× zu jeder m¨oglichen Ordnung k ein Element x ∈ Z/(17)× , das die Ordnung k besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe H ⊆ Z/(17)× an, die aus vier Elementen besteht. Aufgabe 5.10.* In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring Z/(360). a) Schreibe Z/(360) als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes). b) Wie viele Einheiten besitzt Z/(360)? c) Schreibe das Element 239 in komponentenweiser Darstellung. Begr¨ unde, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung. d) Berechne die Ordnung von 239 in Z/(360). Aufgabe 5.11. Zeige, dass die eulersche Funktion ϕ f¨ ur nat¨ urliche Zahlen n, m die Eigenschaft erf¨ ullt.

ϕ(ggT(m, n)) · ϕ(kgV(m, n)) = ϕ(n) · ϕ(m)

Aufgabe 5.12. Finde primitive Einheiten in den Restklassenk¨orpern Z/(13), Z/(17) und Z/(19). Aufgabe 5.13. Sei n ∈ N+ . Zeige, dass die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln in C und die Gruppe Z/(n) isomorph sind. In den n¨achsten Aufgaben werden die folgenden Begriffe verwendet. Ein Element a eines kommutativen Ringes R heißt nilpotent, wenn an = 0 ist f¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n. Ein Element e eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn e2 = e gilt.

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Aufgabe 5.14. Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten von Z/(60).

Aufgabe 5.15.* a) Finde die Zahlen z ∈ {0, 1, . . . , 9} mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich z ist. b) Finde die Zahlen z ∈ {0, 1, . . . , 99} mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich z ist.

Aufgabe 5.16. Es sei R ein kommutativer Ring und es seien f, g ∈ R nilpotente Elemente. Zeige, dass dann die Summe f + g ebenfalls nilpotent ist.

Aufgabe 5.17. Sei R ein kommutativer Ring und sei f ∈ R. Es sei f sowohl nilpotent als auch idempotent. Zeige, dass f = 0 ist.

Aufgabe 5.18. Es sei R ein kommutativer Ring und f ∈ R ein nilpotentes Element. Zeige, dass 1 + f eine Einheit ist.

Aufgabe 5.19. Sei ω =

√ −1+ −3 2



= −1+2 3i . Betrachte die beiden Unterringe √ R = Z[ −3] ⊂ Z[ω] = S

der komplexen Zahlen (S ist also der Ring der Eisensteinzahlen). Finde ein Beispiel von zwei Elementen in R, die in R nicht assoziiert sind, wohl aber in S. Gebe daran anschließend ein Beispiel eines irreduziblen Elementes in R, dass nicht prim ist (in R). Ist es prim in S? 5.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 5.20. (4 Punkte) Sei p eine ungerade Primzahl. Beweise unter Verwendung des Satzes von Wilson, dass 12 · 32 · 52 · · · (p − 4)2 · (p − 2)2 = (−1) gilt.

p+1 2

mod p

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Aufgabe 5.21. (3 Punkte) Beweise die eulersche Formel f¨ ur die eulersche Funktion, das ist die Aussage, dass  Y  1 ϕ(n) = n · 1− p p|n, p prim

gilt.

Aufgabe 5.22. (5 Punkte) Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten in Z/(72).

Aufgabe 5.23. (4 Punkte) Zeige, dass f¨ ur nat¨ urliche Zahlen k und n mit k | n der kanonische Homomorphismus (Z/(n))× −→ (Z/(k))× surjektiv ist.

Aufgabe 5.24. (4 Punkte) Sei n eine nat¨ urliche Zahl. Charakterisiere diejenigen Teiler k von n mit der Eigenschaft, dass f¨ ur den kanonischen Ringhomomorphismus ϕ : Z/(n) −→ Z/(k) gilt, dass a in Z/(n) genau dann eine Einheit ist, wenn ϕ(a) in Z/(k) eine Einheit ist.

Aufgabe 5.25. (4 Punkte) Sei p eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl n 6= 0 bezeichne νp (n) den Exponenten, mit dem die Primzahl p in der Primfaktorzerlegung von n vorkommt. a) Zeige: die Abbildung νp : Z \ {0} → N ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt νp (nm) = νp (n) + νp (m).

c) Finde eine Fortsetzung νp : Q \ {0} → Z der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei Q× = Q \ {0} mit der Multiplikation und Z mit der Addition versehen ist). d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.

55

6. Vorlesung - Quadratreste 6.1. Der Charakterisierungssatz fu ¨ r zyklische Einheitengruppen. ¨ Wir beenden zun¨achst unsere Uberlegungen, wann die Einheitengruppe eines Restklassenringes von Z zyklisch ist. Lemma 6.1. Die Einheitengruppe von Z/(2r ) ist nicht zyklisch f¨ ur r ≥ 3. Beweis. Bei r = 3 ist dies eine direkte Berechnung. Generell ist f¨ ur r ≥ 3 die Abbildung (Z/(2r ))× −→ (Z/(8))× surjektiv (da genau die ungeraden Elemente die Einheiten sind). Da eine Restklassengruppe einer zyklischen Gruppe wieder zyklisch ist, folgt, dass (Z/(2r ))× nicht zyklisch sein kann.  Unser abschließendes Resultat ist nun der folgende Satz. Satz 6.2. Die Einheitengruppe (Z/(n))× ist genau dann zyklisch, wenn n = 1, 2, 4, ps , 2ps ist, wobei p eine ungerade Primzahl und s ≥ 1 ist. Beweis. In den beschriebenen F¨allen ist die Einheitengruppe (Z/(n))× zyklisch aufgrund von Satz 5.11, Bemerkung 5.12 und der Isomorphie × × × (Z/(2pr ))× ∼ = (Z/(2)) × (Z/(pr )) ∼ = (Z/(pr )) .

Sei also umgekehrt n mit der Eigenschaft gegeben, dass (Z/(n))× zyklisch sei. Es sei n = 2r · pr11 · pr22 · · · prkk die kanonische Primfaktorzerlegung mit ungeraden Primzahlen p1 , . . . , pk und ri ≥ 1, die nach dem Chinesischen Restsatz zur Isomorphie (Z/(n))× = (Z/(2r ))× × (Z/(pr11 ))× × (Z/(pr22 ))× × · · · × (Z/(prkk ))×

f¨ uhrt. Da Restklassengruppen von zyklischen Gruppen wieder zyklisch sind, folgt nach Lemma 6.1, dass r = 0, 1 oder 2 ist. Ein Produkt von zyklischen Gruppen ist nur dann zyklisch, wenn die beteiligten Ordnungen paarweise ur pi unteilerfremd sind. Die Ordnungen von (Z/(pri i ))× sind aber gerade f¨ r × gerade und ri ≥ 1, und die Ordnung von (Z/(2 )) ist gerade f¨ ur r ≥ 2. Also ist k ≤ 1. Bei k = 1 ist r = 2 nicht m¨oglich. Bei k = 0 verbleiben die angef¨ uhrten F¨alle n = 1, 2, 4.  6.2. Quadratische Reste. Wir wollen nun wissen, welche Zahlen k modulo einer fixierten Zahl n (h¨aufig einer Primzahl) ein Quadrat sind, also eine Quadratwurzel besitzen. Man spricht von quadratischen Resten und nichtquadratischen Resten (h¨aufig wird auch von quadratischen Nichtresten gesprochen).

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Definition 6.3. Eine ganze Zahl k heißt quadratischer Rest modulo n, wenn es eine Zahl x gibt mit x2 = k mod n . Im anderen Fall heißt k ein nichtquadratischer Rest modulo n. Eine Quadratzahl ist nat¨ urlich auch ein quadratischer Rest modulo jeder Zahl n. Umgekehrt ist eine Zahl, die selbst keine Quadratzahl ist, modulo gewisser Zahlen ein quadratischer Rest und modulo gewisser Zahlen ein nichtquadratischer Rest. Grunds¨atzlich kann man zu gegebenen k und n naiv testen, ob k ein quadratischer Rest ist oder nicht, indem man alle Reste quadriert und schaut, ob der durch k definierte Rest dabei ist. Die Frage nach den Quadratresten weist aber eine Reihe von Gesetzm¨aßigkeiten auf, die wir im folgenden kennen lernen werden und mit deren Hilfe man effektiver entscheiden kann, ob ein Quadratrest vorliegt oder nicht. Beispiel 6.4. In Z/(11) sind die Zahlen 0, 1, 4, 9, 16 = 5, 25 = 3 Quadratreste, die Zahlen 2, 6, 7, 8, 10 sind nichtquadratische Reste. Satz 6.5. Sei n eine positive nat¨ urliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung n = pr11 · pr22 · · · prss (die pi seien also verschieden). Dann ist k ur genau dann Quadratrest modulo n, wenn k Quadratrest modulo pri i ist f¨ alle i = 1, . . . , s. Beweis. Dies folgt unmittelbar aus Satz 4.13.



Satz 6.6. Sei p eine ungerade Primzahl und sei k ∈ Z/(pr ). (1) Ist k teilerfremd zu p (also kein Vielfaches von p), dann ist k genau dann ein Quadratrest modulo pr , wenn k ein Quadratrest modulo p ist. (2) Ist k = ps u mit u teilerfremd zu p und s < r, so ist k genau dann ein Quadratrest modulo pr , wenn s gerade und wenn u ein Quadratrest modulo p ist. Beweis. Die nat¨ urliche Abbildung Z/(pr ) −→ Z/(p)

liefert sofort, dass ein Quadratrest modulo pr auch ein Quadratrest modulo p ist. Wir zeigen zun¨achst die Umkehrung f¨ ur Einheiten. Nach Lemma 5.9 ist die Abbildung (Z/(pr ))× −→ (Z/(p))×

surjektiv und nach Satz 5.11 sind die beteiligten Gruppen zyklisch. D.h. ein Erzeuger wird auf einen Erzeuger abgebildet. Insbesondere kann man diese Gruppen so mit additiven zyklischen Gruppen identifizieren, dass der Homomorphismus die den additiven Erzeuger 1 auf die 1 schickt. Dies erreicht man, indem man im folgenden kommutativen Diagramm die Identifikation

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links mit einem primitiven Element g ∈ Z/(pr ) und rechts ebenfalls mit g (jetzt aufgefasst in Z/(p)) stiftet. (Z/(pr ))× −→ (Z/(p))× ∼ ↑∼ =↑ = . r−1 Z/(p (p − 1)) −→ Z/(p − 1) Wir schreiben die untere horizontale Abbildung, unter Verwendung des Chinesischen Restsatzes, als Z/(pr−1 ) × Z/(p − 1) ∼ = Z/(pr−1 (p − 1)) −→ Z/(p − 1) mit 1 = (1, 1) 7−→ 1 . Da u ¨berdies p und p − 1 teilerfremd sind, liegt hier insgesamt einfach die Projektion (b1 , b2 ) 7→ b2 vor.

Die Voraussetzung, dass k modulo p ein Quadratrest ist, u ¨bersetzt sich dahingehend, dass das k entsprechende Element (sagen wir b = (b1 , b2 )) in Z/(p−1) ein Vielfaches von 2 ist. D.h. die zweite Komponente, also b2 , ist ein Vielfaches der 2. Da modulo der ungeraden Zahl pr−1 jede Zahl ein Vielfaches von 2 ist (da 2 eine Einheit in Z/(pr−1 ) ist), ist auch die erste Komponente, also b1 , ein Vielfaches von 2 und so muss b insgesamt ein Vielfaches der 2 sein. Sei nun k = ps u, 1 ≤ s ≤ r − 1, und zun¨achst angenommen, dass k ein Quadrat ist. D.h wir k¨onnen k als k = x2 mit x = pt v, schreiben, wobei v eine Einheit sei. Es ist also ps u = p2t v 2 in Z/(pr ) und es ist 2t < r (sonst steht hier 0). Durch Betrachten modulo ps und modulo p2t sieht man, dass s = 2t sein muss. Insbesondere ist s gerade. Es gilt also ps u = ps v 2 mod pr und somit k¨onnen wir ps (u − v 2 ) = cpr schreiben. K¨ urzen in Z ergibt u − v 2 = cpr−s , also u = v 2 mod p. Also ist u ein quadratischer Rest modulo p und nach dem ersten Teil auch modulo pr . Die Umkehrung von (2) ist nach der unter (1) bewiesenen Aussage klar.



Satz 6.7. Sei p = 2 und sei k ∈ Z/(2r ). (1) F¨ ur r = 2 ist k genau dann quadratischer Rest, wenn k = 0, 1 mod 4 ist. (2) F¨ ur r ≥ 3 und k ungerade ist k genau dann quadratischer Rest modulo 2r , wenn k = 1 mod 8 ist. Beweis. (1) ist trivial. (2). In Z/(8) ist von den ungeraden Zahlen lediglich die 1 ein Quadrat, so dass der Ringhomomorphismus Z/(2r ) −→ Z/(8) f¨ ur r ≥ 3 zeigt, dass die numerische Bedingung notwendig ist. Sei diese umgekehrt nun erf¨ ullt, also a ∈ (Z/(2r ))× mit a = 1 mod 8. Dann kann man nach Bemerkung 5.12 a = ±5i .

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schreiben. Dies gilt aber auch modulo 8, woraus sofort folgt, dass i gerade und dass das Vorzeichen positiv ist. Dann ist 5i/2 eine Quadratwurzel von a in Z/(2r ).  Wir werden uns im folgenden weitgehend darauf beschr¨anken, welche Zahlen modulo einer Primzahl Quadratreste sind. Da allerdings die Primfaktorzerlegung einer gr¨oßeren Zahl nicht v¨ollig unproblematisch ist, m¨ ussen wir sp¨ater auch Techniken entwickeln, die ohne Kenntnis der Primfaktorzerlegung auskommen. Direkt beantworten l¨asst sich die Frage, wann −1 ein Quadratrest modulo einer Primzahl ist. Satz 6.8. Sei p eine Primzahl. Dann gelten folgende Aussagen. F¨ ur p = 2 ist −1 = 1 ein Quadrat in Z/(2).

F¨ ur p = 1mod 4 ist −1 ein Quadrat in Z/(p).

F¨ ur p = 3mod 4 ist −1 kein Quadrat in Z/(p). Beweis. Die erste Aussage ist klar, sei also p ungerade. Nach Satz 5.3 ist die Einheitengruppe zyklisch der geraden Ordnung p − 1. Identifiziert man , ((Z/(p))× , 1, ·) mit (Z/(p − 1), 0, +), so entspricht −1 dem Element p−1 2 p−1 und −1 besitzt genau dann eine Quadratwurzel, wenn 2 in Z/(p − 1) ein selbst gerade Vielfaches von 2 ist. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn p−1 2 ist, was zu p = 1 mod 4 ¨aquivalent ist.  6. Arbeitsblatt ¨ 6.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 6.1. Bestimme alle primitiven Elemente von Z/(27). Aufgabe 6.2. (1) Finde ein primitives Element in Z/(3), in Z/(9) und in Z/(27). (2) Finde eine ganze Zahl, die in Z/(3) primitiv ist, aber nicht in Z/(9). (3) Zeige, dass jede ganze Zahl, die in Z/(9) primitiv ist, auch in Z/(27) primitiv ist. Aufgabe 6.3. Man gebe f¨ ur die Einheitengruppe (Z/(16))× explizit einen Isomorphismus zu einem Produkt von (additiven) zyklischen Gruppen an. Aufgabe 6.4. Sei p eine Primzahl und r ≥ 2. Beschreibe explizit die Elemente im Kern der Abbildung (Z/(pr ))× −→ (Z/(pr−1 ))× .

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In der folgenden Aufgabe bezeichnet F121 den K¨orper mit 121 Elementen. Dar¨ uber hinaus muss muss man nichts u ¨ber ihn wissen. Aufgabe 6.5.* Finde ein primitives Element in Z/(11) und in Z/(121). Man gebe ferner ein Element der Ordnung 10 und ein Element der Ordnung 11 in Z/(121) an. Gibt es Elemente der Ordnung 10 und der Ordnung 11 auch in F121 ? Aufgabe 6.6. Bestimme s¨amtliche quadratische Reste modulo der Primzahlen < 20. Aufgabe 6.7. Sei p eine Primzahl mit p = 1 mod 4. Zeige unter Verwen! eine Quadratwurzel von −1 ist. dung des Satzes von Wilson, dass p−1 2 Aufgabe 6.8. Bestimme die Zerlegung von X p−1 −1 in irreduzible Polynome im Polynomring Z/(p)[X]. Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson. Aufgabe 6.9. Sei p eine ungerade Primzahl und a ∈ Z/(p) primitiv. Zeige, dass von den p Elementen aus Z/(p2 ), die auf a abgebildet werden, genau p − 1 St¨ uck primitiv in Z/(p2 ) sind. Finde f¨ ur p = 7 und a = 3 dasjenige Element b ∈ Z/(49) mit b = a mod 7, das nicht primitiv ist. Aufgabe 6.10. Finde Quadratwurzeln f¨ ur 2 modulo p f¨ ur alle Primzahlen p mit p = ±1 mod 8 und p ≤ 32. Aufgabe 6.11. Zeige, dass eine Restklassengruppe einer zyklischen Gruppe wieder zyklisch ist. Aufgabe 6.12. Es sei G = H1 × · · · × Hn die Produktgruppe der endlichen Gruppen H1 , . . . , Hn . Zeige die folgenden Aussagen. (1) exp G = kgV(exp Hi , i = 1, . . . , n). (2) G ist genau dann zyklisch, wenn alle Hi zyklisch sind und wenn deren Ordnungen paarweise teilerfremd sind. Aufgabe 6.13. Was besagt die Artinsche Vermutung u ¨ber primitive Reste?

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Aufgabe 6.14. Es seien R und S1 , . . . , Sn kommutative Ringe mit dem Produktring S = S1 × · · · × Sn . Zeige, dass ein Ringhomomorphismus

ϕ : R −→ S dasselbe ist wie eine Familie von Ringhomomorphismen ϕi : R −→ Si f¨ ur i = 1, . . . , n.

Aufgabe 6.15. Seien a, b und r positive nat¨ urliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit ar |br die Teilbarkeit a|b impliziert. 6.2. Aufgaben zum Abgeben.

Aufgabe 6.16. (3 Punkte) Sei n eine nat¨ urliche Zahl derart, dass (Z/(n))× zyklisch ist. Zeige, dass die Anzahl der primitiven Elemente gleich ϕ(ϕ(n)) ist, wobei ϕ die Eulersche Funktion bezeichnet. Wie groß ist deren Anzahl, wenn (Z/(n))× nicht zyklisch ist?

Aufgabe 6.17. (7 (3+2+2) Punkte) a) Sei K ein K¨orper. Zeige, dass die Einheitengruppe von K nicht zyklisch unendlich ist. b) Sei R ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von R nicht zyklisch unendlich ist. c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

Aufgabe 6.18. (3 Punkte) Sei p eine Primzahl und e ∈ N. Zeige, dass das Potenzieren (Z/(p))× −→ (Z/(p))× , x 7−→ xe ,

genau dann eine Bijektion ist, wenn e und p − 1 teilerfremd sind.

61

Aufgabe 6.19. (3 Punkte) Sei p eine Primzahl und Fp = Z/(p) der zugeh¨orige Restklassenk¨orper. Konstruiere Ringe Fp [i] = Fp ⊕ Fp i = {a + bi : a, b ∈ Fp }

in der gleichen Weise, wie man die komplexen Zahlen definiert. Charakterisiere, f¨ ur welche p diese Konstruktion einen K¨orper liefert.

Aufgabe 6.20. (4 Punkte) Seien a und b positive nat¨ urliche Zahlen. Seien rn , n ∈ N, und sn , n ∈ N, Folgen von positiven nat¨ urlichen Zahlen derart, dass die Teilbarkeitsbeziehung arn |bsn

f¨ ur alle n gilt. Es sei vorausgesetzt, dass die Quotientenfolge rn /sn gegen 1 konvergiert. Zeige, dass a ein Teiler von b ist. 7. Vorlesung - Das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz I 7.1. Quadratische Reste modulo einer Primzahl. Modulo 2 ist jede Zahl ein quadratischer Rest. F¨ ur ungerade Primzahlen kann man ebenfalls sofort eine Aussage u ¨ber die Anzahl der Quadratreste machen.

Satz 7.1. Sei p eine ungerade Primzahl. Dann gibt es modulo p und p−1 nichtquadratische Reste modulo p. 2

p+1 2

quadratische Reste

Beweis. Zun¨achst ist 0 ein quadratischer Rest. Wir betrachten im folgenden nur noch die Einheiten in Z/(p) (also die von 0 verschiedenen Reste) und zeigen, dass es darunter gleich viele quadratische und nichtquadratische Reste gibt. Die Abbildung (Z/(p))× −→ (Z/(p))× , x 7−→ x2 , ist offenbar ein Gruppenhomomorphismus der Einheitengruppe in sich selbst. Ein Element k ∈ (Z/(p))× ist genau dann ein Quadratrest, wenn es im Bild dieses Homomorphismus liegt. Nach dem Isomorphiesatz ist Bild = Urbild ” modulo Kern“, so dass wir den Kern bestimmen m¨ ussen. Der Kern besteht aus allen Elementen x mit x2 = 1. Dazu geh¨oren 1 und −1, und diese beiden Elemente sind verschieden, da p ungerade ist. Aus der polynomialen Identit¨at x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) folgt, dass es keine weiteren L¨osungen geben kann. Der Kern besteht also aus genau 2 Elementen und damit besteht das Bild Elementen.  aus p−1 2

62

Bemerkung 7.2. Wenn zu einer Primzahl p eine primitive Einheit g ∈ (Z/(p))× vorliegt, so hat man einen Gruppenisomorphismus  (Z/(p − 1), 0, +) −→ (Z/(p))× , 1, · , i 7−→ g i .

Dabei entsprechen die Quadrate rechts denjenigen Elementen links, die ein Vielfaches der 2 sind. Bei p ungerade besitzt die H¨alfte der Elemente links diese Eigenschaft. Insbesondere ist ein Element k ∈ (Z/(p))× genau dann ein Quadratrest, wenn es von der Form k = g 2j ist.

Definition 7.3. F¨ ur eine ungerade Primzahl p und eine zup teilerfremde Zahl k ∈ Z definiert man das Legendre-Symbol, geschrieben kp (sprich k ” nach p“), durch (   k 1, falls k quadratischer Rest modulo p ist, := p −1, falls k kein quadratischer Rest modulo p ist. Insbesondere ist

  k p

=



k mod p p



. Die Werte des Legendre-Symbols, also 1

und −1, kann man dabei in Z, in Z× oder in (Z/(p))× auffassen. F¨ ur Vielfache von p definierte man manchmal das Legendre-Symbol ebenfalls, und zwar mit dem Wert 0. Lemma 7.4. Sei p eine ungerade Primzahl. Dann ist die Abbildung   k × , (Z/(p)) −→ {±1}, k 7−→ p ein Gruppenhomomorphismus. Beweis. Die Quadrate bilden offenbar eine Untergruppe in der Einheitengruppe (Z/(p))× , die nach Satz 7.1 den Index 2 besitzt. Daher ist (Z/(p))× /Quadrate ∼ = Z/(2) ∼ = {±1} und die Restklassenabbildung ist gerade die Abbildung auf das LegendreSymbol.  Die folgende Aussage heißt das Euler-Kriterium f¨ ur quadratische Reste. Satz 7.5. Sei p eine ungerade Primzahl. Dann gilt f¨ ur eine zu p teilerfremde Zahl k die Gleichheit   p−1 k =k 2 mod p . p

63

 p−1 2 = k p−1 = 1 nach Lemma 4.6. Daher ist Beweis. Es ist k 2 k

p−1 2

Die Abbildung

= ±1.

p−1

(Z/(p))× −→ {±1}, k 7−→ k 2 , ist (wie jedes Potenzieren) ein Gruppenhomomorphismus. Die Quadrate werden darunter auf 1 abgebildet, da f¨ ur k = x2 die Gleichheit k

p−1 2

= (x2 )

p−1 2

= xp−1 = 1

gilt. Da nach Satz 5.11 die Einheitengruppe (Z/(p))× zyklisch ist, muss diese Abbildung surjektiv sein (sonst h¨atte jedes Element eine kleinere Ordnung). Damit muss diese Abbildung mit der durch das Legendre-Symbol gegebenen u  ¨bereinstimmen. 7.2. Das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz. Seien p und q zwei ungerade Primzahlen. Dann kann p ein quadratischer Rest modulo q sein (oder nicht) und q kann ein quadratischer Rest modulo p sein, oder nicht. Das Quadratische Reziprozit¨atsgesetz, das von Euler entdeckt und von Gauß erstmals bewiesen wurde, behauptet nun, dass es einen direkten Zusammenhang zwischen diesen beiden Eigenschaften gibt. Es erlaubt weiterhin mit den beiden unten genannten Erg¨anzungss¨atzen algorithmisch zu entscheiden, ob eine Zahl ein quadratischer Rest oder ein nichtquadratischer Rest ist.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Satz 7.6. Seien p und q zwei verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt: (     p−1 q−1 p q −1 , wenn p = q = 3 mod 4 , · = (−1) 2 · 2 = q p 1 , sonst .

64

Beweis. Dies wird weiter unten nach einigen Vorbereitungen bewiesen. Die zweite Gleichung ist elementar.  In Worten: Wenn p und q beide den Rest 3 modulo 4 haben, so ist p modulo q ein quadratischer Rest genau dann, wenn q modulo p ein nichtquadratischer Rest ist. In allen anderen F¨allen ist p modulo q ein quadratischer Rest genau dann, wenn q modulo p ein quadratischer Rest ist. Beispiel 7.7. Betrachten wir die beiden Primzahlen 11 und 19, die beide modulo 4 den Rest 3 haben. Es ist 19 = 8 modulo 11 und dies ist nach Beispiel 6.4 kein Quadratrest. Gem¨aß dem Reziprozit¨atsgesetz muss also 11 modulo 19 ein quadratischer Rest sein. In der Tat ist 72 = 49 = 11

mod 19.

Betrachtet man hingegen die Primzahlen 11 und 13, so hat 11 modulo 4 den Rest 3 und 13 hat modulo 4 den Rest 1. Es ist 13 = 2 mod 11 ein nichtquadratischer Rest, und daher ist auch 11 ein nichtquadratischer Rest modulo 13. Die beiden folgenden S¨atze werden die Erg¨anzungss¨atze zum quadratischen Reziprozit¨atsgesetz genannt, da sie kl¨aren, wann die −1 und wann die 2 quadratische Reste sind. In der algorithmischen Bestimmung von Quadratresten sind diese beiden F¨alle ebenfalls unerl¨asslich. Satz 7.8. F¨ ur eine ungerade Primzahl p gilt: (   p−1 −1 1 , falls p = 1 mod 4 , = (−1) 2 = p −1 , sonst (also bei p = 3

mod 4) .

Beweis. Die Gleichung von links und rechts wurde bereits in Satz 6.8 bewiesen. Die erste Gleichung ist auch ein Spezialfall von Satz 7.5 und die zweite Gleichung ist elementar.  Satz 7.9. F¨ ur eine ungerade Primzahl p gilt:    p2 −1 2 1 , falls p = ±1 mod 8 , = (−1) 8 = −1 sonst (also p = ±3 mod 8) p Beweis. Dies wird weiter unten bewiesen.

. 

Die Elemente im Restklassenk¨orper Z/(p) werden meist durch die Zahlen von 0 bis p − 1 repr¨asentiert. F¨ ur das folgende Vorzeichenlemma von Gauß ist es sinnvoll, ein anderes Repr¨asentantensystem (f¨ ur die von 0 verschiedenen p−1 Elemente) zu fixieren. Wir setzen t = 2 und S = S− ∪S+ mit S− = {−t, −t+1, . . . , −2, −1} und S+ = {1, 2, . . . , t−1, t} .

Wir unterteilen also die Einheitengruppe in eine positive und eine negative H¨alfte. Dieses Repr¨asentantensystem ist dadurch ausgezeichnet, dass jedes

65

Element durch das betragm¨aßig kleinste Element repr¨asentiert wird. Im folgenden Lemma betrachtet man zu einer zu p teilerfremden Zahl k die Menge der Vielfachen ik, i = 1, . . . , t, in Z/(p) und schaut, ob sie in der negativen oder der positiven H¨alfte liegen. Man definiert die sogenannten Gaußschen Vorzeichen ( 1, falls ik ∈ S+ , ǫi = ǫi (k) = −1, falls ik ∈ S− . Beispiel 7.10. In Z/(11) ist S+ = {1, 2, 3, 4, 5} und S− = {−1, −2, −3, −4, −5}. F¨ ur k = 3 muss man, um die Gaußschen Vorzeichen zu bestimmen, die ersten f¨ unf Vielfachen berechnen und schauen, ob sie zur negativen oder zur positiven H¨alfte geh¨oren. Es ist 3 ∈ S+ , 6 = −5 ∈ S− , 9 = −2 ∈ S− , 12 = 1 ∈ S+ , 15 = 4 ∈ S+ ,

die Vorzeichen sind also der Reihe nach

1, −1, −1, 1, 1 .

Ihr Produkt ist 1, und mit dem folgenden Gaußschen Vorzeichenlemma folgt, dass 3 ein Quadratrest ist. In der Tat ist 3 = 52 mod 11. Die folgende Aussage heißt Gaußsches Vorzeichenlemma. Lemma 7.11. F¨ ur eine ungerade Primzahl p und eine zu p teilerfremde Zahl k gilt mit den zuvor eingef¨ uhrten Bezeichnungen   k = ǫ1 · ǫ2 · · · ǫt . p Beweis. Es sei si ∈ S+ durch die Bedingung ik = ǫi si

mod p

festgelegt. Wir betrachten alle Vielfachen jk, j ∈ S = (Z/(p))× . Die Menge all dieser Vielfachen ist selbst ganz S, da ja k eine Einheit und daher die Multiplikation mit k eine Bijektion ist. Es ist (−i)k = −ik = −ǫi si f¨ ur i ∈ SQ + = {1, . . . , t}. Daher ist S+ = {1, . . . , t} = {s1 , . . . , st }. Deshalb gilt t! = ti=1 si und somit ! t ! t Y Y t!k t = i k i=1

= =

t Y

i=1 t Y

i=1

ik ǫi s i

i=1

=

t Y i=1

ǫi

!

t Y i=1

si

!

=

t Y i=1

ǫi

!

t!

mod p.

66

Durch k¨ urzen mit t! (das ist eine Einheit) ergibt sich t

k =

t Y

ǫi

mod p,

i=1

und das Euler-Kriterium, n¨amlich t

k = k liefert das Ergebnis.

p−1 2

  k = p

mod p, 

Mit dem Gaußschen Vorzeichenlemma beweisen wir zun¨achst den zweiten Erg¨anzungssatz zum quadratischen Reziprozit¨atsgesetz, der beschreibt, wann 2 ein quadratischer Rest ist. Satz 7.12. F¨ ur eine ungerade Primzahl p gilt:    p2 −1 2 1 , falls p = ±1 mod 8 , 8 = (−1) = −1 sonst (also p = ±3 mod 8) p

.

Beweis. Wir benutzen Lemma 7.11 und haben zu bestimmen, wie viele der , in S− liegen. Nun ist 2i ∈ S− genau dann, Zahlen 2i, i = 1, . . . , t = p−1 2 p−1 wenn 2i > 2 ist (alle zu betrachtenden Vielfachen von 2 sind kleiner als p). Dies ist ¨aquivalent zu i > p−1 und wir haben das kleinste i mit dieser 4 Eigenschaft zu finden. Ist p−1 ein Vielfaches von 4, so ist p−1 +1 das kleinste 4 i und insgesamt gibt es in diesem Fall   p−1 p−1 p−1 − +1 +1 = 2 4 4 solche i. Diese Anzahl ist bei p = 1 mod 8 gerade und bei p = 5 mod 8 ungerade, was das Ergebnis in diesen F¨allen ergibt. Sei also nun p = 3, 7 mod 8 bzw. p = 3 mod 4. Dann ist das kleinste i derart, dass 2i > p−1 ist, gleich p−1 + 21 , und es gibt insgesamt 2 4   p−1 1 p+1 p−1 1 p−1 +1 = − + + = 2 4 2 4 2 4 solche i. Diese Anzahl ist bei p = 3 mod 8 ungerade und bei p = 7 mod 8 gerade, was die Behauptung in diesen F¨allen ergibt.  7. Arbeitsblatt ¨ 7.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 7.1. Es sei p eine ungerade Primzahl. Zeige, dass eine primitive Einheit von Z/(p) nie ein quadratischer Rest ist. Bestimme f¨ ur die Primzahlen ≤ 20, ob darin jeder nichtquadratische Rest primitiv ist.

67

Aufgabe 7.2. Finde die kleinste Primzahl p derart, dass es in Z/(p) ein Element a gibt, das weder primitiv noch ein Quadrat noch gleich −1 ist. Aufgabe 7.3.* Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt Z/(31)? Wie viele Elemente besitzt Z/(31), die weder primitiv noch ein Quadrat sind? Sei x ein primitives Element von Z/(31). Liste explizit alle Elemente xi auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind. Aufgabe 7.4. Welche Ziffern treten im Dezimalsystem als Endziffern von Quadratzahlen auf? Aufgabe 7.5. Bestimme die Quadrate in Z/(35). Aufgabe 7.6. (1) Finde die kleinste Zahl n mit der Eigenschaft, dass es eine Zahl k < n gibt, die selbst kein Quadrat ist, aber ein Quadratrest modulo n. (2) Finde die kleinste Primzahl p mit der Eigenschaft, dass es eine Zahl k < p gibt, die selbst kein Quadrat ist, aber ein Quadratrest modulo p. (3) Finde die gr¨oßte Primzahl p mit der Eigenschaft, dass die einzigen Quadratreste modulo p die Quadratzahlen k < p sind. (4) Untersuche n = 8, 16, 32 in Hinblick auf die Eigenschaft, ob es neben den Quadraten noch weitere Quadratreste modulo n gibt. (5) Finde die gr¨oßte (?) Zahl n mit der Eigenschaft, dass die einzigen Quadratreste modulo n die Quadratzahlen k < n sind. Aufgabe 7.7. Best¨atige Satz 6.6 f¨ ur Z/(25). Aufgabe 7.8. Es sei n eine ungerade Zahl. Zeige, dass es in Z/(n) maximal n+1 Quadratreste gibt. Wie sieht dies bei n gerade aus? 2 Aufgabe 7.9. Berechne zu p = 13 und k = 3 die Vielfachen ik mod 13 f¨ ur i = 1, . . . , 6 und repr¨asentiere sie durch Zahlen zwischen −6 und 6. Berechne damit die Vorzeichen ǫi = ǫi (3) und best¨atige das Gaußsche Vorzeichenlemma an diesem Beispiel.

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Aufgabe 7.10. Berechne zu p = 17 und k = 5 die Vielfachen ik mod 17 f¨ ur i = 1, . . . , 8 und repr¨asentiere sie durch Zahlen zwischen −8 und 8. Berechne damit die Vorzeichen ǫi = ǫi (5) und best¨atige das Gaußsche Vorzeichenlemma an diesem Beispiel.

Aufgabe 7.11. Es sei K ein endlicher K¨orper mit 2 6= 0. Zeige, dass die Anzahl von K ungerade ist, und dass es in K genau Quadrate gibt.

#(K)+1 2

Aufgabe 7.12. Wie viele L¨osungen hat die Gleichung x5 = a in Z/(19) f¨ ur ein gegebenes a ∈ Z/(19)?

Aufgabe 7.13. Charakterisiere diejenigen positiven ungeraden Zahlen n mit der Eigenschaft, dass bei dem in Aufgabe 1.25 beschriebenen Algorithmus genau zwei ungerade Zahlen auftreten (n¨amlich n und 1). Die Begriffe teilen, irreduzibel und prim machen in jedem Monoid Sinn (nicht nur im multiplikativen Monoid eines Ringes). In den folgenden Aufgaben werden Teilbarkeitseigenschaften in einigen kommutativen Monoiden besprochen.

Aufgabe 7.14. Betrachte die nat¨ urlichen Zahlen N als kommutatives Monoid mit der Addition und neutralem Element 0. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von diesem Monoid. Gilt die eindeutige Primfaktorzerlegung?

Aufgabe 7.15. Betrachte die Menge M derjenigen positiven Zahlen, die modulo 4 den Rest 1 haben. Zeige, dass M mit der Multiplikation ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von M . Zeige, dass in M jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in M gilt.

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7.2. Aufgaben zum Abgeben. Die folgende Aufgabe verallgemeinert das Eulersche Kriterium f¨ ur beliebige Potenzreste. Aufgabe 7.16. (4 Punkte) Sei p eine Primzahl und sei e eine nat¨ urliche Zahl. Zeige, dass ein Element p−1 k ∈ (Z/(p))× genau dann eine e-te Wurzel besitzt, wenn k e = 1 ist. Aufgabe 7.17. (3 Punkte) Berechne zu p = 23 und k = 8 die Vielfachen ik mod 23 f¨ ur i = 1, . . . , 11 und repr¨asentiere sie durch Zahlen zwischen −11 und 11. Berechne damit die Vorzeichen ǫi = ǫi (8) und best¨atige das Gaußsche Vorzeichenlemma an diesem Beispiel. Aufgabe 7.18. (4 Punkte) Finde die L¨osungen der Kongruenz 5x2 + 5x + 4 = 0

mod 91 .

Aufgabe 7.19. (4 Punkte) ¨ Zeige, dass im Restklassenring Z/(n) die Aquivalenz gilt, dass zwei Elemente a, b genau dann assoziiert sind, wenn (a) = (b) ist. ¨ Finde eine Charakterisierung f¨ ur diese Aquivalenzrelation, die auf den Primfaktorzerlegungen von n, a und b aufbaut. Die folgende Aufgabe setzt eine gewisse Routine im Umgang mit kommutativen Ringen voraus. Aufgabe 7.20. (4 Punkte) Man gebe ein Beispiel von zwei Elementen a und b eines kommutativen Ringes derart, dass (a) = (b) ist, dass aber a und b nicht assoziiert sind. Aufgabe 7.21. (3 Punkte) Betrachte die Menge G der positiven geraden Zahlen zusammen mit 1. Zeige, dass G ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von G. Zeige, dass in G jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in G gilt.

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8. Vorlesung - Das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz II 8.1. Beweis des quadratischen Reziprozit¨ atsgesetzes. Im n¨achsten Lemma verwenden wir folgende Notation: Zu einer ungeraden Primzahl p und einer Zahl k ∈ Z sei p−1  2  X ki . S(k, p) = p i=1

Lemma 8.1. Sei p eine ungerade Primzahl und k ∈ Z kein Vielfaches von p. Dann gelten folgende Aussagen. 2ki (1) Es ist ǫi = (−1)⌊ p ⌋ , wobei ǫi wie im Gaußsches Vorzeichenlemma definiert   ist. (2) Es ist kp = (−1)S(2k,p) .   (3) Ist k ungerade, so ist kp = (−1)S(k,p) .

Beweis. (1) Zur Berechnung von ǫi = ǫi (k) muss man bestimmen, ob der betragsm¨aßig kleinste Repr¨asentant von a = ki in Z/(p) positiv oder negativ ist. Dies h¨angt davon ab, ob a zu einem Intervall der Form [ℓp, ℓp + p2 ] oder der Form [ℓp + p2 , (ℓ + 1)p] geh¨ort (wobei die R¨ander wegen den j kVoraussetzungen unproblematisch sind). Dies h¨angt davon ab, ob 2a gerade oder ungerade ist. p (2) Aus Teil (1) und dem Gaußschen Vorzeichenlemma folgt wegen (mit ) t = p−1 2   t t Y Y 2ki k = ǫi = (−1)⌊ p ⌋ = (−1)S(2k,p) p i=1 i=1

die Behauptung. (3) Sei nun k ungerade. Dann ist (p + k)/2 eine ganze Zahl. Unter Verwendung von Teil (2) erh¨alt man          2 k 2k 2(p + k) (p + k)/2 = = = = (−1)S(p+k,p) . p p p p p F¨ ur den Exponenten rechts gilt   X t  t t  X X (t + 1)t ik i(p + k) = + i = S(k, p) + . S(p + k, p) = p p 2 i=1 i=1 i=1 2

Wegen (t+1)t = (p+1) · (p−1) · 21 = p 8−1 folgt nach dem zweiten 2 2 2 Erg¨anzungssatz die Identit¨at   (t+1)t 2 = (−1) 2 . p

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Man kann daher in der Gesamtgleichungskette    k 2 = (−1)S(p+k,p) p p (t+1)t = (−1)S(k,p)+ 2 (t+1)t 2 = (−1)S(k,p) (−1)   2 = (−1)S(k,p) p k¨ urzen und erh¨alt die Aussage.  Wir k¨onnen nun das quadratische Reziprozit¨atsgesetz beweisen. Satz 8.2. Seien p und q zwei verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt: (     p−1 q−1 p q −1 , wenn p = q = 3 mod 4 , · = (−1) 2 · 2 = q p 1 , sonst . Beweis. Sei t =

p−1 2

und u =

q−1 . 2

Nach Lemma 8.1 (3) gilt

   p q

q p

=

(−1)S(p,q)+S(q,p) , so dass also tu = S(p, q) + S(q, p) zu zeigen ist. Betrachte M = {qi − pj| 1 ≤ i ≤ t, 1 ≤ j ≤ u} .

Diese Menge besitzt tu Elemente, und 0 6∈ M , da ja p und q teilerfremd sind. Es seien M− die negativen Elemente aus M und M+ die positiven Elemente ur aus M . Es ist qi − pj > 0 genau dann, wenn qip > j ist, was genau f¨ j k j k qi qi 1 ≤ j ≤ p der Fall ist. Zu jedem i, 1 ≤ i ≤ t, gibt es also genau p Elemente in M+ . Damit hat M+ genau  t  X qi = S(q, p) p i=1

¨ Elemente. Die entsprechende Uberlegung liefert, dass M− genau S(p, q) Elemente besitzt, woraus tu = #(M ) = #(M+ ) + #(M− ) = S(q, p) + S(p, q) folgt.



Das quadratische Reziprozit¨atsgesetz kann man auch so formulieren: Sind p und q zwei verschiedene ungerade Primzahlen, so gilt:      − q , wennp ≡ q ≡ 3 (mod 4) , p p = q  q sonst . p     p Damit kann man die Berechnung von q auf die Berechnung von pq zur¨ uckf¨ uhren. Darauf beruht der folgende Algorithmus.

72

Bemerkung8.3.  Seien p und q ungerade verschiedene Primzahlen, und p man m¨ochte q berechnen, also herausfinden, ob p ein quadratischer Rest modulo q ist oder nicht. Ist p > q, so berechnet man zuerst den Rest p mod q, und ersetzt p durch den kleineren Rest, der nat¨ urlich keine Primzahl sein muss. Ist hingegen p < q, so berechnet man die Reste von p und  q modulo   4 und kann dann mittels dem quadratischen Reziprozit¨atsgesetz pq auf pq   zur¨ uckf¨ uhren. In beiden F¨allen kommt man also auf eine Situation, wo kq zu berechnen ist, wo q eine ungerade Primzahl ist und k < q beliebig. Sei k = 2α · pα1 1 · · · pαr r die Primfaktorzerlegung von k. Dann ist nach der Multiplikativit¨at des Legendre-Symbols    α   α1   αr    α   α1   αr k 2 p1 pr 2 p1 pr = · ··· = · . ··· q q q q q q q     Jetzt kann 2q nach dem zweiten Erg¨anzungsgesetz berechnet und die pqi k¨onnen ur i = 1, . . . , r nach dem gleichen Verfahren auf die Berechnung von  f¨  q zur¨ uckgef¨ uhrt werden (von den Exponenten α, αi kommt es nur auf die pi Parit¨at an). Bei diesem Verfahren werden nat¨ urlich die Nenner (und damit auch die Z¨ahler) in den Legendre-Symbolen kleiner, so dass man schließlich das Resultat erh¨alt. Beispiel 8.4. Man m¨ochte entscheiden, ob die Gleichung x2 = 10

mod 13

eine L¨osung besitzt. Dazu berechnet man      2 5 10 = . 13 13 13 Der erste Faktor



 2 13 l¨asst sich mit Hilfe des zweiten Erg¨anzungssatzes zu −1 bestimmen, weil 13 mod 8 = 5 und p = 5 mod 8 ergibt das Vorzeichen −1.

Um den zweiten Faktor zu berechnen, wendet man das Reziprozit¨atsgesetz an:     13 5 = + , 13 5 weil 5 mod 4 = 1 gilt (der Rest 13 mod 4 braucht gar nicht mehr berechnet zu werden, da es ausreicht, dass hier 5 oder 13 modulo 4 den Rest 1 l¨asst, damit das Vorzeichen + ist). Jetzt nutzt man aus, dass 13 = 3 mod 5 ist. Man schreibt:     13 3 = . 5 5

73

Wiederum wendet man hier das Quadratische Reziprozit¨atsgesetz an: Es ist       5 2 3 = = = −1, 5 3 3 da 5 mod 4 = 1 ist und da 2 = −1 kein Quadrat modulo 3 ist.

Setzt man nun beide Faktoren zusammen, so ergibt sich folgendes Resultat:      10 2 5 = = (−1) · (−1) = 1. 13 13 13 Damit weiß man, dass die obige Gleichung eine L¨osung besitzt (die beiden L¨osungen lauten 6 und 7.). Auf dieses Ergebnis kommt man leider nur durch Probieren. Hat man aber eine L¨osung, z.B. die 6, so berechnet man die zweite L¨osung, indem man das additive Inverse im K¨orper Z mod 13 bestimmt (13 − 6 = 7) Beispiel 8.5. Man m¨ochte entscheiden, ob die Gleichung x2 = 57

mod 127

eine L¨osung besitzt. Dazu berechnet man      57 3 19 = 127 127 127 und kann wie oben die beiden Faktoren mit dem Reziprozit¨atsgesetz weiter vereinfachen:       127 1 3 = − = − = −1 127 3 3 und     127 19 = − 127  19 13 = −  19  19 = −  13  6 = − 13    2 3 = (−1) 13  13  13 = (−1)(−1)  3 1 = (−1)(−1) 3 = (−1)(−1)1 = 1.

74

Setzt man alles zusammen, so ergibt sich   57 = −1 127

und damit die Erkenntnis, dass die obige Gleichung keine L¨osung besitzt. 8.2. Das Jacobi-Symbol.

Zur Berechnung des Legendre-Symbols muss man die Primfaktorzerlegung der beteiligten Zahlen kennen, was f¨ ur große Zahlen ein erheblicher Rechenaufwand darstellen kann. Die Einf¨ uhrung des Jacobi-Symbols erlaubt es, zu entscheiden, ob eine Zahl quadratischer Rest ist oder nicht, ohne Primfaktorzerlegungen zu kennen. Definition 8.6. F¨ ur eine ungerade Zahl  n und eine ganze Zahl k definiert k man das Jacobi-Symbol, geschrieben n (k nach n), wie folgt. Es sei n = p1 · · · pr die Primfaktorzerlegung von n. Dann setzt man       k k k := ··· . n p1 pr

Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851)

Im Fall n = p eine ungerade Primzahl ist das Jacobi-Symbol nichts anderes als das Legendre-Symbol. Das Jacobi-Symbol ist also eine Verallgemeinerung des Legendre-Symbols. Es ist aber zu beachten, dass die inhaltliche Definition des Legendre-Symbols sich im allgemeinen nicht auf das Jacobi-Symbol u ¨bertr¨agt. Das Jacobi-Symbol ist nicht genau dann 1, wenn k ein Quadrat modulo n ist. Die Definition des Jacobi-Symbols nimmt Bezug auf die Primfaktorzerlegun von n, was wir eigentlich vermeiden wollten. Der Punkt ist aber, dass man das Jacobi-Symbol berechnen kann, auch wenn man die Primfaktorzerlegung gar nicht kennt.

75

Lemma 8.7. Seien k, k1 , k2 ganze Zahlen und seien n, n1 , n2 ungerade positive Zahlen. Dann gelten folgende Aussagen.  k (1) Das Jacobi-Symbol n   k2 h¨angt nur vom Rest k mod n ab. k1 k1 k2 (2) Es ist  n = n  n .  k (3) Es ist n1kn2 = nk1 . n2 Beweis. Diese Aussagen folgen sofort aus der Definition des Jacobi-Symbols bzw. aus der Multiplikativit¨at des Legendre-Symbols im Z¨ahler.  F¨ ur das Jacobi-Symbol gilt das quadratische Reziprozit¨ats mitsamt den Erg¨anzungss¨atzen. Satz 8.8. Seien n und m positive ungerade Zahlen. Dann gelten folgende Aussagen.  n n−1 m−1 = (−1) 2 2 . (1) m n  m = (−1)(n−1)/2 . (2) −1 n 2 (3) n2 = (−1)(n −1)/8 . Beweis. Diese Aussagen werden in den Aufgaben bewiesen.



Bemerkung 8.9. Seien n und m ungerade verschiedene Zahlen, und man n berechnen (man berechnet im Allgemeinen m¨ochte das Jacobi-Symbol m nicht, ob n ein quadratischer Rest modulo m ist, dies ist nur dann der Fall, wenn m eine Primzahl ist). Durch die Restberechnung n mod m k¨onnen wir sofort annehmen, dass n < m ist. Wir schreiben n = 2α k, wobei k ungerade sei. Dann gilt nach Lemma 8.7  α    α   n k 2 k 2 · = . · = m m m m m Hier kann, nach dem quadratischen Reziprozit¨atsgesetz f¨ ur das  Jacobi-Sym k 2 bol (und der Erg¨anzungss¨atze), m berechnet werden und m kann auf m k zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Bei diesem Verfahren werden nat¨ urlich die Nenner (und damit auch die Z¨ahler) in den Jacobi-Symbolen kleiner, so dass man schließlich das Resultat erh¨alt. Wenn p eine Primzahl ist, so kann man mit diesem Algorithmus, also unter Verwendung des Jacobi-Symbols, entscheiden, ob k ein Quadratrest modulo p ist. In den Zwischenschritten braucht man nicht die Primfaktorzerlegungen auszurechnen.

76

8. Arbeitsblatt ¨ 8.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 8.1. Berechne f¨ ur p = 17 und k = 5 den Ausdruck p−1  2  X ki . S(k, p) = p i=1   Berechne damit kp mit Hilfe von Lemma 8.1. Aufgabe 8.2. Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozit¨atsgesetzes und seiner Zus¨atze, ob 17 ein quadratischer Rest modulo 19 ist, oder nicht. Aufgabe 8.3. Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozit¨atsgesetzes und seiner Zus¨atze, ob 23 ein quadratischer Rest modulo 73 ist, oder nicht. Aufgabe 8.4. Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozit¨atsgesetzes und seiner Zus¨atze, ob 50 ein quadratischer Rest modulo 83 ist, oder nicht. Aufgabe 8.5.* Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozit¨atsgesetzes und seiner Erg¨anzungss¨atze das Legendre-Symbol   563 . 1231 Bemerkung: 563 und 1231 sind Primzahlen. Aufgabe 8.6.* Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozit¨atsgesetzes und seiner Erg¨anzungss¨atze das Legendre-Symbol 

2333 3673



.

Aufgabe 8.7. Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozit¨atsgesetzes und seiner Erg¨anzungss¨atze das Legendre-Symbol 

1489 2437



.

77

Aufgabe 8.8.* Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen p mit der Eigenschaft, dass 7 ein Quadratrest modulo p ist. Gibt es unendlich viele solche Primzahlen? Aufgabe 8.9.* Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert 1 hat, aber kein Quadratrest vorliegt. Aufgabe 8.10. Suche f¨ ur die folgenden zusammengesetzten Zahlen n eine  n−1 a 2 zu n teilerfremde Zahl a derart, dass a 6= n in Z/(n) gilt. a) n = 49.

b) n = 75. Aufgabe 8.11. Finde die L¨osungen der Kongruenz 6x2 + 4x + 1 = 0

mod 35.

Aufgabe 8.12. Zeige f¨ ur eine positive ungerade Zahl n die Gleichung   −1 = (−1)(n−1)/2 . n 8.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 8.13. (4 Punkte) Bestimme die Menge M der Reste modulo 40 mit der Eigenschaft, dass f¨ ur jede ungerade Primzahl p gilt: 10 ist ein Quadratrest modulo p genau dann, wenn p mod 40 zu M geh¨ort. Aufgabe 8.14. (5 Punkte) Finde eine ungerade Primzahl p mit der Eigenschaft, dass alle Zahlen a ≤ 10 Quadratreste modulo p sind. Aufgabe 8.15. (3 Punkte) Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozit¨atsgesetzes und seiner Erg¨anzungss¨atze das Legendre-Symbol 

337 1339



.

78

Aufgabe 8.16. (3 Punkte) Zeige f¨ ur eine positive ungerade Zahl n die Gleichung   2 2 = (−1)(n −1)/8 . n Aufgabe 8.17. (3 Punkte) Zeige f¨ ur zwei ungerade positive Zahlen n und m die Beziehung m  n  n−1 m−1 = (−1) 2 2 . n m 9. Vorlesung - Summe von Quadraten 9.1. Summe von zwei Quadraten - Primzahlen. In diesem Abschnitt werden wir die Frage beantworten, welche ganze Zahlen sich als Summe von zwei Quadraten darstellen lassen, oder, anders formuliert, wann die diophantische Gleichung n = x2 + y 2 eine L¨osung mit ganzen Zahlen x, y besitzt. Wir werden dabei wesentlich den Ring der Gaußschen Zahlen verwenden und schließen dabei an Vorlesung 2 an. Zun¨achst betrachten wir den Fall, wo n = p eine ungerade Primzahl ist. Es gilt folgende Charakterisierung. Satz 9.1. Sei p ein ungerade Primzahl. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent. (1) (2) (3) (4) (5)

p ist die Summe von zwei Quadraten, p = x2 + y 2 mit x, y ∈ Z. p ist die Norm eines Elementes aus Z[i]. p ist zerlegbar (nicht prim) in Z[i]. −1 ist ein Quadrat in Z/(p). p = 1 mod 4

Beweis. (1) ⇔ (2). Dies folgt sofort aus x2 +y 2 = (x+yi)(x−yi) = N (x+yi) ¨ (diese Aquivalenz gilt f¨ ur alle ganze Zahlen). (2) ⇒ (3). Die Normdarstellung

p = N (x + yi) = (x + yi)(x − yi)

ist eine Faktorzerlegung in Z[i]. Da x und y beide von 0 verschieden sind, ist N (x + iy) ≥ 2 und x + yi ist keine Einheit, also ist die Zerlegung nicht trivial. Da der Ring der Gaußschen Zahlen nach Lemma 2.12 euklidisch ist, sind nach Satz 3.5 prim und unzerlegbar ¨aquivalent. (3) ⇒ (2). Sei p zerlegbar, sagen wir p = wz mit Nichteinheiten w, z ∈ Z[i]. Dann ist innerhalb der nat¨ urlichen Zahlen p2 = N (p) = N (w)N (z). Dann muss N (w) = p sein.

79

(3) ⇔ (4). Es gilt Z[i]/(p) ∼ = Z[X]/(X 2 + 1))/(p) ∼ = Z[X]/(X 2 + 1, p) ∼ = (Z/(p)[X])/(X 2 + 1). Dieser Restklassenring ist endlich und somit Aufgabe 9.5 genau dann ein K¨orper, wenn es ein Integrit¨atsbereich ist. Dies ist wiederum a¨quivalent dazu, dass p prim in Z[i] ist (man kann auch mit nach Satz 3.12 schließen). Andererseits zeigt die Darstellung rechts, dass ein K¨orper genau dann vorliegt, wenn das Polynom X 2 + 1 ein irreduzibles Polynom in (Z/(p))[X] ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn das Polynom keine Nullstelle in Z/(p) besitzen, was bedeutet, dass −1 kein Quadrat in Z/(p) ist. ¨ Die Aquivalenz (4) ⇔ (5) wurde schon im Satz 6.8 gezeigt.  Bemerkung 9.2. Sei p eine Primzahl, die modulo 4 den Rest 1 besitzt, so dass es nach Satz 9.1 eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten geben muss. Wie findet man eine solche Darstellung explizit? Einerseits durch probieren, andererseits kann man aber entlang dem Beweis des Satzes vorgehen. Dazu muss man folgende Schritte gehen: (1) Finde in Z/(p) ein Element a mit a2 = −1. Um dies zu finden braucht man in der Regel ein primitives Element in diesem Restklassenk¨orper (ist b ein primitives Element, so kann man a = b(p−1)/4 nehmen; siehe auch Aufgabe 6.7). (2) Die Abbildung Z[i] → Z/(p), die ganze Zahlen modulo p nimmt und i auf a schickt, ist ein surjektiver Ringhomomorphismus auf einen K¨orper. Der Kern ist ein Hauptideal, das von p und von a − i erzeugt wird. (3) Finde mit dem euklidischen Algorithmus einen Erzeuger z f¨ ur das Hauptideal (p, a − i). Ein solcher Erzeuger hat die Norm N (z) = p. Eine Zerlegung p = zw f¨ uhrt ja generell auf N (z)N (w) = N (p) = p2 . Beispiel 9.3. Sei p = 13 (man sieht nat¨ urlich sofort eine Darstellung). Mit dem oben beschriebenen Verfahren m¨ usste man wie folgt vorgehen: In Z/(13) ist 52 = 25 = −1, also kann man a = 5 nehmen. Dies f¨ uhrt zum Ideal (13, 5 − i). Division in Q[i] liefert

13 13(5 + i) 65 + 13i = = 5−i (5 − i)(5 + i) 26

und 2 ist eine beste Approximation in Z[i]. Damit ist die Division mit Rest 13 = 2 · (5 − i) + r mit r = 3 + 2i. Die n¨achste durchzuf¨ uhrende Division liefert (5 − i)(3 − 2i) 13 − 13i 5−i = = = 1 − i. 3 + 2i 13 13

80

Damit ist also 5 − i = (1 − i)(3 + 2i) und somit ist 3 + 2i ein Erzeuger des Ideals. Bemerkung 9.4. Wenn f¨ ur eine Primzahl p eine Darstellung p = x2 + y 2 = (x + iy)(x − iy)

als Summe von zwei Quadraten bekannt ist, so kann man daraus einfach eine Quadratwurzel der −1 in Z/(p) finden. In diesem Fall gibt es einen surjektiven Ringhomomorphismus ϕ : Z[i] −→ Z[i]/(x + iy) ∼ = Z/(p). Die Isomorphie rechts r¨ uhrt dabei von

Z −→ Z/(p) −→ Z[i]/(x + iy)

her, wobei die Surjektivit¨at darauf beruht, dass Z[i]/(x + iy) ein K¨orper ist und es in Z/(p) schon zwei Quadratwurzeln der −1 gibt. Die Eigenschaft i2 = −1

u ¨bertr¨agt sich auf das Bild, und dort gilt

ϕ(i) = −x · y −1 . Beispiel 9.5. Wir wollen in Z/(29) eine Quadratwurzel f¨ ur −1 mit Hilfe von Bemerkung 9.4 finden. Es ist 29 = 52 + 22 = (5 + 2i)(5 − 2i).

Im Restklassenk¨orper

Z[i]/(5 + 2i) ∼ = Z/(29)

ist In der Tat ist

i = −5 · 2−1 = −5 · 15 = −75 = 12. 122 = 144 = −1

mod 29

9.2. Primfaktorzerlegung fu ¨ r Gaußsche Zahlen. Aus dem Hauptsatz k¨onnen wir problemlos ableiten, wie sich die Primzahlen in Z[i] verhalten: Korollar 9.6. Die Primzahlen aus Z haben in Z[i] folgendes Zerlegungsverhalten: • Es ist und 1 + i ist prim in Z[i]. • F¨ ur p = 1 mod 4 ist

2 = −i(1 + i)2 ,

p = (x + yi)(x − yi), mit gewissen eindeutig bestimmten x, y ∈ N+ , wobei beide Faktoren prim sind.

81

• F¨ ur p = 3 mod 4 ist p prim in Z[i]. Beweis. Aufgrund von Satz 9.1 gibt es im zweiten Fall eine Darstellung p = x2 + y 2 = (x + iy)(x − iy)

Wegen

p2 = N (p) = N (x + yi)N (x − yi) haben die beiden Faktoren die Norm p und sind deshalb nach Lemma 2.13 prim. Die Eindeutigkeit ergibt sich aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung im Ring der Gaußschen Zahlen und der Kenntnis der Einheiten.  Bemerkung 9.7. F¨ ur eine Gaußsche Zahl z ∈ Z[i] kann man folgendermaßen entscheiden, ob sie prim ist bzw. wie ihre Primfaktorzerlegung aussieht: (1) Berechne die Norm N (z). Ist diese eine Primzahl, so ist nach Lemma 2.13 das Element z selbst prim. (2) Bestimme die (ganzzahligen) Primfaktoren von N (z). Schreibe N (z) = z z¯ = 2r p1 · · · ps q1 · · · qt ,

wobei die pi ungerade mit Rest 1 modulo 4 und die qj ungerade mit Rest 3 modulo 4 seien. (3) Schreibe pi = N (ui ) = ui ui f¨ ur die Primfaktoren pi mit Rest 1 modulo 4, und 2r = (−i)r (1 + i)2r . Damit ist z z¯ = (−i)r (1 + i)2r u1 u1 · · · us us q1 · · · qt .

(4) Liste die m¨oglichen Primfaktoren von z (und zugleich von z) auf: das sind 1 + i (falls 2 mit positivem Exponenten vorkommt), die ui und ui sowie die qj (da Z[i] ein Hauptidealbereich ist und somit die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt, setzt sich die Primfaktorzerlegung von z und von z¯ bis auf Einheiten aus Primfaktoren der rechten Seite zusammen). (5) Durch 2r und die qj kann man sofort durchdividieren, da diese Faktoren jeweils sowohl von z als auch von z¯ ein Faktor sind. (6) F¨ ur die m¨oglichen Primfaktoren ui und ui muss man (durch Division mit Rest) u ufen, ob sie Primfaktoren von z sind oder nicht (wenn ¨berpr¨ nicht, so teilen sie z¯). Statt Division kann man auch die m¨oglichen Kombinationen ausmultiplizieren. Beispiel 9.8. Es ist N (17 + 13i) = 172 + 132 = 289 + 169 = 458 = 2 · 229,

wobei 229 eine Primzahl ist. Wegen

229 = 225 + 4 = 152 + 22 besitzt 229 in Z[i] die Primfaktorzerlegung 229 = (15 + 2i)(15 − 2i)

82

und somit ergibt sich die Primfaktorzerlegung 17 + 13i = (1 + i)(15 − 2i). 9.3. Summe von zwei Quadraten. Wie kommen nun zur Bestimmung aller ganzen Zahlen, die Summe von zwei Quadraten sind. Lemma 9.9. 2 = 1 + 1 ist eine Summe von zwei Quadraten. Sind die nat¨ urlichen Zahlen m und n jeweils eine Summe von zwei Quadratzahlen, so ist auch das Produkt mn eine Summe von zwei Quadratzahlen. Ist n = r2 m, und ist m eine Summe von zwei Quadratzahlen, so auch n. Beweis. Die erste Aussage ist klar, f¨ ur die zweite hat man die Charakterisierung mit der Norm und die Multiplikativit¨at der Norm auszunutzen. Ist m = x2 + y 2 , so kann man einfach mit r2 multiplizieren.  Satz 9.10. Sei n eine positive nat¨ urliche Zahl. Schreibe n = r2 m, wobei jeder Primfaktor von m nur einfach vorkomme. Dann ist n die Summe von zwei Quadraten genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von m nur 2 und Primzahlen vorkommen, die modulo 4 den Rest 1 haben. Beweis. Erf¨ ullt n die angegebene Bedingung an die Primfaktorzerlegung, so ist n nach dem vorangehenden Lemma und dem Hauptsatz die Summe zweier Quadrate. Sei umgekehrt angenommen, dass n die Summe zweier Quadrate ist, so dass also eine Zerlegung n = (x + iy)(x − iy) vorliegt. Sei p ein Primfaktor von n, der modulo 4 den Rest 3 besitze. Dann ist nach Satz 9.1 p prim in Z[i] und teilt einen und damit (betrachte die Konjugation) beide Faktoren in der Zerlegung, jeweils mit dem gleichen Exponenten. Damit ist der Exponent von p in der Primfaktorzerlegung von n gerade und p kommt in der Primfaktorzerlegung von m nicht vor.  Beispiel 9.11. Nach Satz 9.10 ist 1000 = 100 · 2 · 5

eine Summe von zwei Quadraten und

108 = 36 · 3

keine Summe von zwei Quadraten.

9.4. Summe von drei und von vier Quadraten. Die beiden folgenden S¨atze heißen Dreiquadratesatz bzw. Vierquadratesatz (oder Satz von Lagrange). Satz 9.12. Eine nat¨ urliche Zahl n l¨asst sich genau dann als Summe von drei Quadratzahlen darstellen, wenn n nicht die Form 4i (8j + 7)

83

mit i, j ∈ N besitzt.

Satz 9.13. Jede nat¨ urliche Zahl l¨asst sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen. Das Waringsche Problem ist die Frage, ob man f¨ ur jeden Exponenten k eine Zahl g mit der Eigenschaft derart finden kann, dass jede nat¨ urliche Zahl eine Darstellung als Summe von maximal g k-ten Potenzen besitzt. Bei k = 2 ist g = 4. Dieses Problem wurde von Hilbert positiv gel¨ost. Beispielsweise kann man jede nat¨ urliche Zahl als Summe von 9 Kuben darstellen. F¨ ur 23 braucht man wirklich 9 Kuben. 9. Arbeitsblatt ¨ 9.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 9.1. Zeige, dass eine Primzahl p h¨ochstens eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt. Aufgabe 9.2.* Zeige, dass eine ganze Zahl n genau dann die Differenz zweier Quadratzahlen ist, wenn der Exponent von 2 in der Primfaktorzerlegung von n gleich 0 oder ≥ 2 ist. Aufgabe 9.3. Bestimme f¨ ur eine oder mehrere Gaußsche Zahlen in diesem Diagramm (oder diesem) die Primfaktorzerlegung und trage das Ergebnis (mit Begr¨ undung) in den vorgesehenen Link ein. Man beschr¨anke sich dabei auf Zahlen unterhalb der Hauptdiagonalen.

Gaußsche Ebene, 1. Quadrant

Die Gitterpunkte im farbig hinterlegten Bereich und entlang seines Randes sind als Link anklickbar. Gaußsche Ebene, 1. Quadrant

84

Aufgabe 9.4.* Bestimme in Z[i] die Primfaktorzerlegung von 8 − i. Begr¨ unde, warum die Faktoren prim sind.

Aufgabe 9.5. Sei R ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass R genau dann ein Integrit¨atsbereich ist, wenn R ein K¨orper ist.

Aufgabe 9.6. Zeige, dass die komplexen Zahlen C die Restklassendarstellung C ∼ = R[X]/(X 2 + 1) besitzen.

Aufgabe 9.7. Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen Z[i] die Restklassendarstellung Z[i] ∼ = Z[X]/(X 2 + 1) besitzt.

Aufgabe 9.8. Es sei n ∈ N+ . Zeige, dass der Restklassenring Z[i]/(n) genau n2 Elemente besitzt.

Aufgabe 9.9. Sei R ein kommutativer Ring und sei a ein Ideal mit dem Restklassenring S = R/a. Zu einem Ideal I ⊆ R welches a enth¨alt, sei I ′ = IR/a das zugeh¨orige Ideal in S. Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie R/I ∼ = S/I ′ gibt.

Aufgabe 9.10. Bestimme mit Hilfe von Bemerkung 9.4 eine Quadratwurzel von −1 in Z/(41).

85

9.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 9.11. (3 Punkte) Bestimme f¨ ur die Zahlen n zwischen 155 und 159, ob n die Summe von zwei ganzzahligen Quadraten ist. Man gebe alle m¨oglichen Darstellungen an. Aufgabe 9.12. (2 Punkte) Finde f¨ ur alle Zehnerpotenzen ≥ 10 eine Darstellung als Summe von zwei positiven Quadraten. Aufgabe 9.13. (4 Punkte) Sei n eine nat¨ urliche Zahl, in deren Primfaktorzerlegung r Faktoren vorkommen. Wie viele Darstellungen als Summe von zwei Quadratzahlen besitzt n maximal? Aufgabe 9.14. (7 (1+1+1+4) Punkte) F¨ ur einen K¨orper K bezeichnet K ×2 ⊆ K × die Untergruppe aller Quadrate. Bestimme f¨ ur die folgenden K¨orper die Restklassengruppe K × /K ×2 . (1) (2) (3) (4)

K K K K

ist ein endlicher K¨orper. = R. = C. = Q.

Aufgabe 9.15. (5 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring und sei a ein Ideal mit dem Restklassenring S = R/a. Zeige, dass die Ideale von S eindeutig denjenigen Idealen von R entsprechen, die a umfassen. 10. Vorlesung - Pythagoreische Tripel 10.1. Pythagoreische Tripel. Definition 10.1. Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige L¨osung (x, y, z) ∈ Z3 der diophantischen Gleichung x2 + y 2 = z 2 .

Es heißt primitiv, wenn x, y, z keinen gemeinsamen Teiler besitzen.

86

Bemerkung 10.2. L¨osungstripel, bei denen (mindestens) ein Eintrag 0 ist, heißen trivial. Nach der Umkehrung des Satzes des Pythagoras bildet ein solches Tripel die Seitenl¨angen eines rechtwinkligen Dreieckes. Es geht also um rechtwinklige Dreiecke mit der Eigenschaft, dass alle drei Seiten eine ganzzahlige L¨ange haben (dabei sind x, y die Seitenl¨angen der Katheten und z ist die Seitenl¨ange der Hypotenuse). Das bekannteste pythagoreische Tripel ist zweifellos (3, 4, 5). Wenn zwei Zahlen davon einen gemeinsamen Teiler haben, so hat nat¨ urlich auch die dritte diesen Teiler, und das Tripel ist nicht primitiv.

Ferner sind x und y nicht zugleich ungerade, siehe Aufgabe 10.1.

Die roten Punkte sind primitive pythagoreische Tripel, die blauen nicht-primitive

Wir wollen alle (primitiven) pythagoreischen Tripel finden. Man kann das Problem umformulieren, indem man durch z 2 teilt. Dann ist das Problem ¨aquivalent zu:

87

Bestimme alle rationalen L¨osungen f¨ ur die Gleichung r2 + s2 = 1 (r, s ∈ Q) . Es geht also um alle Punkte auf dem Einheitskreis (in der Ebene mit Mittelpunkt (0, 0) und Radius 1, deren beide Koordinaten rationale Zahlen sind. Die trivialen L¨osungen sind die komplexen Zahlen 1, i, −1, −i. Bemerkung 10.3. Der (Einheits-)Kreis ist ein eindimensionales Objekt und es gibt verschiedene (Teil-)Parametrisierungen f¨ ur ihn, etwa durch  √  x 7−→ x, 1 − x2 , oder die trigonometrische Parametrisierung

t 7−→ (cos(t), sin(t)) , Hier brauchen wir aber eine Parametrisierung, die rationale Zahlen in solche Punkte u uhrt, deren beide Koordinaten rational sind. ¨berf¨ Wir betrachten hierzu die Abbildung, die einen Punkt t auf der y-Achse auf den Durchstoßungspunkt (x, y) abbildet, den der Einheitskreis mit der durch (0, t) und (−1, 0) definierten Geraden bildet. Aufgrund des Strahlensatzes haben wir die Bedingung y t = 1 1+x bzw. y = t(1 + x). Setzt man diese Gleichung in die Gleichung des Einheitskreises ein, so erh¨alt man 1 = x2 + y 2 = x2 + t2 (x + 1)2 und damit  0 = (x2 − 1) + t2 (x + 1)2 = (x + 1) (x − 1) + t2 (x + 1) .

Da uns die erste L¨osung x = −1 nicht interessiert, betrachten wir den zweiten Faktor 0 = (x − 1) + t2 (x + 1) = x(1 + t2 ) + t2 − 1,

die zu

1 − t2 x= und y = t · (x + 1) = t · 1 + t2



1 − t2 +1 1 + t2



f¨ uhrt. Die Abbildung t 7−→



1 − t2 2t , 1 + t2 1 + t2



= (x, y)

ist also eine rationale Parametrisierung des Einheitskreises.

=

2t 1 + t2

88

y

(x, y)

(0, t)

x

Wir fassen zusammen: Satz 10.4. Die Abbildung Q −→

SQ1 ,

t 7−→



2t 1 − t2 , 1 + t2 1 + t2



= (x, y),

von der Menge der rationalen Zahlen in die Menge der Punkte auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten ist injektiv, und mit der Ausnahme von (−1, 0) liegt jeder Punkt im Bild. Beweis. Dies wurde bereits oben bewiesen, die Injektivit¨at ist klar von der geometrischen Interpretation her und ist als Aufgabe 10.4 zu beweisen.  Korollar 10.5. Die Menge der Punkte auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten bilden eine dichte Teilmenge. Beweis. Die Parametrisierung 1

ϕ : R −→ S , t 7−→ ϕ(t) =



2t 1 − t2 , 1 + t2 1 + t2



,

ist stetig, da sie komponentenweise durch rationale Funktionen gegeben ist. Sei s ∈ S 1 ein Punkt des Einheitskreises. Der Punkt s = (−1, 0) (der Punkt, der von der Parametrisierung nicht erfasst wird), ist selbst rational. Sei also s 6= (−1, 0), und sei t ∈ R eine reelle Zahl mit ϕ(t) = s. Sei ǫ > 0 vorgegeben. Aufgrund der Stetigkeit gibt es dann auch ein δ > 0 derart, dass die Ballumgebung B(t, δ) nach B(s, ǫ) hinein abgebildet wird, also ϕ(B(t, δ)) ⊆ B(s, ǫ). Da die rationalen Zahlen innerhalb der reellen Zahlen dicht liegen, gibt es eine rationale Zahl q ∈ B(t, δ). Dann ist ϕ(q) ein Punkt auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten, der in der ǫ-Umgebung von s liegt. 

89

Die Formeln des folgenden Satzes zur Berechnung der pythagoreischen Tripel heißen auch indische Formeln. Satz 10.6. Sei (x, y, z) ein pythagoreisches Tripel mit y gerade und z 6= −x. Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze teilerfremde Zahlen (u, v) mit v > 0 und a ∈ Z und mit x = a(v 2 − u2 ), y = a(2uv), z = a(u2 + v 2 ) . Das pythagoreische Tripel ist primitiv genau dann, wenn a eine Einheit ist und u und v nicht beide ungerade sind.

Beweis. Sei (x, y, z) ein pythagoreisches Tripel. Der Fall z = 0 ist ausge x y schlossen. Dann ist z , z ein Punkt auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten. Nach Satz 10.4 gibt es, da z 6= −x vorausgesetzt wurde, eine eindeutig bestimmte rationale Zahl t mit 

1 − t2 2t , 1 + t2 1 + t2



=

x y  , . z z

Dann gibt es eine rationale Zahl q 6= 0 mit x = q(1 − t2 ), y = q2t, z = q(1 + t2 ) . Sei t = uv mit ganzen teilerfremden Zahlen u, v, v > 0. Wir ersetzen q durch q˜ = vq2 und haben dann x = q˜(v 2 − u2 ), y = q˜2uv, z = q˜(u2 + v 2 ) . Da u und v teilerfremd sind, sind auch u, v, v 2 − u2 paarweise teilerfremd. Ein Primteiler des Nenners von q˜ teilt 2uv und v 2 − u2 . Daher kommt nur 2 in Frage. In diesem Fall w¨aren aber v 2 − u2 und u2 + v 2 gerade, und u und v w¨aren beide ungerade. Dann w¨are aber y = q˜2uv ungerade im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist q˜ eine ganze Zahl. Wenn das pythagoreische Tripel primitiv ist, so muss in dieser Darstellung q˜ = 1 oder −1 sein. Außerdem k¨onnen dann u und v nicht beide ungerade sein, sonst w¨are 2 ein gemeinsamer Teiler des Tripels. Wenn umgekehrt diese Bedingungen erf¨ ullt sind, so ist das Tripel primitiv. 

90

u 1 2 1 3 2 1 4 2 5 4 1 3 6 2 5 4

v x = v 2 − u2 y = 2uv z = u2 + v 2 2 3 4 5 3 5 12 13 4 15 8 17 4 7 24 25 5 21 20 29 6 35 12 37 5 9 40 41 7 45 28 53 6 11 60 61 7 33 56 65 8 63 16 65 8 55 48 73 7 13 84 85 9 77 36 85 8 39 80 89 9 65 72 97

x2 + y 2 = z 2 9 + 16 = 25 25 + 144 = 169 225 + 64 = 289 49 + 576 = 625 441 + 400 = 841 1225 + 144 = 1369 81 + 1600 = 1681 2025 + 784 = 2809 121 + 3600 = 3721 1089 + 3136 = 4225 3969 + 256 = 4225 3025 + 2304 = 5329 169 + 7056 = 7225 5929 + 1296 = 7225 1521 + 6400 = 7921 4225 + 5184 = 9409

Beispiel 10.7. Wenn man einen rationalen Punkt auf Einheitskreis  dem  1 1 sucht, der m¨oglichst nahe an dem irrationalen Punkt √2 , √2 liegen soll, so kann man √1 1 2 √ = 0, 414213... t = 1 = √ 1+ 2 1+ 2 berechnen. Die rationale Approximation 414213 t′ = 1000000 f¨ uhrt zum rationalen Punkt   828427590631 828426000000 , 1171572409369 1171572409369 auf dem Einheitskreis und zum pythagoreischen Tripel x = = = =

v 2 − u2 10000002 − 4142132 1000000000000 − 171572409369 828427590631,

y = 2 · 414213 · 1000000 = 828426000000

und

z = u2 + v 2 = 4142132 + 10000002 = 1171572409369. In der Tat ist 8284275906312 + 8284260000002

91

= 686292272918683718978161 + 686289637476000000000000 = 1372581910394683718978161 = 11715724093692 , wie man unmittelbar nachrechnet. 10.2. Ho ¨here Fermat-Gleichungen. Die folgende Aussage heißt Satz von Euler. Satz 10.8. Die diophantische Gleichung x4 + y 4 = z 2 hat keine ganzzahlige nichttriviale L¨osung. Beweis. Sei (x, y, z) eine nichttriviale L¨osung, d.h. alle Eintr¨age sind 6= 0. Wir k¨onnen annehmen, dass alle Eintr¨age sogar positiv sind. Wenn es eine solche L¨osung gibt, dann gibt es auch eine nichttriviale L¨osung mit minimalem positiven z (unter allen nichttrivialen L¨osungen). Wir zeigen, dass es dann eine L¨osung mit kleinerem positiven z1 gibt, was einen Widerspruch bedeutet. Wegen der Minimalit¨at ist (x, y, z) primitiv, die Eintr¨age sind also (sogar paarweise) teilerfremd. Wir k¨onnen x als ungerade annehmen. Es ist dann (x2 , y 2 , z) ein primitives pythagoreisches Tripel. Daher gibt es nach Satz 10.6 teilerfremde nat¨ urliche Zahlen (u, v) mit x2 = u2 − v 2 , y 2 = 2uv, z = u2 + v 2 und mit u + v ungerade. Betrachtung der ersten Gleichung modulo 4 zeigt, dass u ungerade sein muss (und v gerade). Die erste Gleichung u2 = x 2 + v 2 ist selbst ein primitives pythagoreisches Tripel. Es gibt als erneut teilerfremde nat¨ urliche Zahlen (r, s) mit x = r2 − s2 , v = 2rs, u = r2 + s2

(x ist ungerade, v gerade) mit r + s ist ungerade. Somit sind r, s, r2 + s2 = u paarweise teilerfremd. Aus y 2 = 2uv = 4(r2 + s2 )rs folgt  y 2

= (r2 + s2 )rs 2 und aus der Teilerfremdheit der Faktoren folgt, dass die einzelnen Faktoren hier selbst Quadrate sind, also r = x21 , s = y12 , r2 + s2 = z12 .

92

Damit ist z12 = r2 + s2 = x41 + y14 eine neue nichttriviale L¨osung der urspr¨ unglichen Gleichung. Wegen z1 ≤ z12 = r2 + s2 = u < u2 + v 2 = z

widerspricht dies der Minimalit¨at von z.



Korollar 10.9. Die Fermat-Quartik x4 + y 4 = z 4 besitzt keine ganzzahlige nichttriviale L¨osung. Beweis. Dies folgt sofort aus dem Satz von Euler.



Generell nennt man Gleichungen der Form xn + y n = z n Fermat-Gleichungen. Die ber¨ uhmte Vermutung von Fermat, der sogenannte Große Fermat“, besagt, dass es f¨ ur n ≥ 3 keine nicht-trivialen L¨osungen ” gibt. Dies haben wir soeben f¨ ur n = 4 bewiesen. Der Fall n = 3 (FermatKubiken) l¨asst sich ebenfalls noch einigermaßen elementar best¨atigen (Euler) und hat mit den Eisenstein-Zahlen zu tun. Nach rund 350 Jahren wurde der Große Fermat schließlich 1995 von Andrew Wiles bewiesen.

Andrew Wiles (*1953)

Satz 10.10. Die diophantische Gleichung xn + y n = z n besitzt f¨ ur kein n ≥ 3 eine ganzzahlige nichttriviale L¨osung. Beweis. Der Beweis f¨ ur diese Aussage geht bei Weitem u ¨ber den Inhalt einer Vorlesung u ber elementare Zahlentheorie hinaus.  ¨

93

10. Arbeitsblatt ¨ 10.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 10.1. Seien x und y ungerade. Zeige, dass x2 +y 2 keine Quadratzahl ist. Aufgabe 10.2. Sei (x, y, z) ein pythagoreisches Tripel. Zeige, dass x oder y ein Vielfaches von 3 ist. Aufgabe 10.3.* a) Man gebe ein Beispiel f¨ ur rationale Zahlen a, b, c ∈]0, 1[ mit a2 + b 2 = c 2 .

b) Man gebe ein Beispiel f¨ ur rationale Zahlen a, b, c ∈]0, 1[ mit a2 + b2 6= c2 .

c) Man gebe ein Beispiel f¨ ur irrationale Zahlen a, b ∈]0, 1[ und eine rationale Zahl c ∈]0, 1[ mit a2 + b 2 = c 2 . Aufgabe 10.4. Zeige, dass die in Satz 10.4 beschriebene rationale Parametrisierung des Einheitskreises injektiv ist. Aufgabe 10.5. Skizziere ein Dreieck D derart, dass eine H¨ohe das Dreieck D in zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke D1 und D2 unterteilt so, dass die Seitenl¨angen von D1 und D2 jeweils pythagoreische Tripel bilden. Man gebe die Seitenl¨angen an. Aufgabe 10.6. Zeige, dass die Menge SQ1 = {z ∈ Q[i]| |z| = 1}

mit der Multiplikation in Q[i] eine kommutative Gruppe ist. Aufgabe 10.7. Es sei SQ1 = {z ∈ Q[i]| |z| = 1}

der rationale Einheitskreis mit der aus Q[i]× ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von 35 + 54 i ∈ SQ1 .

94

Aufgabe 10.8. Es sei SQ1 = {z ∈ Q[i]| |z| = 1}

der rationale Einheitskreis mit der aus Q[i]× ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen SQ1 und Q/Z nicht isomorph sind. Aufgabe 10.9. Zeige, dass der Einheitskreis S 1 = {z ∈ R[i] ∼ = C| |z| = 1} R

isomorph zu R/Z ist.

Aufgabe 10.10. Es sei n = r2 + s2 = (r + is)(r − is)

eine Summen von zwei Quadraten mit der zugeh¨origen Zerlegung in Z[i]. Berechne n2 auf zwei verschiedene Weisen und zeige damit, dass r2 − s2 + 2rsi n ein Punkt auf dem rationalen Einheitskreis ist. Aufgabe 10.11. Zeige, dass der rationale Einheitskreis (als Gruppe) nicht endlich erzeugt ist. Aufgabe 10.12. Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen (Q, 0, +) und (Q+ , 1, ·) nicht isomorph sind. Aufgabe 10.13. Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus nicht surjektiv ist.

Q[i]× −→ (Q+ , 1, ·), x + iy 7−→ x2 + y 2 ,

Aufgabe 10.14. Zeige mit Hilfe des pythagoreischen Tripels (9, 40, 41), dass es ein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenl¨angen alle rational sind und dessen Fl¨acheninhalt gleich 5 ist. Aufgabe 10.15.* Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenl¨angen alle rational sind und dessen Fl¨acheninhalt gleich 1 ist.

95

Aufgabe 10.16. Zeige, dass die quadratische Gleichung x2 − 5y 2 = 2

keine ganzzahlige L¨osung besitzt. Aufgabe 10.17.*

Zeige, dass in Z/(29) die Gleichung x4 + y 4 + z 4 = 0 nur die triviale L¨osung (0, 0, 0) besitzt. Aufgabe 10.18. Finde eine nichttriviale ganzzahlige L¨osung f¨ ur das Gleichungssystem ab = c und (a − 1)d = c − 1. Aufgabe 10.19. Finde mindestens eine ganzzahlige L¨osung (x, y) ∈ N+ ×N+ f¨ ur die diophantische Gleichung xk + 1 = y n f¨ ur k, n ≥ 2. Aufgabe 10.20. Zeige: Um den Satz von Wiles f¨ ur alle Exponenten n ≥ 3 zu zeigen, gen¨ ugt es, ihn f¨ ur alle ungeraden Primzahlen als Exponenten zu beweisen. Aufgabe 10.21. Zeige unter Verwendung des Satzes von Wiles, dass die diophantische Gleichung xn + y n + z n = 0 f¨ ur n ≥ 2 keine von (0, 0, 0) verschiedene L¨osung besitzt. 10.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 10.22. (4 Punkte) Zeige: In Z/(p), wobei p eine Primzahl ist, l¨asst sich jedes Element als Summe von zwei Quadraten schreiben. Aufgabe 10.23. (3 Punkte) Sei p eine Primzahl mit p = 1 mod 4 und sei p = x2 + y 2 eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten, x, y ∈ N. Sei k ein ungerader Teiler von x. Dann ist k ein Quadratrest modulo p.

96

Aufgabe 10.24. (3 Punkte) Bestimme in Z/(11) alle L¨osungen (x, y) der Gleichung x2 + y 2 = 1. Aufgabe 10.25. (4 Punkte) Bestimme in Z/(7) alle L¨osungen (x, y) der diophantischen quadratischen Gleichung 3x2 + 2y 2 + 5xy + 4x + 8y + 6 = 0. Aufgabe 10.26. (4 Punkte) Approximiere die (obere) primitive dritte Einheitswurzel auf dem rationalen Einheitskreis mit einem Fehler von maximal 1/1000000. 11. Vorlesung - Primzahlen und ihre Verteilung I 11.1. Die Unendlichkeit der Primzahlen. Satz 11.1. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir {p1 , p2 , . . . , pr }. Man betrachtet die Zahl N = p1 · p2 · p3 · · ·pr + 1.

Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen pi teilbar, da bei Division von N durch pi immer ein Rest 1 verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von N nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.  Eine Liste aller Primzahlen ≤ 100000 findet sich hier.

Kann man weitere Aussagen dar¨ uber machen, wie viele Primzahlen es gibt? Wir werden zun¨achst die Frage betrachten, was man u ¨ber die Reihe X1 p p∈P

sagen kann. Dies ist also die Summe aller Kehrwerte von Primzahlen, 1 1 1 1 1 + + + + + ... . 2 3 5 7 11 Bekanntlich divergiert die harmonische Reihe, also die Summe u ¨ber aller Kehrwerte von positiven ganzen Zahlen. Dagegen konvergiert die Summe 2 u ¨ber alle Kehrwerte von Quadraten (und zwar gegen π6 ), es gibt also im gewissen Sinn wenig Quadrate. F¨ ur jede unendlicheP Teilmenge M ⊆ N ist es eine interessante und meistens schwierige Frage, ob n∈M n1 konvergiert oder divergiert. F¨ ur die Primzahlen werden wir das hier in K¨ urze beantworten. Die

97

Beantwortung h¨angt eng mit der Riemannschen ζ-Funktion zusammen. Die hier benutzten Methoden geh¨oren zur analytischen Zahlentheorie.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)

Definition 11.2. Die Riemannsche ζ-Funktion ist f¨ ur s ∈ C mit Realteil Re (s) > 1 durch ∞ X 1 ζ(s) = ns n=1

definiert.

Wir erinnern an die Konvergenz der geometrischen Reihe. Satz F¨ ur alle komplexen Zahlen z mit |z| < 1 konvergiert die Reihe P∞ 11.3. k k=0 z absolut und es gilt ∞ X k=0

zk =

1 . 1−z

Beweis. Dies wird in der Grundvorlesung Analysis bewiesen.



98

Lemma 11.4. Sei T eine endliche Menge von Primzahlen und sei s eine komplexe Zahl mit Re (s) > 0. Es sei M (T ) die Menge aller nat¨ urlichen Zahlen, die sich als Produkt von Primzahlen aus T darstellen lassen. Dann ist X 1 Y 1 = . −s s 1 − p n p∈T n∈M (T )

Beweis. Sei T = {p1 , . . . , pk }. Es ist |p−s | < 1 nach Voraussetzung u ¨ber den Realteil. Unter Verwendung der geometrischen Reihe ergibt sich Y 1 1 1 = −s · · · −s 1−p 1 − p1 1 − p−s k p∈T ! ! ∞ ∞ X X −s i −s i (p1 ) · · · (pk ) = i=0 i=0 X −s ik i1 = (p−s 1 ) · · · (pk ) 0≤i1 ,...,ik <∞

X

=

=

0≤i1 ,...,ik <∞ X −s

(pi11 · · · pikk )−s

n .

n∈M (T )

 Aus dieser Aussage ergibt sich sofort ein neuer Beweis daf¨ ur, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Wenn es n¨amlich nur endlich viele Primzahlen g¨abe, so k¨onnte man T als die endliche Menge aller Primzahlen ansetzen. Es w¨are dann M (T ) = N. F¨ ur s = 1 st¨ unde dann links eine reelle Zahl, und rechts w¨ urde die Summe u urlichen Kehrwerte stehen. Dies ¨ber alle nat¨ ist aber die harmonische Reihe, und diese divergiert! Satz 11.5. Sei s eine komplexe Zahl mit ℜ(s) > 1. Dann gilt f¨ ur die Riemannsche ζ-Funktion die Produktdarstellung ∞ Y X 1 1 = . ζ(s) = s n 1 − p−s n=1 p∈P Beweis. Dies folgt aus Lemma 11.4, wenn man f¨ ur T die Menge der ersten k Primzahlen u ¨berhaupt ansetzt und dann k gegen unendlich laufen l¨asst. Die Konvergenz der linken Seite, also die Wohldefiniertheit der ζ-Funktion, sichert dabei auch die Konvergenz der rechten Seite.  Korollar 11.6. Das unendliche Produkt Y 1 p∈P

divergiert.

1 − p−1

99

Beweis. Dies folgt aus Lemma 11.4 f¨ ur s = 1. Man hat die Gleichheit X 1 Y 1 = , −1 1 − p n p∈T n∈M (Tk )

k

wobei Tk die ersten k Primzahlen umfasse. F¨ ur k → ∞ ergibt sich rechts die harmonische Reihe, die bekanntlich divergiert. Also divergiert auch das Produkt links.  Wir k¨onnen nun die oben formulierte Frage beantworten. Satz 11.7. Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen, also X1 p∈P

p

divergiert. Q Beweis. Das Produkt ki=1 1−p1 −1 divergiert f¨ ur k → ∞ aufgrund von Koi rollar 11.6 und ist insbesondere unbeschr¨ankt. Daher ist auch der nat¨ urliche Logarithmus davon unbeschr¨ankt. Dieser ist !   k k k X X Y  1 1 −1 = = − ln ln 1 − p . ln i 1 − p−1 1 − p−1 i i i=1 i=1 i=1 Die Potenzreihenentwicklung des nat¨ urlichen Logarithmus ist ln(1 − x) = −

∞ X xj j=1

j

f¨ ur |x| < 1. Angewendet auf die vorstehende Situation ergibt das ! ! ∞ k k ∞ k −1 j j X X X X X (p−1 ) 1 (p ) i i = . + j p j i j=1 i=1 i=1 j=2 i=1

F¨ ur die hinteren Summanden hat man die Absch¨atzungen !  2 X  2 ∞  j ∞  j ∞ j X X 2 1 1 1 1 1 (p−1 ) i , = ≤ = −1 ≤ j pi pi pi pi p2i 1 − pi j=0 j=2 j=2

wobei hinten wieder die geometrische Reihe benutzt wurde. Damit ist insgesamt ! ∞ k k j X X X 1 X (p−1 ) 2 i ≤ 2 . ≤ j p2 n2 j=2 i=1 i=1 i n∈N +

Da die Summe der reziproken Quadrate konvergiert, ist diese Gesamtsumme P beschr¨ankt. Daher ist die Summe ki=1 p1i unbeschr¨ankt, was die Behauptung ist. 

100

Bemerkung 11.8. Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus p und p + 2, wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind. Die ersten Beispiele sind (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), . . . . Es ist ein offenes Problem der Zahlentheorie, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt (was aber stark vermutet wird). Dagegen ist bekannt, dass die zugeh¨orige Reihe, also X 1 p p,p+2∈P

konvergiert. In diesem Sinne gibt es also, verglichen mit der Gesamtzahl der Primzahlen, wenige Primzahlzwillinge.

Bemerkung 11.9. Die Frage, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, besitzt verschiedene schw¨achere Varianten. Man kann sich zum Beispiel fragen, ob es unendlich oft vorkommt, dass es in einem Zehnerintervall zwei Primzahlen gibt, oder dass es in einem Hunderterintervall zwei Primzahlen gibt, und so weiter. Die ersten Primzahlen vermitteln dabei ein Bild, dass Primzahlen ziemlich h¨aufig sind. Sie werden aber zunehmend seltener, so dass es f¨ ur hohe Hunderterintervalle, sagen wir f¨ ur die Zahlen von 1000000000000000 bis 1000000000000100 ziemlich unwahrscheinlich ist, eine Primzahl zu enthalten, geschweige denn zwei Primzahlen. Bis vor kurzem war es nicht bekannt, ob es u ¨berhaupt eine Zahl m mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Intervalle der L¨ange m gibt, die zwei Primzahlen enthalten (m = 2 w¨are die positive L¨osung des Primzahlzwillingsproblems). Im Jahr 2013 bewies Zhang Yitang, dass man m = 70000000 nehmen kann, dass es also unendlich viele Intervalle der Form [k, k + 70000000] gibt, in denen zwei Primzahlen liegen. Dieses Resultat ist ein Durchbruch in der Primzahlzwillingforschung, da es erstmals zeigt, dass sich Primzahlen unendlich oft ziemlich nahe“ kommen. Zwischenzeitlich wurde die Schranke ” von 70000000 auf 252 gesenkt, siehe http://arxiv.org/pdf/1402.4849v2.pdf. 11.2. Die Funktion π(x). Es geh¨ort zu den schwierigsten Fragen der Zahlentheorie und der Mathematik u ¨berhaupt, die Verteilung der Primzahlen zu verstehen. Viele offene Fragen und Vermutungen beziehen sich auf Teilaspekte dieses Problems. Einfachere Fragestellungen, die bereits die Schwierigkeit im Allgemeinen erahnen lassen, sind etwa: gibt es mehr Primzahlen unterhalb von n als zwischen n und n2 ? Gibt es stets eine Primzahl zwischen n und 2n? Gibt es stets eine Primzahl zwischen n2 und (n + 1)2 ?

101

Es ist hilfreich, die folgende Funktion einzuf¨ uhren, die Primzahlfunktion genannt wird. Definition 11.10. Die f¨ ur x ∈ R definierte Funktion x 7−→ π(x) := #{p ≤ x, p Primzahl} heißt Primzahlfunktion.

Charles-Jean de La Vall´ee Poussin (1866 L¨ owen - 1962 Br¨ ussel)

Jacques Salomon Hadamard (1865 Versailles - 1963 Paris)

Bemerkung 11.11. Die Primzahlfunktion z¨ahlt also, wie viele Primzahlen es unterhalb einer gewissen Schranke gibt. Sie nimmt offenbar nur nat¨ urliche Zahlen als Werte an und sie ist eine monton wachsende Treppenfunktion. Sie hat genau an den Primzahlen eine Sprungstelle. Die Frage nach der Verteilung von Primzahlen ist gleichbedeutend dazu, gute Approximationen bzw. Absch¨atzungen f¨ ur sie durch andere, besser verstandene (analytische) Funktionen zu finden. Ein Hauptresultat der analytischen Zahlentheorie ist der sogenannte Primzahlsatz von Hadamard und de la Vall´ee Pousin von 1896. Es besagt grob gesprochen, dass sich die Primzahlfunktion π(x) in etwa so verh¨alt wie x/ ln(x), also dass der Quotient der beiden Funktionen gegen 1 konvergiert. Hier tritt der nat¨ urliche Logarithmus (zur Basis e) auf. Satz 11.12. Es gilt die asymptotische Absch¨atzung π(x) ∼

x . ln(x)

102

Das heißt lim

π(x)

x x→∞ ln(x)

π(x) ln(x) = 1. x→∞ x

= lim

Beweis. Dies ist ein Satz der analytischen Zahlentheorie, den wir hier nicht beweisen. 

Den Primzahlsatz kann man auch so verstehen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl in der Gr¨oßenordnung x eine Primzahl ist, gleich ln1 x ist. In der Tat ist R x sogar das Integral dazu, also der sogenannte Integrallogarithmus Li(x) = 2 ln1 t dt eine bessere Approximation f¨ ur π(x) als x/ ln x. F¨ ur x = x 1000000 ist π(x) = 78498, Li(x) = 78628 und ln x = 72382 (die beiden letzten Werte gerundet).

Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)

Wir erw¨ahnen abschließend ohne Beweis noch den Satz von Dirichlet. Einzelne Spezialf¨alle werden in den Aufgaben besprochen.

103

Satz 11.13. Sei n eine nat¨ urliche Zahl und a eine zu n teilerfremde Zahl. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen, die modulo n den Rest a haben. Beweis. Dies ist ein Satz der analytischen Zahlentheorie, den wir im Rahmen dieser Vorlesung nicht beweisen k¨onnen. 

Generationen¨ ubergreifend forschen. Hier Paul Erd?s und Terence Tao.

Der folgende Satz wurde 2004 von Ben Green und Terence Tao bewiesen. Satz 11.14. Zu jedem k gibt es arithmetische Progressionen der L¨ange k, die nur aus Primzahlen bestehen. Beweis. Dies k¨onnen wir hier nicht beweisen.



Eine arithmetische Progression innerhalb der Primzahlen der L¨ange 7 ist 7, 157, 307, 457, 607, 757, 907 . Die derzeit l¨angste bekannte arithmetische Progression besitzt 26 Glieder, n¨amlich 43142746595714191 + 23681770 · 223092870 · n, f¨ ur n = 0, . . . , 25 . 11. Arbeitsblatt ¨ 11.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 11.1. Finde die kleinste Zahl N der Form N = p1 · p2 · . . . · pr + 1, die keine Primzahl ist, wobei p1 , p2 , . . . , pr die ersten r Primzahlen sind. Aufgabe 11.2. Berechne den Ausdruck n2 + n + 41 f¨ ur n = 0, 1, 2, . . . . Handelt es sich dabei um Primzahlen? Aufgabe 11.3. Sei K ein K¨orper und sei K[X] der Polynomring u ¨ber K. Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in K[X] gibt.

104

Aufgabe 11.4. Zeige, dass die Reihe ∞ X 1 ns n=1

f¨ ur reelles s ≤ 1 divergiert.

Aufgabe 11.5. Zeige, dass die Reihe ∞ X 1 ns n=1

f¨ ur eine komplexe Zahl s mit Re (s) > 1 absolut konvergiert.

Aufgabe 11.6. Berechne den Wert der Reihe X 1 . n4 n∈M ({3,5,7})

Aufgabe 11.7. Zeige, dass das uneigentliche Integral

divergiert.

Z

∞ 2

1 x ln x

Welche Beziehung besteht zwischen der vorstehenden Aufgabe und Satz 11.7? Aufgabe 11.8. Zeige, dass es außer 3, 5, 7 kein weiteres Zahlentripel der Form p, p + 2, p + 4 gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind. Aufgabe 11.9. Zeige, dass es eine gerade Zahl g, 2 ≤ g ≤ 252, mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Primzahlen p derart gibt, dass auch p + g eine Primzahl ist. Aufgabe 11.10.* Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo 4 den Rest 1 besitzen. Aufgabe 11.11. Zeige unter Verwendung des Satzes von Dirichlet, dass eine Primzahl q modulo unendlich vieler Primzahlen p ein quadratischer Rest ist, aber auch modulo unendlich vieler Primzahlen ein nichtquadratischer Rest. Aufgabe 11.12. Zeige, dass es keine unendlich lange arithmetische Progression gibt, die nur aus Primzahlen besteht.

105

11.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 11.13. (3 Punkte) Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo 4 den Rest 3 besitzen.

Aufgabe 11.14. (6 Punkte) Von wie vielen Zahlen ist durchschnittlich“ die Zahl 7 der kleinste Prim” teiler? Erl¨autere dabei, warum diese Frage durchaus einen Sinn macht. Beschreibe alle Zahlen, deren kleinster Primteiler 7 ist (begr¨ unde!). Beantworte die entsprechenden Fragen f¨ ur eine beliebige Primzahl. Bis zu welcher Primzahl p muss man gehen, damit durchschnittlich mindestens 80% (oder 85% oder 90%) aller Zahlen einen Primteiler ≤ p besitzen. Aufgabe 11.15. (3 Punkte) Sei a > 1 eine reelle Zahl. Zeige, dass die Anzahl π(ax) − π(x) unbeschr¨ankt ist.

Aufgabe 11.16. (3 Punkte) Berechne das unendliche Produkt Y

1 . −2 1 − p p∈P, p≥7

12. Vorlesung - Primzahlen und ihre Verteilung II 12.1. Die Absch¨ atzungen von Tschebyschow. Wir wollen in diesem Abschnitt die Absch¨atzungen von Tschebyschow beweisen, die die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer gewissen Zahl sowohl nach oben als auch nach unten absch¨atzen. Es geht um Absch¨atzungen der Form x x ≤ π(x) ≤ C . c ln x ln x mit geeigneten Konstanten c und C. Diese stellen eine Vorstufe zum Primzahlsatz von Hadamard und de la Vall´ee Pousin dar. Ihr Beweis ben¨otigt einige Vorbereitungen.

106

Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow (1821-1894 Petersburg)

Definition 12.1. Die erste Tschebyschow-Funktion ϑ(x) ist durch X ϑ(x) = ln(p) p≤x,p prim

gegeben.

Lemma 12.2. Die Tschebyschow-Funktion ϑ(x) = der Absch¨atzung ϑ(x) < (4 ln(2))x.

P

p∈P, p≤x

ln(p) gen¨ ugt

Beweis. Der Binomialkoeffizient   (2n) · (2n − 1) · · · (n + 2) · (n + 1) 2n = n n · (n − 1) · · · 2 · 1 wird von allen Primzahlen p mit n < p ≤ 2n geteilt, da diese den Z¨ahler, aber nicht den Nenner teilen. Aus der allgemeinen Binomischen Formel ergibt sich die Absch¨atzung    2n  X 2n 2n 2n 2n . > 2 = (1 + 1) = n k k=0 Diese zwei Beobachtungen ergeben zusammen die Absch¨atzung Y 22n > p. n
Wir wenden auf diese Absch¨atzung den nat¨ urlichen Logarithmus an und erhalten X 2n ln(2) > ln(p) = ϑ(2n) − ϑ(n). n
Geschicktes Aufsummieren ergibt dann

ϑ(2r ) − ϑ(1) = (ϑ(2) − ϑ(1)) + (ϑ(4) − ϑ(2)) + · · · + (ϑ(2r ) − ϑ(2r−1 ))

107

< 2 ln(2) + 4 ln(2) + · · · + 2 · 2r−1 ln(2) r−1 X = 2 · 2i · ln(2) i=0

= 2 ln(2)(1 + 2 + 4 + · · · + 2r−1 ) = 2 ln(2)(2r − 1) = ln(2)(2r+1 − 2).

Insbesondere erh¨alt man f¨ ur Zahlen x mit 2r−1 < x ≤ 2r die Absch¨atzung

ϑ(x) ≤ ϑ(2r ) < (2r+1 −2) ln(2) < 2r+1 ln(2) = (4 ln(2))·2r−1 < (4 ln(2))·x.  In der folgenden Aussage, die Legendres Identit¨at heißt, bezeichnen wir den p-Exponenten mit νp . Lemma 12.3. F¨ ur eine Primzahl p und eine nat¨ urliche Zahl n ist       n n n + 2 + 3 + .... νp (n!) = p p p Beweis. Hierzu muss man einfach z¨ahlen, wie viele der Zahlen zwischen 1 und n Vielfache von p, wie viele Vielfache von p2 etc. sind. Das ergibt genau die Summe rechts.  Wir kommen nun zu den Absch¨atzungen von Tschebyschow. Satz 12.4. Es gibt Konstanten C > c > 0 derart, dass die Primzahlfunktion π(x) f¨ ur alle x den Absch¨atzungen x x c ≤ π(x) ≤ C ln(x) ln(x) gen¨ ugt. √ Beweis. Wir betrachten zuerst die Absch¨atzung nach oben. F¨ ur x < p gilt ln(x)/2 < ln(p) und somit 2 ln(p)/ ln(x) > 1. Ferner gilt die Absch¨atzung √ 2 x > ln(x) und somit √ √ x = x/ x < 2x/ ln(x). Aus diesen zwei Vor¨ uberlegungen und aus Lemma 12.2 folgt dann die Absch¨atzung √ √ − π( x)) π(x) = π( x) + (π(x) X √ 1 x+ ≤ √

<



x+

x


2  X ln(x) √

x


ln(p)

108



2 ϑ(x) ln(x) √ 2 x+ < (4 ln(2))x ln(x) x . ≤ (2 + 8 ln(2)) ln(x) <

x+

Die Absch¨atzung ist also mit C = 2 + 8 ln(2) erf¨ ullt. Wir betrachten nun die Absch¨atzung nach unten. Nach Legendres Identit¨at ist     (2n)! 2n = νp νp n!n! n =  νp ((2n)!) − 2νp (n!)      2n n 2n n = + ··· + k − 2 + ··· + k p p p p     k X 2n n = −2 j . j p p j=1

Die Summe l¨ajuft hierbei bis zum maximalen k mit pk ≤ 2n, also bis k = k . Da die einzelnen Summanden der letzten Summe nur ⌊logp (2n)⌋ = ln(2n) ln(p) 0 oder 1 sein k¨onnen, folgt,     2n ln(2n) . νp ≤ ln(p) n Durch betrachten aller Primzahlen ergibt sich daraus die Absch¨atzung   Y ln(2n) 2n ≤ p⌊ ln(p) ⌋ . n p<2n,p prim

Andererseits ist 2n 2n − 1 n+1 2 ≤ ··· = n n−1 1 n

  2n . n

Wir wenden den Logarithmus auf die zusammengesetzte Absch¨atzung an und erhalten X  ln(2n)  ln(p). n ln(2) ≤ ln(p) p<2n k j √ ln(2n) = 1. Wir verwenden dies und damit F¨ ur p > 2n ist ln(p) > ln(2n) 2 ln(p) in der folgenden Aufspaltung und erhalten X  ln(2n)  X  ln(2n)  n ln(2) ≤ ln(p) + ln(p) ln(p) ln(p) √ √ p≤ 2n 2n


2n
109





2n ln(2n) + ϑ(2n).

Dies ergibt die Absch¨atzung ϑ(2n) ≥ n ln(2) −



2n ln(2n) n

!

.

Der Bruch rechts ist beschr¨ankt (und konvergiert gegen 0). Man erh¨alt also eine positive Konstante M mit ϑ(2n) ≥ M n f¨ ur n hinreichend groß. F¨ ur x zwischen 2n und 2n + 2 hat man x−2 , ϑ(x) ≥ ϑ(2n) ≥ M n ≥ M 2 und dies ist wiederum ≥ N x f¨ ur eine geeignete positive Schranke N (und f¨ ur x hinreichend groß). Dann gibt es aber auch eine positive Schranke c mit ϑ(x) ≥ cx f¨ ur alle x ≥ 2. Aus X cx ≤ ϑ(x) = ln(p) ≤ π(x) ln(x) p≤x

folgt nun

x c ln(x)

≤ π(x) wie behauptet.

Korollar 12.5. Es ist



π(x) = 0. x→∞ x lim

Beweis. Nach Satz 12.4 nach oben gilt 1 π(x) ≤ C . x ln(x) Da der Logarithmus gegen unendlich strebt, geht der Kehrwert gegen 0, was die Behauptung impliziert.  Die Aussage dieses Korollars bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine zuf¨allig aus dem Intervall [1, x] gew¨ahlte nat¨ urliche Zahl prim ist, bei x hinreichend groß beliebig klein ist. Satz 12.6. Es gibt eine reelle Zahl D > 1 derart, dass es f¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n ≥ 1 zwischen n + 1 und Dn stets eine Primzahl gibt. Beweis. In Lemma 12.2 und im Beweis zur Absch¨atzung von Tschebyschow nach unten haben wir gesehen, dass es reelle positive Konstanten b und B gibt mit bx < ϑ(x) < Bx. Mit D = B/b gilt dann ϑ(Dx) > bDx = Bx > ϑ(x). Daher liegt zwischen x und Dx mindestens eine Primzahl.



110

In diesem Satz kann man sogar D = 2 erreichen. Dies war von Joseph Bertrand vermutet worden und wurde von Tschebyschow bewiesen. Man spricht vom Bertrandschen Postulat.

Joseph Bertrand (1822-1900 Paris)

Satz 12.7. F¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n gibt es eine Primzahl zwischen n + 1 und 2n. Beweis. Dies werden wir hier nicht beweisen. Die Ausage ist aber prinzipiell mit den in diesem Abschnitt verwendeten Methoden beweisbar.  Ein offenes Problem ist hingegen die Vermutung von Legendre, die besagt, dass es zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen, also zwischen n2 und (n + 1)2 stets eine Primzahl gibt. 12. Arbeitsblatt ¨ 12.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 12.1.* Betrachte die Quadratrestgruppe Q× /Q×2 , wobei Q×2 die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse x ∈ Q× /Q×2 einen Repr¨asentanten aus Z gibt. Aufgabe 12.2. Zeige, dass f¨ ur jedes x ∈ R die Absch¨atzungen gelten.

0 ≤ ⌊2x⌋ − 2 ⌊x⌋ ≤ 1

111

Aufgabe 12.3.* Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von 100!. Aufgabe 12.4.* Bestimme die Primfaktorzerlegung von 10!. Aufgabe 12.5. Bestimme die Primfaktorzerlegung von   20 . 10 Aufgabe 12.6. Zeige mit Hilfe des Bertrandschen Postulats, dass f¨ ur jedes n ≥ 2 der Binomialkoeffizient   2n n einen Primfaktor gr¨oßer als n besitzt. Aufgabe 12.7. Zeige, dass f¨ ur n ≥ 2 die Fakult¨at n! keine Quadratzahl ist. Aufgabe 12.8.* Sei n ∈ N+ . Zeige, dass das Produkt von n aufeinanderfolgenden nat¨ urlichen Zahlen von n! geteilt wird. Zur Erinnerung. Aufgabe 12.9. Zeige, dass die Logarithmen zur Basis b die folgenden Rechenregeln erf¨ ullen. (1) Es ist logb (bx ) = x und blogb (y) = y, das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis b. (2) Es gilt logb (y · z) = logb y + logb z (3) Es gilt logb y u = u · logb y f¨ ur u ∈ R. (4) Es gilt  loga y = loga blogb y = logb y · loga b. Aufgabe 12.10. Sei ϕ(n) die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge n ∈ N, sowohl in 1 als auch in 31 einen H¨aufungspunkt besitzt.

ϕ(n) , n

112

12.2. Aufgaben zum Abgeben.

Aufgabe 12.11. (4 Punkte) Sei ϕ(n) die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge 1 als auch in 0 einen H¨aufungspunkt besitzt.

ϕ(n) , n

n ∈ N, sowohl in

Aufgabe 12.12. (5 Punkte) Beweise Korollar 12.5, also die Aussage, dass π(x) = 0 x→∞ x lim

ist, mit Hilfe von Korollar 11.6 u ¨ber die Riemannsche ζ-Funktion.

Aufgabe 12.13. (4 Punkte) Bestimme anhand des Beweises der Ungleichungen von Tschebyschow einen x expliziten Wert f¨ ur c mit π(x) ≥ c ln(x) .

Aufgabe 12.14. (4 Punkte) Zeige unter Verwendung der Ungleichungen von Tschebyschow, dass es (zumindest f¨ ur x hinreichend groß) mehr Primzahlen zwischen x und x2 als zwischen 1 und x gibt. 13. Vorlesung - Spezielle Primzahlen I 13.1. Mersenne-Primzahlen. Definition 13.1. Eine Primzahl der Form 2n − 1 heißt Mersennesche Primzahl. Generell nennt man die Zahl Mn = 2n − 1 die n-te Mersenne-Zahl. Mit dieser Bezeichnung sind die Mersenne-Primzahlen genau diejenigen MersenneZahlen, die Primzahlen sind. Eine Mersenne-Zahl besitzt im Zweiersystem die Ziffernentwicklung 11111 . . . 1111. Das ist auch die Anzahl der Spiele in einem im K.-o.-System ausgetragenen Pokalwettbewerb mit 2n Mannschaften.

113

Marin Mersenne (1588-1648)

Lemma 13.2. Ist 2n − 1 eine Primzahl, so ist auch n eine Primzahl. Beweis. Sei eine Darstellung n = ab mit nat¨ urlichen Zahlen a, b gegeben. Wir setzen in der polynomialen Identit¨at X k − 1 = (X − 1)(X k−1 + X k−2 + · · · + X + 1)

X = 2a und k = b ein und erhalten, dass 2a − 1|2n − 1. Da 2n − 1 als prim vorausgesetzt wurde, folgt 2a − 1 = 1 oder 2a − 1 = 2n − 1, also a = 1 oder a = n.  Bemerkung 13.3. Die Mersenne-Zahl Mn = 2n − 1 hat im Dualsystem eine Entwicklung, die aus genau n Einsen besteht. Die ersten MersennePrimzahlen sind 22 − 1 = 3, 23 − 1 = 7, 25 − 1 = 31, 27 − 1 = 127 .

Die Zahl 211 − 1 = 2047 = 23 · 89 ist die erste Mersenne-Zahl, wo der Exponent zwar prim ist, die aber selbst keine Mersenne-Primzahl ist. Dies wurde 1536 von Hudalrichus Regius (Walter Hermann Ryff) gezeigt. Der n¨achste Kandidat, n¨amlich 213 − 1 = 8191, ist wieder prim. Bis ca. 1950 war bekannt, dass f¨ ur die Exponenten 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 und 127 Mersenne-Primzahlen vorliegen, und keine weiteren unterhalb des Exponenten 258. Von verschiedenen Leuten, unter anderem von Cataldi und Mersenne selbst, wurden falsche Behauptungen aufgestellt. Ab ca. 1950 kamen Computer zum Bestimmen von Mersenne-Primzahlen zum Einsatz, und es wurden bisher insgesamt 49 Mersenne-Primzahlen gefunden. Die gr¨oßte ist 274207281 − 1 .

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt.

114

Alle gr¨oßten bekannten Primzahlen sind Mersenne-Zahlen. Das liegt daran, dass es f¨ ur diese Zahlen einen vergleichsweise einfachen Primzahltest gibt, n¨amlich den Lucas-Lehmer-Test. Mit diesem Test wird etwa alle zwei Jahre eine neue gr¨oßte Primzahl gefunden. F¨ ur eine Rekordliste siehe MersennePrimzahlen. Mersenne-Zahlen stehen in direktem Verh¨altnis zu den vollkommenen Zahlen. 13.2. Vollkommene Zahlen. Definition 13.4. Eine nat¨ urliche Zahl n heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe all ihrer von n verschiedenen Teiler u ¨bereinstimmt. Bereits Euklid stellte fest, dass die ersten vier vollkommenen Zahlen sich als 2k−1 (2k − 1) darstellen lassen: • F¨ ur k = 2: 21 (22 − 1) = 6 = 1 + 2 + 3 • F¨ ur k = 3: 22 (23 − 1) = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 • F¨ ur k = 5: 24 (25 − 1) = 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 • F¨ ur k = 7: 26 (27 − 1) = 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064. Euklid bewies, dass 2k−1 (2k −1) immer dann eine vollkommene Zahl ist, wenn 2k − 1 eine Primzahl, also eine Mersenne-Primzahl ist. Euler bewies, dass auf diese Weise alle geraden vollkommenen Zahlen erzeugt werden k¨onnen. Bevor wird diesen Satz von Euklid-Euler beweisen, brauchen wir eine kleine Vor¨ uberlegung. Definition 13.5. Zu einer nat¨ urlichen Zahl n bezeichnet man die Summe aller nat¨ urlichen Teiler von n als σ(n), also X σ(n) = t. t|n

Eine vollkommene Zahl kann man also dadurch charakterisieren, dass σ(n) = 2n ist. Lemma 13.6. Zu zwei nat¨ urlichen teilerfremden Zahlen n und m gilt σ(nm) = σ(n)σ(m). Beweis. Bei zwei teilerfremden Zahlen n und m hat jeder positive Teiler t des Produkts nm die eindeutige Form t = ab, wobei a ein Teiler von n und

115

b ein Teiler von m ist. Also gilt σ(nm) =

X

t =

t|mn

a|m

X

und

b|n

   X X b = σ(n)σ(m). a  ab =  a|n

b|m



Damit k¨onnen wir beweisen. Satz 13.7. Eine gerade Zahl n ist genau dann vollkommen, wenn n = 2k−1 (2k − 1) ist mit 2k − 1 prim.  Beweis. Sei zun¨achst n = 2k−1 2k − 1 mit 2k − 1 prim. Dann sind die von n verschiedenen Teiler von n durch 2i , i = 0, . . . , k − 1, und 2i (2k − 1), i = 0, . . . , k − 2

gegeben. Daher ist ihre Summe gleich k−1 X i=0

i

k

2 + (2 − 1)

k−2 X i=0

2i = 2k − 1 + 2k − 1



  2k−1 − 1 = 2k − 1 2k−1 = n,

also ist n vollkommen. Sei umgekehrt n vollkommen. Wir setzen (in Anlehnung an das Ziel) an n = 2k−1 u mit u ungerade und k ≥ 2, da ja n gerade ist. F¨ ur teilerfremde Zahlen ist nach Lemma 13.6 die Teilersumme gleich dem Produkt der beiden Teilersummen. Daher ist einerseits    σ(n) = σ 2k−1 u = σ 2k−1 σ(u) = 2k − 1 σ(u) und andererseits wegen der Vollkommenheit σ(n) = 2n = 2k u. Insgesamt ergibt sich also 2k − 1 σ(u) = 2k u. Da 2k − 1 ungerade ist, gilt σ(u) = x2k und u = x(2k − 1) .

Die Annahme x > 1 f¨ uhrt schnell zum Widerspruch, da es dann zumindest die drei verschiedenen Teiler 1, x, x(2k − 1) von u gibt, was zu  σ(u) ≥ 2k − 1 x + 1 + x > 2k x

f¨ uhrt. Also ist x = 1 und somit σ(u) = 2k = u + 1. Die Teilersumme einer Zahl u ist aber gleich u + 1 nur dann, wenn eine Primzahl vorliegt.  Es ist unbekannt, ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt, da es ja auch unbekannt ist, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt. Es ist unbekannt, ob es u ¨berhaupt auch ungerade vollkommene Zahlen gibt.

116

13.3. Befreundete Zahlen. Definition 13.8. Zwei verschiedene nat¨ urliche Zahlen m und n heißen befreundet, wenn m gleich der Summe der echten Teiler von n ist und umgekehrt. Das klassische Beispiel f¨ ur ein befreundetes Zahlenpaar ist 220 und 284. Die Summe der echten Teiler von 220 ist 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 und die Summe der echten Teiler von 284 ist 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. Zwei verschiedene Zahlen sind genau dann befreundet, wenn σ(m) = m + n = σ(n) ist. Der folgende Satz erlaubt es, einige weitere befreundete Zahlenpaare zu finden, aber keineswegs alle. Man spricht von der Regel von Thabit. Satz 13.9. Sei k ≥ 2 eine nat¨ urliche Zahl und seien a = 3 · 2k−1 − 1, b = 3 · 2k − 1 und c = 9 · 22k−1 − 1 allesamt Primzahlen. Dann sind m = 2k ab und n = 2k c

befreundet. Beweis. Wir berechnen σ(m), σ(n) und m + n. Es ist σ(m) = σ(2k ab) = σ(2k )σ(a)σ(b)    = 2k+1 − 1 3 · 2k−1 3 · 2k = 2k+1 − 1 · 9 · 22k−1 .

Weiter ist

σ(n) = = = = Schließlich ist m+n = = = = =

σ(2k c) σ(2k )σ(c) (2k+1 − 1)(1 + c) (2k+1 − 1) · 9 · 22k−1 .

2k (ab + c)    2k 3 · 2k−1 − 1 3 · 2k − 1 + 9 · 22k−1 − 1  k 2k−1 2k 9 · 22k−1 − 3 · 2k−1 − 3 · 2 + 9 · 2  2k 9 · 22k − 9 · 2k−1 2k 2k−1 · 9 2k+1 − 1 .



117

2 3 4 5 6 7

a = 3 · 2k−1 − 1

5 11 23 47 95 = 5 · 19 (nicht prim) 191

b = 3 · 2k − 1 11 23 47 95 191 383

c = 9 · 22k−1 − 1

m = 2k ab

n = 2k c

220

284

17296

18416

9363584

9437056

71 287 = 7 · 41 (nicht prim) 1151 4607 = 17 · 271 (nicht prim) 18431 = 7 · 2633 (nicht prim) 73727

Das Paar 1184 und 1210 ist befreundet, aber nicht u ¨ber die Regel von Thabit erh¨altlich. 13.4. Zahlentheoretische Funktionen. Definition 13.10. Eine Funktion N+ −→ C

nennt man zahlentheoretische Funktion.

Eine zahlentheoretische Funktion ist also einfach eine komplexwertige Folge. Im zahlentheoretischen Kontext sind die beiden folgenden Definitionen wichtig. Definition 13.11. Eine zahlentheoretische Funktion f : N+ −→ C

heißt multiplikativ, wenn f¨ ur teilerfremde Zahlen m, n stets f (mn) = f (m)f (n) gilt. An multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen haben wir bisher die eulersche ϕ-Funktion, die Teileranzahlfunktion und oben die Teilersummenfunktion kennengelernt. Definition 13.12. Zu zahlentheoretischen Funktionen f, g : N+ → C heißt die durch n X (f ∗ g)(n) := f (d)g d d teilt n definierte Funktion die Faltung von f und g. Diese Summe kann man auch in der Form X f (d)g(e) n=de

schreiben. Summiert wird nur u ¨ber die positiven Teilerpaare, was bei dieser Schreibweise u bersehen werden k¨onnte. ¨

Lemma 13.13. Zu multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen f, g :→ N+ C ist auch die Faltung f ∗ g multiplikativ.

118

Beweis. Es seien f, g multiplikativ und es seien m, n teilerfremde nat¨ urliche Zahlen. Zu einer Faktorzerlegung de = mn gibt es aufgrund der Teilerfremdheit eine eindeutige Aufspaltung d = ru und e = sv mit r, u und s, v teilerfremd und mit rs = m und uv = n. Daher ist X (f ∗ g)(m · n) = f (d)g(e) d·e=m·n X = f (ru)g(sv) rs=m, uv=n

X

=

f (r)f (u)g(s)g(v)

rs=m, uv=n

=

X

f (r)g(s)

r·s=m

!

·

X

u·v=n

f (u)g(v)

!

= (f ∗ g)(m) · (f ∗ g)(n), also ist auch f ∗ g multiplikativ.



Definition 13.14. Die zahlentheoretische Funktion N+ → C, die f¨ ur 1 den Wert 1 und sonst u ¨berall den Wert 0 besitzt, wird mit I bezeichnet. Sie heißt die Faltungseinheit. Definition 13.15. Die zahlentheoretische Funktion N+ → C, die u ¨berall den Wert 1 besitzt, wird mit U bezeichnet. Definition 13.16. Die zahlentheoretische Funktion µ : N+ → C, die durch   0, falls in der Primfaktorzerlegung von n µ(n) := manche Primfaktoren mehrfach auftreten,  (−1)k , falls n = p · · · p mit verschiedenen Primfaktoren . 1 k

gegeben ist, heißt M¨obius-Funktion.

Lemma 13.17. F¨ ur die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen gelten die folgenden Aussagen. (1) Die Faltung ist eine kommutative und assoziative Verkn¨ upfung. (2) Die Faltungseinheit I ist das neutrale Element der Verk¨ upfung. (3) Es ist U ∗ µ = I. Beweis. Siehe Aufgabe 8.9.



119

13. Arbeitsblatt ¨ 13.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 13.1. Eine nat¨ urliche Zahl n ist genau dann vollkommen, wenn die Stammbruchsummenbedingung X 1 =1 d d|n, d6=1

gilt. Schreibe f¨ ur einige vollkommene Zahlen die Stammbruchsumme hin.

Aufgabe 13.2. Sei n eine gerade vollkommene Zahl. Berechne die eulersche Funktion ϕ(n). In den folgenden Aufgaben werden einige Begriffe verwendet, die mit dem Begriff der vollkommenen Zahl in Verbindung stehen. Eine nat¨ urliche Zahl n heißt defizient, wenn die Summe der Teiler kleiner als 2n ist. Eine nat¨ urliche Zahl n heißt abundant, wenn die Summe der Teiler gr¨oßer als 2n ist. Eine nat¨ urliche abundante Zahl heißt sonderbar, wenn sie nicht als eine Teilsumme von ihren echten Teilern darstellbar ist. Aufgabe 13.3. Zeige: eine Primzahlpotenz pr ist defizient. Aufgabe 13.4. Sei n > 6 ein Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen. Zeige, dass dann n defizient ist. Aufgabe 13.5. Zeige ohne Verwendung der Regel von Thabit, dass die beiden Zahlen 220 und 284 befreundet sind. Aufgabe 13.6. Erg¨anze die folgende Tabelle um weitere Zeilen. 2 3 4 5 6 7

a = 3 · 2k−1 − 1

5 11 23 47 95 = 5 · 19 (nicht prim) 191

b = 3 · 2k − 1 11 23 47 95 191 383

c = 9 · 22k−1 − 1

71 287 = 7 · 41 (nicht prim) 1151 4607 = 17 · 271 (nicht prim) 18431 = 7 · 2633 (nicht prim) 73727

m = 2k ab

n = 2k c

220

284

17296

18416

9363584

9437056

120

Aufgabe 13.7. Zeige, dass die zahlentheoretische M¨obius-Funktion multiplikativ ist. Aufgabe 13.8. Zeige, dass eine zahlentheoretische multiplikative Funktion durch ihre Werte an Primzahlpotenzen festgelegt ist. Aufgabe 13.9. Zeige, dass f¨ ur die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen die folgenden Aussagen gelten. (1) Die Faltung ist eine kommutative und assoziative Verkn¨ upfung. (2) Die Faltungseinheit I ist das neutrale Element der Verk¨ upfung. (3) Es ist U ∗ µ = I. Aufgabe 13.10. Zeige U ∗ U = T, wobei T die Teileranzahlfunktion bezeichnet. Aufgabe 13.11. Zeige, dass eine zahlentheoretische Funktion f : N+ → C genau dann invertierbar bez¨ uglich der Faltung ist, wenn ist.

f (1) 6= 0

In den folgenden Aufgaben bezeichnet E : N+ → C die Abbildung mit E(n) = n f¨ ur alle n ∈ N+ . Aufgabe 13.12. Zeige, dass zwischen der M¨obius-Funktion µ, der Identit¨at E und der eulerschen ϕ-Funktion die Beziehung besteht.

µ∗E = ϕ

Aufgabe 13.13. Zeige, dass zwischen den zahlentheoretischen Funktionen U, E, σ die Beziehung U ∗E = σ besteht. Aufgabe 13.14. Zeige, dass die Menge der zahlentheoretischen Funktionen mit der komponentenweisen Addition und der Faltung einen kommutativen Ring bildet.

121

13.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 13.15. (3 Punkte) Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen 233 − 1, 291 − 1, 213 + 1 . Aufgabe 13.16. (4 Punkte) Sei n eine gerade vollkommene Zahl, n 6= 6. Zeige, dass n die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Kubikzahlen ist.

Aufgabe 13.17. (3 Punkte) Sei n eine ungerade Zahl mit der Eigenschaft, dass in ihrer Primfaktorzerlegung nur zwei verschiedene Primfaktoren vorkommen. Zeige, dass dann n defizient ist.

Aufgabe 13.18. (4 Punkte) Finde eine ungerade abundante Zahl n.

Aufgabe 13.19. (3 Punkte) Finde die kleinste sonderbare Zahl.

Aufgabe 13.20. (3 Punkte) Zeige, dass der Quotient σ(n) n unbeschr¨ankt ist. 14. Vorlesung - Spezielle Primzahlen II 14.1. Fermatsche Primzahlen. Definition 14.1. Eine Primzahl der Form 2s + 1, wobei s eine positive nat¨ urliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl. Lemma 14.2. Bei einer Fermatschen Primzahl 2s + 1 hat der Exponent die Form s = 2r mit einem r ∈ N.

122

Beweis. Wir schreiben s = 2k u mit u ungerade. Damit ist  k u 2k u 2 + 1 = 22 + 1.

F¨ ur ungerades u gilt generell die polynomiale Identit¨at (da −1 eine Nullstelle ist)  X u + 1 = (X + 1) X u−1 − X u−2 + X u−3 − . . . + X 2 − X + 1 . k

k

Also ist 22 + 1 ≥ 3 ein Teiler von 22 u + 1. Da diese Zahl nach Voraussetzung prim ist, m¨ ussen beide Zahlen gleich sein, und dies bedeutet u = 1.  Eine Fermatsche Primzahl ist nach diesem Lemma also insbesondere eine Fermat-Zahl im Sinne der folgenden Definition. r

Definition 14.3. Eine Zahl der Form 22 + 1, wobei r eine nat¨ urliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl. Satz 14.4. Ein regul¨ares n-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von n die Gestalt n = 2α p 1 · · · p k hat, wobei die pi verschiedene Fermatsche Primzahlen sind. Beweis. Dieser Satz wird in einer Vorlesung u ¨ber K¨orpertheorie bzw. Galoistheorie bewiesen. 

Konstruktion eines regul¨aren F¨ unfecks mit Zirkel und Lineal

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Fermatsche Primzahlen gibt. Es ist noch nicht mal bekannt, ob es außer den ersten f¨ unf Fermat-Zahlen 3, 5, 17, 257, 65537 u ¨berhaupt weitere Fermat-Zahlen gibt, die prim sind. Der folgende Satz hilft bei der Auffindung von Primteilern, da er die Suche wesentlich einschr¨ankt.

123 r

Satz 14.5. Sei Fr = 22 + 1 eine Fermat-Zahl mit r ≥ 2. Dann erf¨ ullt jeder Primfaktor p von Fr die Bedingung p = 2r+2 a + 1 mit einem a ∈ N+ . r

Beweis. Sei also p ein Primteiler von Fr = 22 + 1. Dies bedeutet, dass in Z/(p) die Gleichung r 22 = −1 r+1 vorliegt. Nach quadrieren ist 22 = 1 und die Ordnung von 2 ist 2r+1 (eine kleinere Ordnung ist nicht m¨oglich, da diese ein Teiler von 2r+1 sein muss, r aber 22 6= 1 ist). Diese Ordnung ist ein Teiler von p − 1, woraus folgt, dass p = 1 mod 8 ist. Dies bedeutet nach dem zweiten Erg¨anzungssatz zum quadratischen Reziprozit¨atsgesetz, dass 2 ein Quadratrest modulo p ist. Sei x2 = 2 mod p. Dann ist aber die Ordnung von x genau 2r+2 . Nach dem Schluss von eben ist 2r+2 ein Teiler von p − 1, was p = 2r+2 a + 1 bedeutet.  Satz 14.6. Zwei verschiedene Fermatsche Zahlen Fm und Fn sind teilerfremd. Beweis. Sei m > n. Dann ist m

n

F m − 2 = 22 − 1 = 22

2m−n n

− 1.

Hierbei ist 2m−n gerade, und daher ist Fn = 22 + 1 ein Teiler von dieser Zahl. Das bedeutet, dass ein gemeinsamer Teiler von Fm und von Fn auch ein Teiler von Fm − 2 ist, also ein Teiler von 2. Da alle Fermat-Zahlen ungerade sind, bleibt nur 1 als gemeinsamer Teiler u  ¨brig. Bemerkung 14.7. Aus Satz 14.6 folgt erneut, dass es unendlich viele Primr zahlen gibt. Jede Fermatzahl Fr = 22 + 1 hat mindestens einen Primfaktor pr , und diese sind alle verschieden. 14.2. Sophie Germain Primzahlen. Definition 14.8. Eine Primzahl p mit der Eigenschaft, dass auch 2p + 1 eine Primzahl ist, heißt Sophie-Germain-Primzahl. Beispiele sind (2, 5), (3, 7), (5, 11), (11, 23), (23, 47), (29, 59), etc. Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Sophie Germain Zahlen gibt. Wir kommen nochmal zur¨ uck zu Mersenne-Zahlen und besprechen einige Situation, wo man Aussagen u ¨ber m¨ogliche Primteiler machen kann. Satz 14.9. Sei p eine Sophie-Germain-Primzahl, q = 2p + 1 und Mp die zugeh¨orige Mersenne-Zahl. Dann ist q ein Teiler von Mp genau dann, wenn q = ±1 mod 8 ist.

124

Beweis. Es ist q = 2p+1 ein Teiler von Mp = 2p −1 genau dann, wenn 2p = 1 in Z/(q) ist. Wegen p = q−1 ist dies nach dem Euler-Kriterium genau dann 2 der Fall, wenn 2 ein Quadratrest modulo q ist. Dies ist nach dem zweiten Erg¨anzungssatz genau bei q = ±1 mod 8 der Fall.  Bemerkung 14.10. Ist p eine Sophie-Germain Primzahl, die modulo 4 den Rest 3 hat, so ist q = 2p + 1 = −1 mod 8 und nach Satz 14.9 ist q ein Teiler von Mp . Bei p > 3 ist dies ein echter Teiler und Mp ist nicht prim. F¨ ur p = 3 ist M3 = 23 − 1 = 7 = 2p + 1. F¨ ur p = 11 ist q = 23 prim und es ist 23|M11 = 2047. F¨ ur p = 23 ist q = 47 wieder prim und es folgt, dass M23 ein Vielfaches von 47 ist. Andere notwendige Bedingungen f¨ ur Primteiler von Mersenne-Zahlen werden im folgenden Satz ausgedr¨ uckt. Satz 14.11. Sei p eine ungerade Primzahl und Mp = 2p − 1 die zugeh¨orige Mersenne-Zahl. Ist q ein Primfaktor von Mp , so ist q=1

mod 2p und q = ±1

mod 8 .

Beweis. Es sei q ein Teiler von Mp = 2p − 1. Dies bedeutet 2p = 1

mod q.

Dann ist p die Ordnung von 2 in Z/(q) und nach Lemma 4.6 ist p ein Teiler von q − 1. Dies bedeutet wiederum q = 1

mod p.

Da p und q ungerade sind, folgt sogar q = 1 mod 2p. Wenn x ein primitives q−1 Element von Z/(q) ist, so ist 2 = x p j , da alle Elemente der Ordnung p sich so schreiben lassen. Da dieser Exponent gerade ist, muss 2 ein Quadratrest sein, und der Satz 7.12 liefert die Kongruenzbedingung modulo 8.  14.3. Pseudo-Primzahlen. Als Pseudo-Primzahlen bezeichnet man grob gesprochen solche Zahlen, die zwar nicht prim sind, aber wesentliche Eigenschaften mit Primzahlen gemeinsam haben. Definition 14.12. Eine nat¨ urliche Zahl n heißt quasiprim zur Basis a, wenn n−1 a = 1 modulo n gilt. Definition 14.13. Eine nat¨ urliche Zahl n, die nicht prim ist, und die die Eigenschaft besitzt, dass f¨ ur jede zu n teilerfremde ganze Zahl a an−1 = 1

mod n

gilt, heißt Carmichael-Zahl. Eine Carmichael-Zahl hat also die Eigenschaft, dass sie quasiprim zu jeder zu n teilerfremden Basis a ist.

125

Satz 14.14. Eine nat¨ urliche nicht-prime Zahl n ≥ 2 ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn jeder Primteiler p von n einfach ist und p − 1 die Zahl n − 1 teilt. Beweis. Sei n = pr11 · · · prkk die kanonische Primfaktorzerlegung. Nach dem chinesischen Restsatz ist × × r (Z/(n))× ∼ = (Z/(pr1 )) × · · · × (Z/(p k )) . 1

k

Sei a = (a1 , . . . , ak ) eine zu n teilerfremde Zahl und sei vorausgesetzt, dass n eine Carmichael-Zahl ist. Dann ist insbesondere (ai )n−1 = 1

mod pri i

f¨ ur jeden Index i. W¨ahlt man f¨ ur ai ein primitives Element in Z/(pri i ) (was nach Satz 5.11 m¨oglich ist; f¨ ur pi = 2 ist nichts zu zeigen), so hat dies die Ordnung (pi − 1)piri −1 . Da n − 1 ein Vielfaches der Ordnung ist und da pi und n − 1 teilerfremd sind, folgt, dass n − 1 ein Vielfaches von p − 1 ist. Bei ri ≥ 2 gibt es Elemente der Ordnung pi in (Z/(pri i ))× (auch bei p = 2), und es ergibt sich der Widerspruch p|(n − 1). Also sind alle Exponenten einfach.

F¨ ur die Umkehrung ist nach Voraussetzung ri = 1. Sei wieder a = (a1 , . . . , ak ) eine Einheit. Dann ist   n−1   n−1  p1 −1 p1 −1 pk −1 pk −1 n−1 n−1 n−1 = a1 = (1, . . . , 1) = 1. a = a1 , . . . , ak , . . . , ak Also ist n eine Carmichael-Zahl.



Beispiel 14.15. Die kleinste Carmichael-Zahl ist 561 = 3 · 11 · 17. Dies folgt aus Satz 14.14, da 2, 10 und 16 Teiler von 560 sind. Es ist inzwischen bekannt, dass es unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt. 14. Arbeitsblatt ¨ 14.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 14.1. Bestimme f¨ ur alle n ≤ 30, ob das regelm¨aßige n-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist oder nicht.

Aufgabe 14.2. Man gebe eine Liste aller nat¨ urlichen Zahlen n zwischen 100 und 200 mit der Eigenschaft, dass das regelm¨aßige n-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

126

Aufgabe 14.3. Welche der Winkel 1◦ , 2◦ , 3◦ , 4◦ , . . . , 10◦ sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

Aufgabe 14.4. Welche der Winkel 10◦ , 20◦ , 30◦ , 40◦ , . . . , 350◦ sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

Aufgabe 14.5.* Finde die kleinste Zahl n ≥ 100 derart, dass zugleich das regul¨are n-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass n eine Summe von zwei Quadraten ist.

Aufgabe 14.6. Sei p eine Sophie-Germain-Primzahl und q = 2p + 1. Sei a gegeben mit 2 ≤ a ≤ q − 2. Zeige, dass a genau dann eine primitive Einheit modulo q ist, wenn es kein Quadratrest modulo q ist.

Aufgabe 14.7. Sei p eine Sophie-Germain-Primzahl, q = 2p + 1. Zeige, dass q ein Teiler von Mp + 2 = 2p + 1 ist genau dann, wenn q = ±3 mod 8 ist. Aufgabe 14.8.* Zeige: F¨ ur eine Primzahl p ist die Mersennesche Zahl Mp quasiprim zur Basis 2.

Aufgabe 14.9. Zeige, dass 1105 und 1729 Carmichael-Zahlen sind.

Aufgabe 14.10. Sei p eine Primzahl > 3 mit der Eigenschaft, dass auch 2p − 1 und 3p − 2 prim sind. Zeige, dass dann n = p(2p − 1)(3p − 2) eine Carmichael-Zahl ist.

127

14.2. Aufgaben zum Abgeben.

Aufgabe 14.11. (3 Punkte) Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelm¨aßigen F¨ unfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.

Konstruktion eines regul¨aren F¨ unfecks mit Zirkel und Lineal

Aufgabe 14.12. (3 Punkte) Sei p eine Sophie-Germain-Primzahl. Zeige, dass 2 eine Primitivwurzel modulo q = 2p + 1 ist genau dann, wenn p = 1 mod 4 ist.

Aufgabe 14.13. (3 Punkte) Sei n eine Carmichael-Zahl. Zeige, dass n ungerade und mindestens drei Primfaktoren besitzt.

Aufgabe 14.14. (3 Punkte) Sei n eine nat¨ urliche Zahl. Zeige, dass das Potenzieren Z/(n) −→ Z/(n), a 7−→ an , genau dann die Identit¨at ist, wenn n eine Primzahl, eine Carmichael-Zahl oder gleich 1 ist.

128

15. Vorlesung - Quotientenk¨ orper und K¨ orpererweiterungen Bevor wir uns mit algebraischer Zahlentheorie, insbesondere mit quadratischen Zahlbereichen, genauer besch¨aftigen k¨onnen, brauchen wir einige neue algebraische Begriffe. Zur Motivation betrachten wir das folgende kommutative Diagramm. Z −→ Z[i] ↓ ↓ Q −→ Q[i] In der unteren Zeile stehen K¨orper, und zwar ist Q ⊂ Q[i] eine endliche K¨orpererweiterung vom Grad 2 (d.h. die Q-Vektorraumdimension von Q[i] ist 2). Ferner ist Q der kleinste K¨orper, der die ganzen Zahlen Z enth¨alt, und ebenso ist Q[i] der kleinste K¨orper, der die Gaußschen Zahlen Z[i] enth¨alt. Die Gaußschen Zahlen sind, in einem zu pr¨azisierenden Sinne, die ganzen ” Zahlen“ im K¨orper Q[i]. Dies ist nicht selbstverst¨ andlich. Betrachten wir stattdessen die K¨orpererwei√ terung Q ⊂ Q[ −3] (ebenfalls vom Grad zwei) was ist dann der Ring der ganzen Zahlen? Es liegt das Diagramm √ Z −→ Z[ −3] −→ Z[ω] ↓ ↓ √ √↓ Q −→ Q[ −3] = Q[ −3] √

vor. Hier ist ω = −1+2 3i und Z[ω] ist der Ring der Eisenstein-Zahlen, den wir √ in der zweiten Vorlesung kennengelernt haben. F¨ u r die beiden Ringe Z[ −3] √ kleinste sie enthaltende K¨orper. Auf den ersten und Z[ω] ist Q[ −3] der √ urlicher. Andererseits ist der Ring der Blick wirkt vermutlich Z[ −3] nat¨ Eisenstein-Zahlen euklidisch und damit faktoriell, √ hat also deutlich bessere Eigenschaften, w¨ahrend nach Aufgabe 5.19 Z[ −3] nicht faktoriell ist.

Im Folgenden werden wir bestimmen, was f¨ ur eine beliebige endliche K¨orpererweiterung Q ⊆ L der richtige“ Ganzheitsring in L ist. Zuerst pr¨azisieren ” wir, was wir eben mit den Worten umschrieben haben, dass Q der kleinste K¨orper ist, der Z enth¨alt. 15.1. Der Quotientenk¨ orper. Definition 15.1. Zu einem Integrit¨atsbereich R ist der Quotientenk¨orper Q(R) definiert als die Menge der formalen Br¨ uche nr o Q(R) = | r, s ∈ R, s 6= 0 s mit nat¨ urlichen Identifizierungen und Operationen. Mit nat¨ urlichen Identifikationen meinen wir die (Erweiterungs- bzw. K¨ urzungs)-Regel r tr = s ts

129

(t 6= 0). F¨ ur die Operationen gelten

t ru + ts r + = s u su

(auf einen Hauptnenner bringen) und rt r t · = . s u su Mit diesen Operationen liegt in der Tat, wie man schnell u uft, ein kom¨berpr¨ mutativer Ring vor. Und zwar handelt es sich um einen K¨orper, denn f¨ ur jedes Element r 6= 0 s ist rs das Inverse. Der Integrit¨atsbereich R findet sich in Q(R) u ¨ber die Elemente Diese nat¨ urliche Inklusion R ⊆ Q(R)

r 1

wieder.

ist ein Ringhomomorphismus. Das Element r = 1r hat bei r 6= 0 das Inverse 1 . Zwischen R und Q(R) gibt es keinen weiteren K¨orper. Ein solcher muss r n¨amlich zu r 6= 0 das (eindeutig bestimmte) Inverse 1r enthalten und dann aber auch alle Produkte s 1r = rs . 15.2. Algebraische Erweiterungen. Definition 15.2. Seien R und A kommutative Ringe und sei R → A ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man A eine R-Algebra. Wenn eine R-Algebra vorliegt, so nennt man den zugeh¨origen Ringhomomorphismus auch den Strukturhomomorphismus. Das vielleicht wichtigste Beispiel einer R-Algebra ist der Polynomring R[X]. Ein R-Algebra-Homomorphismus von R[X] in eine weitere R-Algebra B ist durch die Zuordnung X 7→ f gegeben, wobei f ∈ B ein beliebiges fixiertes Element ist. Diese Abbildung nennt man den Einsetzungshomomorphismus. Er schickt ein Polynom Pn Pn i i r X , r ∈ R, auf r f ∈ B, wobei die r via dem Strukturhomoi i i=0 i i=0 i morphismus als Elemente in B aufgefasst werden. Definition 15.3. Sei K ein K¨orper und A eine kommutative K-Algebra. Es sei f ∈ A ein Element. Dann heißt f algebraisch u ¨ber K, wenn es ein von 0 verschiedenes Polynom P ∈ K[X] mit P (f ) = 0 gibt. Wenn ein Polynom P 6= 0 das algebraische Element f ∈ A annulliert (also P (f ) = 0 ist), so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erh¨alt ¨ dann auch ein normiertes annullierendes Polynom. Uber einem K¨orper sind also die Begriffe ganz (siehe weiter unten) und algebraisch ¨aquivalent.

130

Definition 15.4. Sei K ein K¨orper und A eine K-Algebra. Es sei f ∈ A ein u ¨ber K algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom P ∈ K[X] mit P (f ) = 0, welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von f . Die u ¨ber den rationalen Zahlen Q algebraischen komplexen Zahlen erhalten einen speziellen Namen. Definition 15.5. Eine komplexe Zahl z heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch u ¨ber den rationalen Zahlen Q ist. Andernfalls heißt sie transzendent.

Ferdinand von Lindemann (1852-1939)

Bemerkung 15.6. Eine komplexe Zahl z ∈ C ist genau dann algebraisch, wenn es ein von 0 verschiedenes Polynom P mit rationalen Koeffizienten und mit P (z) = 0 gibt. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner kann man f¨ ur eine algebraische Zahl auch ein annullierendes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden (das allerdings nicht mehr normiert ist). Eine rationale Zahl q ist trivialerweise algebraisch, da sie Nullstelle des linearen rationalen √ Polynoms X − q ist. Weiterhin sind die reellen Zahlen q und q 1/n f¨ ur q ∈ Q algebraisch. Dagegen sind die Zahlen e und π nicht algebraisch. Diese Aussagen sind keineswegs selbstverst¨andlich, die Transzendenz von π wurde beispielsweise von Ferdinand von Lindemann 1882 gezeigt. Definition 15.7. Sei L ein K¨orper und K ⊆ L ein Unterk¨orper von L. Dann heißt L ein Erweiterungsk¨orper (oder Oberk¨orper ) von K und die Inklusion K ⊆ L heißt eine K¨orpererweiterung.

131

Eine K-Algebra A kann man stets in nat¨ urlicher Weise als Vektorraum u ¨ber dem K¨orper K auffassen (ist K kein K¨orper, so ist eine K-Algebra ein KModul.) Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach u ¨ber den Strukturhomomorphismus erkl¨art. Durch den Vektorraumbegriff hat man sofort die folgenden Begriffe zur Verf¨ ugung. Definition 15.8. Eine K¨orpererweiterung K ⊆ L heißt endlich, wenn L ein endlichdimensionaler Vektorraum u ¨ber K ist. Definition 15.9. Sei K ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung. Dann nennt man die K-(Vektorraum-)Dimension von L den Grad der K¨orpererweiterung. Ein Element f ∈ L einer K¨orpererweiterung K ⊆ L definiert durch Multiplikation eine K-lineare Abbildung ϕf : L −→ L, y 7−→ f y.

¨ Uber diese Konstruktion werden Norm und Spur von f erkl¨art. Bemerkung 15.10. Zu einer linearen Abbildung ϕ : V −→ V

eines endlichdimensionalen K-Vektorraumes V in sich wird die Determinante det(ϕ) und die Spur S(ϕ) wie folgt berechnet. Man w¨ahlt eine K-Basis v1 , . . . , vn ∈ V und repr¨asentiert die lineare Abbildung bez¨ uglich dieser Basis durch eine quadratische n × n-Matrix   λ1,1 · · · λ1,n ..  ...  ... . λn,1 · · ·

λn,n

mit λij ∈ K und rechnet dann die Determinante aus. Es folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz, dass dies unabh¨angig von der Wahl der Basis ist. Die Spur ist durch S(ϕ) = λ1,1 + λ2,2 + · · · + λn,n

gegeben, und dies ist nach Aufgabe 15.12 ebenfalls unabh¨angig von der Wahl der Basis. Norm und Spur sind Elemente aus K. Definition 15.11. Sei K ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung. Zu einem Element f ∈ L nennt man die Determinante der K-linearen Abbildung µf : L −→ L, y 7−→ f y,

die Norm von f . Sie wird mit N (f ) bezeichnet.

Definition 15.12. Sei K ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung. Zu einem Element f ∈ L nennt man die Spur der K-linearen Abbildung ϕf : L −→ L, y 7−→ f y,

die Spur von f . Sie wird mit S(f ) bezeichnet.

132

Lemma 15.13. Sei K ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung. Dann hat die Norm N : L −→ K, f 7−→ N (f ), folgende Eigenschaften: (1) Es ist N (f g) = N (f )N (g). (2) F¨ ur f ∈ K ist N (f ) = f n , wobei n den Grad der K¨orpererweiterung bezeichne. (3) Es ist N (f ) = 0 genau dann, wenn f = 0 ist. Beweis. (1) Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz. (2) Zu einer beliebigen Basis von L wird die Multiplikation mit einen Element aus K durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag f ist. Die Determinante ist dann f n . (3) Die eine Richtung ist klar, sei also f 6= 0. Dann ist f eine Einheit in L und daher ist die Multiplikation mit f eine bijektive K-lineare Abbildung L → L, und deren Determinante ist 6= 0. 

Lemma 15.14. Sei K ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung vom Grad n. Dann hat die Spur S : L −→ K, f 7−→ S(f ), folgende Eigenschaften: (1) Die Spur ist additiv und K-linear, also S(f + g) = S(f ) + S(g) und S(λf ) = λS(f ) f¨ ur λ ∈ K. (2) F¨ ur f ∈ K ist S(f ) = nf . Beweis. Dies folgt aus den Definitionen.



Eine K¨orpererweiterung K ⊆ L heißt einfach, wenn sie von einem Element f erzeugt wird. Das bedeutet, dass es außer L keinen K¨orper zwischen K und L gibt, der f enth¨alt. Das Element f nennt man dann auch ein primitives Element der K¨orpererweiterung. Ist L endlich und einfach, so ist L = K[f ] ∼ = K[X]/(P ), wobei P das Minimalpolynom von f ist. Satz 15.15. Sei K ⊆ L = K[f ] eine einfache endliche K¨orpererweiterung vom Grad n. Dann hat das Minimalpolynom P von f die Gestalt P = X n − S(f )X n−1 + · · · + (−1)n N (f ). Beweis. Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der durch f definierten K-linearen Abbildung ϕf : L −→ L, y 7−→ f y

133

haben beide den Grad n. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton annulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, so dass sie u uglich einer Basis ¨bereinstimmen. Sei bez¨ v1 , . . . , vn von L diese lineare Abbildung durch die Matrix (λij )ij gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich   X − λ1,1 · · · −λ1,n .. .. ...  = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 . χf = det  . . −λn,1 · · · X − λn,n

Zum Koeffizienten an−1 leisten (in der Leibniz-Formel zur Berechnung der Determinante) nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen (n−1)mal die Variable X vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation (also der Diagonalen) P der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich X n − ni=1 λi,i X n−1 + . . ., so dass also an−1 = −S(f ) gilt. Setzt man in der obigen Gleichung X = 0, so ergibt sich, dass a0 die Determinante der negierten Matrix ist, woraus a0 = (−1)n N (f ) folgt.  Definition 15.16. Sei K ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung. Sie heißt separabel, wenn f¨ ur jedes Element x ∈ L das Minimalpolynom separabel ist, also in keinem Erweiterungsk¨orper eine mehrfache Nullstelle besitzt. In unserem Zusammenhang, wo wir uns f¨ ur K¨orpererweiterungen von Q interessieren, also in Charakteristik 0 sind, ist eine K¨orpererweiterung stets separabel (siehe Aufgabe 15.26), und wir haben den folgenden Satz vom primitiven Element zur Verf¨ ugung. Satz 15.17. Sei K ⊆ L eine endliche separable K¨orpererweiterung. Dann wird L von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein f ∈ L mit L = K(f ) ∼ = K[X]/(P ) mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom P ∈ K[X]. Beweis. Dies ist ein wichtiges Standardresultat aus der Theorie der K¨orpererweiterungen.  15. Arbeitsblatt ¨ 15.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 15.1. Sei R ein Integrit¨atsbereich und K ein K¨orper mit R ⊆ K. Zeige, dass dann auch Q(R) ⊆ K gilt.

134

Aufgabe 15.2. Sei R ein faktorieller Bereich mit Quotientenk¨orper K = Q(R). Zeige, dass jedes Element f ∈ K, f 6= 0, eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung f = upr11 · · ·prnn mit einer Einheit u ∈ R und ganzzahligen Exponenten ri besitzt. Aufgabe 15.3. Sei R ein faktorieller Bereich mit Quotientenk¨orper K = Q(R). Es sei a ∈ K ein Element mit an ∈ R f¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n ≥ 1. Zeige, dass dann schon a zu R geh¨ort. Aufgabe 15.4. Betrachte die rationalen Zahlen (Q, +, 0) als kommutative Gruppe. Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist. Aufgabe 15.5. Betrachte die rationalen Zahlen (Q, +, 0) als kommutative Gruppe. Es sei G ⊆ Q eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass G zyklisch ist. Aufgabe 15.6. Bestimme einen Erzeuger f¨ ur die Untergruppe H ⊆ (Q, +, 0), die durch die rationalen Zahlen 8 5 7 , , 7 11 10 erzeugt wird. Eine solche Untergruppe von Q nennt man auch ein gebrochenes Ideal. Aufgabe 15.7.* Bestimme einen Erzeuger f¨ ur das gebrochene Ideal f ⊆ Q, das durch die rationalen Zahlen 3 5 3 , , 7 6 10 erzeugt wird. Aufgabe 15.8. Es sei P die Menge der Primzahlen und α : P −→ Z

eine Abbildung. Zeige, dass die Menge  Gα = q ∈ Q× | expp (q) ≥ α(p) f¨ ur alle p ∪ {0}

eine Untergruppe von (Q, 0, +) ist.

135

Aufgabe 15.9. Es sei ϕ : (Q, 0, +) −→ (Q \ {0}, 1, ·)

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ϕ trivial ist. Aufgabe 15.10. Es sei ϕ : (Q \ {0}, 1, ·) −→ (Q, 0, +)

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ϕ nicht injektiv ist. Aufgabe 15.11. Zeige, dass es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus gibt.

ϕ : (Q \ {0}, 1, ·) −→ (Q, 0, +)

Aufgabe 15.12. Zeige, dass die Definition . der Spur einer linearen Abbildung unabh¨angig von der gew¨ahlten Matrix ist. Aufgabe 15.13. Zeige, dass 21/5 ∈ R algebraisch u ¨ber Q ist und bestimme das Minimalpolynom davon. Aufgabe 15.14. Zeige, dass es nur abz¨ahlbar viele algebraische Zahlen gibt. Aufgabe 15.15. Es sei Q ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung. Zeige, dass es einen (injektiven) Ringhomomorphismus L → C gibt. Aufgabe 15.16. Es seien Q ⊆ K ⊂ C und Q ⊆ L ⊂ C zwei endliche K¨orpererweiterungen von Q vom Grad d bzw. e. Es seien d und e teilerfremd. Zeige, dass dann K ∩L=Q ist. Aufgabe 15.17. Bestimme das Inverse von 2x2 +3x−1 im K¨orper Q[X]/(X 3 − 5) (x bezeichnet die Restklasse von X). Aufgabe 15.18. Sei K ein endlicher K¨orper und K ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung. Zeige direkt, dass f¨ ur diese K¨orpererweiterung der Satz vom primitiven Element gilt.

136

Aufgabe 15.19. Sei K ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung. Zeige, dass jedes Element f ∈ L algebraisch u ¨ber K ist. Aufgabe 15.20.* Es sei z = a + bi ∈ C, a, b ∈ R, eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl z = a − bi sowie der Real- und der Imagin¨arteil von z algebraisch sind. Man bestimme den Grad der K¨orpererweiterung A ∩ R ⊆ A. Aufgabe 15.21. Es sei K ein K¨orper und L = K(X) der Quotientenk¨orper des Polynomrings K[X]. Zeige, dass K ⊂ L eine einfache, aber keine endliche K¨orpererweiterung ist. 15.2. Aufgaben zum Abgeben.

Aufgabe 15.22. (4 Punkte) Sei K ein K¨orper und A eine kommutative K-Algebra, die außerdem ein Integrit¨atsbereich sei. Es sei f ∈ A ein u ¨ber K algebraisches Element. Sei P ∈ K[X] ein normiertes Polynom mit P (f ) = 0. Dann ist P das Minimalpolynom von f genau dann, wenn es irreduzibel ist.

Aufgabe 15.23. (8 Punkte) Sei p eine Primzahl und sei L = Q[X]/(X 3 − p) der durch das irreduzible Polynom X 3 − p definierte Erweiterungsk¨orper von Q. Es sei f = 2 + 3x − 4x2 .

Finde die Matrix bez¨ uglich der Q-Basis 1, x, x2 von L der durch die Multiplikation mit f definierten Q-linearen Abbildung. Berechne die Norm und die Spur von f . Bestimme das Minimalpolynom von f . Finde das Inverse von f . Berechne die Diskriminante der Basis 1, f, f 2 .

137

Aufgabe 15.24. (3 Punkte) Sei K ein K¨orper und sei P = X n − c ∈ K[X] ein irreduzibles Polynom. Es sei f = an−1 X n−1 + an−2 X n−2 + · · · + a1 X + a0 ein Element in der einfachen endlichen K¨orpererweiterung K ⊆ L = K[X]/ (P ) vom Grad n. Zeige, dass die Spur von f gleich na0 ist.

In der folgenden Aufgabe werden verschiedene ¨aquivalente Bedingungen an ein Polynom gestellt, die man alle als Definition eines separablen Polynoms nehmen kann. Man darf verwenden, dass es zu jedem K¨orper einen Erweiterungsk¨orper gibt, in dem ein vorgegebenes Polynom in Linearfaktoren zerf¨allt. Aufgabe 15.25. (4 Punkte) Sei K ein K¨orper und sei F ∈ K[X] ein Polynom vom Grad n. Zeige, dass die folgenden Aussagen ¨aquivalent sind: (1) F und die (formale) Ableitung F ′ sind teilerfremd. (2) F und die (formale) Ableitung F ′ erzeugen das Einheitsideal. (3) F besitzt in keinem Erweiterungsk¨orper K ⊆ L mehrfache Nullstellen. (4) Es gibt einen Erweiterungsk¨orper K ⊆ L, so dass F als Polynom in L[X] in n verschiedene Linearfaktoren zerf¨allt.

Aufgabe 15.26. (3 Punkte) Sei K ein K¨orper und sei F ∈ K[X] ein irreduzibles Polynom. Man gebe eine einfache Charakterisierung daf¨ ur, dass F separabel ist. Zeige, dass in Charakteristik null jedes irreduzible Polynom separabel ist. Man gebe ein Beispiel, dass das in positiver Charakteristik nicht immer stimmen muss. 16. Vorlesung - Moduln 16.1. Diskriminanten. Definition 16.1. Sei K ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung vom Grad n und seien b1 , . . . , bn Elemente in L. Dann wird die Diskriminante von b1 , . . . , bn durch △(b1 , . . . , bn ) = det(S(bi bj )i,j ) definiert.

138

Die Produkte bi bj , 1 ≤ i, j ≤ n, sind dabei Elemente in L, von denen man jeweils die Spur nimmt, die in K liegt. Man erh¨alt also eine quadratische n × n-Matrix u ¨ber K. Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante von speziellen Basen interessiert sein, so dass sich die Diskriminante als Invariante eines Zahlk¨orpers erweist. Bei einem Basiswechsel verh¨alt sich die Diskriminante wie folgt. Lemma 16.2. Sei K ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung vom Grad n und seien b1 , . . . , bn und c1 , . . . , cn zwei K-Basen von L. Der Basiswechsel werde ¨ durch c = T b mit der Ubergangsmatrix T = (tij )ij beschrieben. Dann gilt f¨ ur die Diskriminanten die Beziehung △(c1 , . . . , cn ) = (det(T ))2 △(b1 , . . . , bn ). Pn Beweis. Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen ci = j=1 tij bj . Damit gilt ! ! n n X X X tkm bm = tij tkm bj bm . tij bj ci ck = m=1

j=1

j,m

Wir schreiben cik := S(ci ck ) und bjm := S(bj bm ). Wegen der K-Linearit¨at der Spur gilt ! X X X tij tkm bj bm = tij tkm S(bj bm ) = tij tkm bjm . cik = S(ci ck ) = S j,m

j,m

j,m

Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen C = (cik ), B = (bjm ) und T = (tij ) als C = T transp BT und die Behauptung folgt dann aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Satz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabr¨ uck 2015-2016)).  Lemma 16.3. Sei K ⊆ L eine separable endliche K¨orpererweiterung vom Grad n und sei b1 , . . . , bn eine K-Basis von L. Dann ist △(b1 , . . . , bn ) 6= 0. Beweis. Wir beweisen diese Aussage nur in Charakteristik 0. Sei angenommen, dass die Diskriminante 0 ist. Das bedeutet, dass das durch die Matrix S(bi bj )ij definierte lineare Gleichungssystem eine nicht-triviale L¨osung (λ1 , . . . , λn ) besitzt. Es ist also n X i=1

λi S(bi bj ) = 0

139

f¨ ur alle j. Sei x = S(xbj ) = S

Pn

λ i bi = 6 0. Dann ist f¨ ur jedes j ! ! ! n n X X λi S(bi bj ) = 0. λi bi bj = λ i bi bj = S

i=1

n X i=1

i=1

i=1

Da x eine Einheit in L ist, ist auch xbj , j = 1, . . . , n, eine Basis und es folgt, dass die Spur auf dieser Basis und somit u ¨berall den Wert 0 hat. Dies ist aber bei einer separablen Erweiterung nicht m¨oglich: In Charakteristik = folgt dies sofort aus Lemma 15.14 (2).  16.2. Beschreibung von Spur und Norm mit Einbettungen. Satz 16.4. Sei Q ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung vom Grad n. Dann gibt es genau n Einbettungen von L in die komplexen Zahlen C. Beweis. Nach Satz 15.7 wird L durch ein Element erzeugt, es ist also L = Q(x) ∼ = Q[X]/(F ) mit einen irreduziblen Polynom F ∈ Q[X] vom Grad n. Da F irreduzibel ist und da die Ableitung F ′ 6= 0 ist folgt, dass F und F ′ teilerfremd sind. Nach Satz 2.16 ergibt sich, dass F und F ′ das Einheitsideal erzeugen, also AF + BF ′ = 1 ist. Wir betrachten diese Polynome nun als Polynome in C[X], wobei ¨ die polynomialen Identit¨aten erhalten bleiben. Uber den komplexen Zahlen ′ zerfallen F und F in Linearfaktoren, und wegen der Teilerfremdheit bzw. der daraus resultierenden Identit¨at haben F und F ′ keine gemeinsame Nullstelle. Daraus folgt wiederum, dass F keine mehrfache Nullstelle besitzt, sondern genau n verschiedene komplexe Zahlen z1 , . . . , zn als Nullstellen besitzt. Jedes zi definiert nun einen Ringhomomorphismus ρi : L ∼ = Q[X]/(F ) −→ C, X 7−→ zi .

Da L ein K¨orper ist, ist diese Abbildung injektiv. Da dabei X auf verschiedene Elemente abgebildet wird, liegen n verschiedene Abbildungen vor. Es kann auch keine weiteren Ringhomomorphismen L → C geben, da jeder solche durch X 7→ z gegeben ist und F (z) = 0 sein muss. 

Man beachte im vorstehenden Satz, dass das Bild von verschiedenen Einbettungen ρi : L −→ C der gleiche Unterk¨orper von C sein kann. Dies gilt bereits f¨ ur quadratische Erweiterungen wie Q[i]. Man hat die beiden Einbettung ρ1 , ρ2 : Q[i] → C, wobei die eine Abbildung i auf i und die andere i auf −i schickt. Das Bild ist aber in beiden F¨allen gleich. Wenn das Bild einer Einbettung ganz in den reellen Zahlen liegt, so spricht man auch von einer reellen Einbettung. Zu einem Element z ∈ L nennt man die verschiedenen komplexen Zahlen z1 = ρ1 (z), . . . , zn = ρn (z)

140

zueinander konjugiert. Diese sind allesamt Nullstellen eines irreduziblen Polynoms F mit rationalen Koeffizienten vom Grad n. Lemma 16.5. Sei Q ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung und z ∈ L ein Element. Es seien ρ1 , . . . , ρn : L −→ C

die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei M = {z1 , . . . , zk } die Menge der verschiedenen Werte ρi (z). Dann gilt f¨ ur das Minimalpolynom G von z die Gleichung G = (X − z1 )(X − z2 ) · · · (X − zk ). Beweis. Sei K ⊆ L der von z erzeugte Unterk¨orper von L. Es ist dann K ∼ = Q[X]/(G)

mit dem (normierten) Minimalpolynom G von z und K (bzw. G) haben den Grad k u ¨ber Q. Gem¨aß Satz 16.4 gibt es k Einbettungen σ : K → C, die den komplexen Nullstellen M ′ von G entsprechen, und daher ist Y G = (X − σ(z)). σ

Die n Einbettungen ρi : L → C induzieren jeweils eine Einbettung σi = ρi |K : K → C und somit ist ρi (z) = σi (z), also M ⊆ M ′ . Andererseits l¨asst sich eine Einbettung σ : K → C zu einer Einbettung L → C fortsetzen, da L u ¨ber K separabel ist und von einem Element erzeugt wird und das zugeh¨orige Minimalpolynom u  ¨ber C zerf¨allt. Daher ist auch M ′ ⊆ M . Wir erw¨ahnen ohne Beweis die folgende Beschreibung von Norm und Spur, die wir aber in der Vorlesung nicht intensiv verwenden werden.

Lemma 16.6. Sei Q ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung vom Grad n und seien ρi : L → C die n verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei z ∈ L und zi = ρi (z), i = 1, . . . , n. Dann ist N (z) = z1 · · · zn und S(z) = z1 + · · · + zn . Beweis. Wir verzichten auf einen Beweis.  16.3. Moduln und Ideale. F¨ ur den Begriff des Ganzheitsringes in einem Erweiterungsk¨orper Q ⊆ L ben¨otigen wir den Begriff des Moduls, der den eines Vektorraums in dem Sinne verallgemeinert, dass der Skalarenbereich kein K¨orper mehr sein muss, sondern ein beliebiger kommutativer Ring sein darf.

141

Definition 16.7. Sei R ein kommutativer Ring und M = (M, +, 0) eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt M einen R-Modul, wenn eine Operation R × M −→ M, (r, v) 7−→ rv = r · v,

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erf¨ ullt (dabei seien r, s ∈ R und u, v ∈ M beliebig): (1) (2) (3) (4)

r(su) = (rs)u, r(u + v) = (ru) + (rv), (r + s)u = (ru) + (su), 1u = u.

Definition 16.8. Sei R ein kommutativer Ring und M ein R-Modul. Eine Teilmenge U ⊆ M heißt R-Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von (M, 0, +) ist und wenn f¨ ur jedes u ∈ U und r ∈ R auch ru ∈ U ist. Definition 16.9. Sei R ein kommutativer Ring und M ein R-Modul. Eine Familie vi ∈ M , i ∈ I, heißt Erzeugendensystem f¨ ur M , wenn es f¨ ur jedes Element v ∈ M eine Darstellung X v = ri v i i∈J

gibt, wobei J ⊆ I endlich ist und ri ∈ R.

Definition 16.10. Sei R ein kommutativer Ring und M ein R-Modul. Der Modul M heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem vi , i ∈ I, f¨ ur ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge). Ein kommutativer Ring R selbst ist in nat¨ urlicher Weise ein R-Modul, wenn man die Ringmultiplikation als Skalarmultiplikation interpretiert. Die Ideale sind dann genau die R-Untermoduln von R. Die Begriffe Ideal-Erzeugendensystem und Modul-Erzeugendensystem stimmen f¨ ur Ideale u ¨berein. Unter den Idealen sind besonders die Primideale und die maximalen Ideale relevant. Definition 16.11. Ein Ideal p in einem kommutativen Ring R heißt Primideal, wenn p 6= R ist und wenn f¨ ur r, s ∈ R mit r · s ∈ p folgt: r ∈ p oder s ∈ p. Lemma 16.12. Sei R ein Integrit¨atsbereich und p ∈ R, p 6= 0. Dann ist p genau dann ein Primelement, wenn das von p erzeugte Hauptideal (p) ein Primideal ist. Beweis. Das ist trivial.



Lemma 16.13. Sei R ein kommutativer Ring und p ein Ideal in R. Dann ist p ein Primideal genau dann, wenn der Restklassenring R/p ein Integrit¨atsbereich ist.

142

Beweis. Sei zun¨achst p ein Primideal. Dann ist insbesondere p ⊂ Rund somit ist der Restklassenring R/p nicht der Nullring. Sei f g = 0 in R/p wobei f, g durch Elemente in R repr¨asentiert seien. Dann ist f g ∈ p und damit f ∈ p oder g ∈ p, was in R/p gerade f = 0 oder g = 0 bedeutet.

Ist umgekehrt R/p ein Integrit¨atsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist p 6= R. Sei f, g 6∈ p. Dann ist f, g 6= 0 in R/p und daher f g 6= 0 in R/p, also ist f g 6∈ p. 

Definition 16.14. Ein Ideal m in einem kommutativen Ring R heißt maximales Ideal, wenn m 6= R ist und wenn es zwischen m und R keine weiteren Ideale gibt. Lemma 16.15. Sei R ein kommutativer Ring und m ein Ideal in R. Dann ist m ein maximales Ideal genau dann, wenn der Restklassenring R/m ein K¨orper ist. Beweis. Nach Aufgabe 9.15 entsprechen die Ideale im Restklassenring R/m eindeutig den Idealen in R zwischen m und R. Nun ist R/m ein K¨orper genau dann, wenn es genau nur zwei Ideale gibt, und dies ist genau dann der Fall, wenn m 6= R ist und es dazwischen kein weiteres Ideal gibt. Dies bedeutet, dass m maximal ist.  Korollar 16.16. Sei R ein kommutativer Ring und m ein maximales Ideal in R. Dann ist m ein Primideal. Beweis. Dies folgt sofort aus den Charakterisierungen f¨ ur Primideale und f¨ ur maximale Ideale mit den Restklassenringen.  16. Arbeitsblatt ¨ 16.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 16.1. Berechne die Diskriminante zur K¨orpererweiterung Q ⊆ Q[i]

zur Basis 1 und i und zur Basis 2 − 5i und 4 + 7i. Aufgabe 16.2.* Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs A−7 . Stelle die Multiplikationsmatrix bez¨ uglich einer geeigneten Basis f¨ ur das Element 3 5√ −7 f= + 2 2 auf und berechne damit die Spur und die Norm von f .

143

Aufgabe 16.3. Beweise Lemma 16.6 unter der zus¨atzlichen Voraussetzung, dass L von z erzeugt wird. Aufgabe 16.4. Sei G eine kommutative Gruppe. Zeige, dass G auf genau eine Weise die Struktur eines Z-Moduls tr¨agt. Kommutative Gruppen und Z-Moduln sind also ¨aquivalente Objekte. Aufgabe 16.5. Seien R und A kommutative Ringe. Zeige, dass A eine RAlgebra ist genau dann, wenn A ein R-Modul ist, f¨ ur den zus¨atzlich gilt r(ab) = (ra)b f¨ ur alle r ∈ R, a, b ∈ A . Aufgabe 16.6. Sei a ein Ideal in einem kommutativen Ring R. Zeige, dass a genau dann ein Primideal ist, wenn a der Kern eines Ringhomomorphismus ϕ : R → K in einen K¨orper K ist. Aufgabe 16.7. Zeige, dass jeder Restklassenring eines Hauptidealringes wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines Hauptidealbereiches kein Hauptidealbereich sein muss. Ein Ideal a in einem kommutativen Ring R heißt Radikal (oder Radikalideal ), wenn folgendes gilt: Falls f n ∈ a ist f¨ ur ein n ∈ N, so ist bereits f ∈ a. Aufgabe 16.8. Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist. Aufgabe 16.9. Zeige, dass ein Ideal a in einem kommutativen Ring R genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring R/a reduziert ist. Sei R ein kommutativer Ring und a ⊆ R ein Ideal. Dann nennt man die Menge {f ∈ R| es gibt ein r mit f r ∈ a} das Radikal zu a. Es wird mit rad (a) bezeichnet. Aufgabe 16.10. Bestimme in Z das Radikal zum Ideal Z27. Aufgabe 16.11. Es sei R ein kommutativer Ring und S ⊆ R ein Unterring. Best¨atige oder widerlege die folgenden Aussagen. (1) (2) (3) (4)

Zu Zu Zu Zu

einem Ideal a ⊆ R ist auch a ∩ S ein Ideal (in S). einem Radikal a ⊆ R ist auch a ∩ S ein Radikal. einem Primideal a ⊆ R ist auch a ∩ S ein Primideal. einem maximalen Ideal a ⊆ R ist auch a ∩ S ein maximales Ideal.

144

16.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 16.12. (3 Punkte) Sei (G, +, 0) eine kommutative Gruppe. Sei E := End(G) = Hom(G, G) die Menge der Gruppenhomomorphismen von G nach G (also die Gruppenendomorphismen auf G). Definiere auf E eine Addition und eine Multiplikation, so dass E zu einem (in der Regel nicht kommutativen) Ring wird. Aufgabe 16.13. (3 Punkte) Sei (M, +, 0) eine kommutative Gruppe und sei E = EndZ (M ) der zugeh¨orige Endomorphismenring. Sei R ein kommutativer Ring. Zeige, dass eine R-Modulstruktur auf M a¨quivalent ist zu einem Ringhomomorphismus R → EndZ (M ). Aufgabe 16.14. (4 Punkte) Seien R und S kommutative Ringe und sei ϕ : R → S ein Ringhomomorphismus. Sei p ein Primideal in S. Zeige, dass das Urbild ϕ−1 (p) ein Primideal in R ist. Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss. Aufgabe 16.15. (3 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring und sei a 6= R ein Ideal in R. Zeige: a ist genau dann ein maximales Ideal, wenn es zu jedem g ∈ R, g 6∈ a, ein f ∈ a und ein r ∈ R gibt mit rg + f = 1. 17. Vorlesung - Ganzheit 17.1. Ganzheit. Definition 17.1. Seien R und S kommutative Ringe und R ⊆ S eine Ringerweiterung. F¨ ur ein Element x ∈ S heißt eine Gleichung der Form xn + rn−1 xn−1 + rn−2 xn−2 + · · · + r1 x + r0 = 0,

wobei die Koeffizienten ri , i = 0, . . . , n − 1, zu R geh¨oren, eine Ganzheitsgleichung f¨ ur x. Definition 17.2. Seien R und S kommutative Ringe und R ⊆ S eine Ringerweiterung. Ein Element x ∈ S heißt ganz (¨ uber R), wenn x eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus R erf¨ ullt.

145

Wenn R = K ein K¨orper und S eine K-Algebra ist, so ist x ∈ S algebraisch u ¨ber K genau dann, wenn es ganz u ¨ber K ist. Dies stimmt aber im Allgemeinen nicht, siehe Aufgabe 17.2. Die einfachsten Ganzheitsgleichungen haben die Form xn − r = 0 mit r ∈ R bzw. xn = r. Wenn also ein Element einer Ringerweiterung eine Wurzel eines Elementes aus R ist, so ist diese Wurzel ganz u ¨ber dem Grundring. Trivialerweise sind die Elemente aus R ganz u ¨ber R. Beispiel 17.3. In der Ringerweiterung Z ⊆ Z[i] ist i ganz u ¨ber Z, wie die Ganzheitsgleichung i2 = −1 zeigt. Auch f¨ ur ein beliebiges Element z = a + bi ∈ Z[i] kann man direkt eine Ganzheitsgleichung angeben, n¨amlich (a + bi)2 − 2a (a + bi) + a2 + b2 = 0.

Beispiel 17.4. Es sei R ein kommutativer Ring und

P = X n + rn−1 X n−1 + · · · + r2 X 2 + r1 X + r0 ∈ R[X]

ein normiertes Polynom u ¨ber R. Dann ist in der Ringerweiterung R ⊆ R[X]/(P )

die Restklasse x von X im Restklassenring S = R[X]/(P ) ganz u ¨ber R, da ja P unmittelbar die Ganzheitsgleichung liefert.

xn + rn−1 xn−1 + · · · + r2 x2 + r1 x + r0 = 0

Definition 17.5. Seien R und S kommutative Ringe und R ⊆ S eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente x ∈ S, die ganz u ¨ber R sind, den ganzen Abschluss von R in S. Definition 17.6. Seien R und S kommutative Ringe und R ⊆ S eine Ringerweiterung. Dann heißt S ganz u ¨ber R, wenn jedes Element x ∈ S ganz u ¨ber R ist. S ist genau dann ganz u ¨ber R, wenn der ganze Abschluss von R in S gleich S ist. Wir wollen zeigen, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Der vermutlich erste Gedanke, die jeweiligen Ganzheitsgleichungen miteinander geschickt“ zu kombinieren, f¨ uhrt nicht zum ” Ziel. Stattdessen braucht man das folgende Kriterium f¨ ur die Ganzheit. Lemma 17.7. Seien R und S kommutative Ringe und R ⊆ S eine Ringerweiterung. F¨ ur ein Element x ∈ S sind folgende Aussagen ¨aquivalent. (1) x ist ganz u ¨ber R. (2) Es gibt eine R-Unteralgebra T von S mit x ∈ T und die ein endlicher R-Modul ist.

146

(3) Es gibt einen endlichen R-Untermodul M von S, der einen Nichtnullteiler aus S enth¨alt, mit xM ⊆ M . Beweis. (1) ⇒ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von x erzeugte RUnteralgebra R[x] von S, die aus allen polynomialen Ausdr¨ ucken in x mit Koeffizienten aus R besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung ergibt sich

xn + rn−1 xn−1 + rn−2 xn−2 + · · · + r1 x + r0 = 0

xn = −rn−1 xn−1 − rn−2 xn−2 − · · · − r1 x − r0 . Man kann also xn durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdr¨ ucken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit xi kann man jede Potenz von x mit einem Exponenten ≥ n durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdr¨ ucke vom Grad ≤ n − 1 ersetzen. Damit ist R[x] = R + Rx + Rx2 + · · · + Rxn−2 + Rxn−1 und die Potenzen x0 = 1, x1 , x2 , . . . , xn−1 bilden ein endliches Erzeugendensystem von T = R[x]. (2) ⇒ (3). Sei x ∈ T ⊆ S, T eine R-Unteralgebra, die als R-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist xT ⊆ T , und T enth¨alt den Nichtnullteiler 1.

(3) ⇒ (1). Sei M ⊆ S ein endlich erzeugter R-Untermodul mit xM ⊆ M . Seien y1 , . . . , yn erzeugende Elemente von M . Dann ist insbesondere xyi f¨ ur jedes i eine R-Linearkombination der yj , j = 1, . . . , n. Dies bedeutet xyi =

n X

rij yj

j=1

mit rij ∈ R, oder, als Matrix geschrieben,    y1 r1,1 r1,2 .  y2   r2,1 r2,2 .      . . x . =  . .  . . . yn rn,1 rn,2 . Dies schreiben wir als  x − r1,1 −r1,2  −r2,1 x − r2,2  . 0 =   .  . . −rn,1 −rn,2

. . . . .

   . r1,n y1   . r2,n   y2     . .   ·  . . . .  . . rn,n yn

   . −r1,n y1  y2  . −r2,n      ·  . . . .     . . . . x − rn,n yn

Nennen wir diese Matrix A (die Eintr¨age sind aus S), und sei Aadj die adjungierte Matrix. Dann gilt Aadj Ay = 0 (y bezeichne den Vektor (y1 , . . . , yn )) und nach der Cramerschen Regel ist Aadj A = (det A)En , also gilt ((det A)En )y =

147

0. Es ist also (det A)yj = 0 f¨ ur alle j und damit (det A)z = 0 f¨ ur alle z ∈ M . Da M nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enth¨alt, muss det A = 0 sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in x vom Grad n, so dass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.  Korollar 17.8. Seien R und S kommutative Ringe und R ⊆ S eine Ringerweiterung. Dann ist der ganze Abschluss von R in S eine R-Unteralgebra von S. Beweis. Die Ganzheitsgleichungen X − r, r ∈ R, zeigen, dass jedes Element aus R ganz u ¨ber R ist. Seien x1 ∈ S und x2 ∈ S ganz u ¨ber R. Nach der Charakterisierung der Ganzheit gibt es endliche R-Unteralgebren T1 , T2 ⊆ S mit x1 ∈ T1 und x2 ∈ T2 . Sei y1 , . . . , yn ein R-Erzeugendensystem von T1 und z1 , . . . , zm ein R-Erzeugendensystem von T2 . Wir k¨onnen annehmen, dass y1 = z1 = 1 ist. Betrachte den endlich erzeugten R-Modul T = T1 · T2 = hyi zj , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , mi, der offensichtlich x1 + x2 und x1 x2 (und 1) enth¨alt. Dieser R-Modul T ist auch wieder eine R-Algebra, da f¨ ur zwei beliebige Elemente gilt X  X  X rij yi zj skl yk zl = rij skl yi yk zj zl ,

und f¨ ur die Produkte gilt yi yk ∈ T1 und zj zl ∈ T2 , so dass diese Linearkombination zu T geh¨ort. Dies zeigt, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Deshalb ist der ganze Abschluss ein Unterring von S, der R enth¨alt. Also liegt eine R-Unteralgebra vor. 

17.2. Normale Integrit¨ atsbereiche. Definition 17.9. Seien R und S kommutative Ringe und R ⊆ S eine Ringerweiterung. Man nennt R ganz-abgeschlossen in S, wenn der ganze Abschluss von R in S gleich R ist. Definition 17.10. Ein Integrit¨atsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenk¨orper ist. Definition 17.11. Sei R ein Integrit¨atsbereich und Q(R) sein Quotientenk¨orper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von R in Q(R) die Normalisierung von R. Wichtige Beispiele f¨ ur normale Ringe werden durch faktorielle Ringe geliefert. Satz 17.12. Sei R ein faktorieller Integrit¨atsbereich. Dann ist R normal. Beweis. Sei K = Q(R) der Quotientenk¨orper von R und q ∈ K ein Element, das die Ganzheitsgleichung q n + rn−1 q n−1 + rn−2 q n−2 + · · · + r1 q + r0 = 0

148

mit ri ∈ R erf¨ ullt. Wir schreiben q = a/b mit a, b ∈ R, b 6= 0, wobei wir annehmen k¨onnen, dass die Darstellung gek¨ urzt ist, dass also a und b ∈ R keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass b eine Einheit in R ist, da dann q = ab−1 zu R geh¨ort. Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit bn und erhalten in R   an + (rn−1 b) an−1 + rn−2 b2 an−2 + · · · + r1 bn−1 a + (r0 bn ) = 0.

Wenn b keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler p von b. Dieser teilt alle Summanden (rn−i bi ) an−i f¨ ur i ≥ 1 und daher auch den ersten, also an . Das bedeutet aber, dass a selbst ein Vielfaches von p ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit. 

Korollar 17.13. Sei R ein normaler Integrit¨atsbereich und a ∈ R. Wenn es ein Element x ∈ Q(R) mit xk = a gibt, so ist bereits x ∈ R. Beweis. Die Voraussetzung bedeutet, dass x ∈ Q(R) ganz u ¨ber R ist, da es die Ganzheitsgleichung Xk − a = 0 erf¨ ullt. Also ist x ∈ R wegen der Normalit¨at.  √ √ √ Die einfachsten Beispiele f¨ ur irrationale reelle Zahlen sind 2, 3, 5 u.s.w. Diese Beobachtung wird durch die folgende Aussage wesentlich verallgemeinert. Korollar 17.14. Sei n = pα1 1 · · · pαr r die kanonische Primfaktorzerlegung der nat¨ urlichen Zahl n. Sei k eine positive nat¨ urliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten αi ein Vielfaches von k sind. Dann ist die reelle Zahl 1 nk irrational. Beweis. Die Zahl n = pα1 1 · · · pαr r kann nach Voraussetzung keine k-te Wurzel in Z besitzen, da in einer k-ten Potenz alle Exponenten zu Primzahlen Vielfache von k sind. Wegen der Faktorialit¨at von Z und der daraus nach Satz 17.12 resultierenden Normalit¨at kann es auch kein x ∈ Q(Z) = Q mit 1  xk = n geben. Daher ist die reelle Zahl n k irrational. 17.3. Der ganze Abschluss in Erweiterungsko ¨rpern. Lemma 17.15. Sei R ein Integrit¨atsbereich mit Quotientenk¨orper K = Q(R) und sei K ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung. Der ganze Abschluss von R in L sei mit S bezeichnet. Dann ist L der Quotientenk¨orper von S. Beweis. Sei f ∈ L. Nach Voraussetzung ist L endlich u ullt ¨ber K. Daher erf¨ f eine Ganzheitsgleichung der Form f n + qn−1 f n−1 + · · · + q1 f + q0 = 0

149

mit qi ∈ K. Sei r ∈ R ein gemeinsames Vielfaches der Nenner aller qi , i = 1, . . . , n − 1. Multiplikation mit rn ergibt dann (rf )n + qn−1 r(rf )n−1 + · · · + q1 rn−1 (rf ) + q0 rn = 0.

Dies ist eine Ganzheitsgleichung f¨ ur rf , da die Koeffizienten qn−i ri nach Wahl von r alle zu R geh¨oren. Damit ist rf ∈ S, da S der ganze Abschluss ist. Somit zeigt f = rfr , dass f als ein Bruch mit einem Z¨ahler aus S und einem Nenner aus R ⊆ S darstellbar ist, also im Quotientenk¨orper Q(S) liegt.  Insbesondere zeigt die vorstehende Aussage, dass bei einer echten K¨orpererweiterung K ⊂ L auch der ganze Abschluss von R echt gr¨oßer als R ist. F¨ ur uns steht die Situation, wo Q ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung der rationalen Zahlen und S der ganze Abschluss von Z in L ist, im Mittelpunkt. 17. Arbeitsblatt ¨ 17.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 17.1. Finde √eine irreduzible Ganzheitsgleichung (¨ uber Z) f¨ ur die −1+ −3 Eisensteinzahl ω = . 2

Aufgabe 17.2. Sei R ein kommutativer Ring und A eine R-Algebra. Zeige, dass wenn R ein K¨orper ist, die Begriffe algebraisch und ganz f¨ ur ein Element x ∈ A u ur einen Integrit¨atsbereich, der ¨bereinstimmen. Zeige ferner, dass f¨ kein K¨orper ist, diese beiden Begriffe auseinanderfallen.

Aufgabe 17.3.* Seien R und S Integrit¨atsbereiche und sei R ⊆ S eine ganze Ringerweiterung. Es sei f ∈ R ein Element, das in S eine Einheit ist. Zeige, dass f dann schon in R eine Einheit ist.

Aufgabe 17.4. Sei R ⊆ S eine ganze Ringerweiterung und sei f ∈ R. Zeige: Wenn f , aufgefasst in S, eine Einheit ist, dann ist f eine Einheit in R.

Aufgabe 17.5. Man gebe ein Beispiel einer ganzen Ringerweiterung R ⊆ S, wo es einen Nichtnullteiler f ∈ R gibt, der ein Nullteiler in S wird.

150

Aufgabe 17.6.* Berechne in Z/(7)[X]/(X 3 + 4X 2 + X + 5) das Produkt (2x2 + 5x + 3) · (3x2 + x + 6) (x bezeichne die Restklasse von X). Aufgabe 17.7. Sei K ein K¨orper und sei A eine endlichdimensionale KAlgebra. Zeige direkt (ohne Lemma 17.7), dass A ganz u ¨ber K ist. Aufgabe 17.8. Es sei R ⊆ S eine Ringerweiterung zwischen endlichen kommutativen Ringen R und S. Zeige, dass eine ganze Ringerweiterung vorliegt. Aufgabe 17.9. (1) Es sei R ein Integrit¨atsbereich. Zeige, dass R ganzabgeschlossen im Polynomring R[X] ist. (2) Man gebe ein Beispiel f¨ ur einen kommutativen Ring R, der im Polynomring nicht ganz-abgeschossen ist. Aufgabe 17.10. Sei R ein Integrit¨atsbereich. Zeige, dass R genau dann normal ist, wenn er mit seiner Normalisierung u ¨bereinstimmt. Aufgabe 17.11. Sei R ein Integrit¨atsbereich. Sei angenommen, dass die Normalisierung von R gleich dem Quotientenk¨orper Q(R) ist. Zeige, dass dann R selbst schon ein K¨orper ist. Aufgabe 17.12. Sei K ein K¨orper und sei Ri ⊆ K, i ∈ I, T eine Familie von normalen Unterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt i∈I Ri normal ist. Aufgabe 17.13. Sei R ein normaler Integrit¨atsbereich und a ∈ R. Es sei vorausgesetzt, dass a keine Quadratwurzel in R besitzt. Zeige, dass das Polynom X 2 − a prim in R[X] ist. Tipp: Verwende den Quotientenk¨orper Q(R). Warnung: Prim muss hier nicht zu irreduzibel ¨aquivalent sein. Aufgabe 17.14. Sei R ein Integrit¨atsbereich mit Normalisierung Rnorm . Zeige, dass durch f = {g ∈ R| gRnorm ⊆ R} ein Ideal in R gegeben ist.

151

Aufgabe 17.15. Sei k eine fixierte positive ganze Zahl und betrachte den Unterring R = Z[ki] = {a + cki| a, c ∈ Z} ⊆ Z[i] .

Zeige die Isomorphie R ∼ ¨ber R ist. = Z[X]/(X 2 + k 2 ) und dass Z[i] ganz u In den folgenden Aufgaben wird der Polynomring K[X, Y ] in zwei Variablen u ¨ber einem K¨orper K verwendet. Diesen kann man definieren als (K[X])[Y ]. Die Elemente in ihm, also die Polynome in zwei Variablen, haben die Gestalt X P = aij X i Y j . i,j

Wir interessieren uns f¨ ur Restklassenringe vom Typ R = K[X, Y ]/(F ). Die Nullstellenmenge vonF besteht aus der Menge derjenigen Punkte (x, y) in der Ebene, f¨ ur die F (x, y) = 0 ist (dieses Nullstellengebilde ist eine geometrische Version des Ringes R).

Aufgabe 17.16. Sei K ein K¨orper und betrachte den Restklassenring R = K[X, Y ]/(X 2 − Y 3 ) . Dies ist ein Integrit¨atsbereich nach Aufgabe 17.13. Zeige, dass die Normalisierung von R gleich dem Polynomring K[T ] ist. Skizziere die Nullstellenmenge von F = X 2 −Y 3 in der reellen Ebene und finde eine Parametrisierung dieses Gebildes. Polynomringe kann man entsprechend u ¨ber jedem Grundring und mit beliebig vielen Variablen definieren.

Aufgabe 17.17. Es sei P = X 2 − 3X + 7 und Q = Y 3 − Y 2 + 4Y − 5. Begr¨ unde, dass die Ringerweiterung Z ⊆ Z[X, Y ]/(P, Q) ganz ist und finde eine Ganzheitsgleichung f¨ ur x + y und f¨ ur xy (kleine Buchstaben bezeichnen die Restklassen der Variablen).

152

17.2. Aufgaben zum Abgeben.

Aufgabe 17.18. (3 Punkte) Sei R ein normaler Integrit¨atsbereich und R ⊆ S eine ganze Ringerweiterung. Sei f ∈ R. Zeige, dass f¨ ur das von f erzeugte Hauptideal gilt: R ∩ (f )S = (f )R.

Aufgabe 17.19. (4 Punkte) Zeige, dass f¨ ur nat¨ urliche Zahlen a, b ≥ 1 und n ≥ 2 die Zahl an − bn nicht n ein Teiler von a + bn ist.

Aufgabe 17.20. (5 Punkte) Seien R, S, T kommutative Ringe und seien ϕ : R → S und ψ : S → T Ringhomomorphismen derart, dass S ganz u ¨ber R und T ganz u ¨ber S ist. Zeige, dass dann auch T ganz u ¨ber R ist.

Aufgabe 17.21. (5 Punkte) Sei K ein K¨orper und betrachte den Ringhomomorphismus ϕ : R = K[X, Y ]K[T ] , der durch die Einsetzung X 7−→ (T − 1)(T + 1) und Y 7−→ T (T − 1)(T + 1) gegeben ist. Finde ein von 0 verschiedenes Polynom F ∈ K[X, Y ] derart, dass F unter ϕ auf 0 abgebildet wird. Skizziere die Nullstellenmenge von F in der reellen Ebene.

Aufgabe 17.22. (4 Punkte) Definiere unter Anlehnung an die Parametrisierung der pythagoreischen Tripel einen Ringhomomorphismus Z[X, Y, Z]/(X 2 + Y 2 − Z 2 ) −→ Z[U, V ] . Zeige, dass dieser injektiv, aber nicht surjektiv ist.

153

18. Vorlesung - Zahlbereiche 18.1. Zahlbereiche. Wir werden uns in dieser Vorlesung haupts¨achlich f¨ ur den ganzen Abschluss von Z in einem endlichen Erweiterungsk¨orper der rationalen Zahlen Q interessieren. Definition 18.1. Sei Q ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung. Dann nennt man den ganzen Abschluss von Z in L den Ring der ganzen Zahlen in L. Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche. Den endlichen Erweiterungsk¨orper L von Q nennt man u ¨brigens einen Zahlk¨orper. Diese Zahlbereiche sind der Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie. Wir interessieren uns in der algebraischen Zahlentheorie insbesondere f¨ ur folgende Fragen. (1) Wann ist ein Zahlbereich R ein Hauptidealbereich und wann ist er faktoriell? (2) Wenn R kein Hauptidealbereich ist, gibt es dann andere Versionen, die die eindeutige Primfaktorzerlegung ersetzen (Ja: Lokal und auf Idealebene). (3) Wenn R kein Hauptidealbereich ist, kann man dann die Abweichung von der Eigenschaft, ein Hauptidealbereich zu sein, in irgendeiner Form messen? (Ja: Durch die sogenannte Klassengruppe). Satz 18.2. Sei R ein Zahlbereich. Dann ist R ein normaler Integrit¨atsbereich. Beweis. Nach Lemma 17.15 ist L der Quotientenk¨orper des Ganzheitsrings R. Ist q ∈ Q(R) = L ganz u ¨ber R, so ist q nach Aufgabe 17.16 auch ganz u  ¨ber Z und geh¨ort selbst zu R. Ein Ganzheitsring ist im Allgemeinen nicht faktoriell. Lemma 18.3. Es sei Q ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung und es sei R ⊆ L ein Unterring mit den folgenden Eigenschaften: (1) R ist ganz u ¨ber Z. (2) Es ist Q(R) = L. (3) R ist normal. Dann ist R der Ring der ganzen Zahlen von L. Beweis. Siehe Aufgabe 18.1.





Beispiel 18.4. Wir betrachten die K¨orpererweiterung Q ⊆ Q[ −3], der die Ringe √ √ Z[ −3] = A ⊆ Z[ω] = B ⊆ Q[ −3]

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√ enth¨alt, wobei ω = − 21 + 2i 3 ist, d.h. Z[ω] ist der Ring der Eisenstein-Zahlen. √ Der Quotientenk¨orper von beiden Ringen ist Q[ −3]. Das Element ω erf¨ ullt die Ganzheitsgleichung ω 2 + ω + 1 = 0, und somit ist Z[ω] ganz u ¨ber Z. Ferner ist Z[ω] normal. Dies ergibt sich aus Satz 2.15, Satz 2.16, Satz 3.7 und Satz 17.12. Nach Lemma 18.3 ist also insgesamt der Ring der Eisenstein-Zahlen der Ring der ganzen Zahlen in Z[ω]. Lemma 18.5. Sei R ein Zahlbereich. Dann enth¨alt jedes von 0 verschiedene Ideal a ⊆ R eine Zahl m ∈ Z mit m 6= 0. Beweis. Sei 0 6= f ∈ a. Dieses Element ist nach der Definition eines Zahlbereiches ganz u ullt demnach eine Ganzheitsgleichung ¨ber Z und erf¨ f n + kn−1 f n−1 + kn−2 f n−2 + · · · + k1 f + k0 = 0 mit ganzen Zahlen ki . Bei k0 = 0 kann man die Gleichung mit f k¨ urzen, da f 6= 0 ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erh¨alt schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht 0 ist. Sei also in obiger Gleichung k0 6= 0. Dann ist  f f n−1 + kn−1 f n−2 + kn−2 f n−3 + · · · + k1 = −k0 und somit ist k0 ∈ (f ) ∩ Z ⊆ a.



Satz 18.6. Sei R ein Zahlbereich und sei f ∈ Q(R) = L. Dann ist f genau dann ganz u ¨ber Z, wenn die Koeffizienten des Minimalpolynoms von f u ¨ber Q alle ganzzahlig sind. Beweis. Das Minimalpolynom P von f u ¨ber Q ist ein normiertes irreduzibles Polynom mit Koeffizienten aus Q. Wenn die Koeffizienten sogar ganzzahlig sind, so liegt direkt eine Ganzheitsgleichung f¨ ur f u ¨ber Z vor. Sei umgekehrt f ganz u ¨ber Z, und sei S ∈ Z[X] ein normiertes ganzzahliges Polynom mit S(f ) = 0, das wir als irreduzibel in Z[X] annehmen d¨ urfen. Wir betrachten S ∈ Q[X]. Dort gilt S = P T. Da nach dem Lemma von Gauß ein irreduzibles Polynom von Z[X] auch in Q[X] irreduzibel ist, folgt S = P und daher sind alle Koeffizienten von P ganzzahlig.  Es ergibt sich insbesondere, dass die Norm und die Spur von Elementen aus einem Zahlbereich zu Z geh¨oren.

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18.2. Gruppenstruktur von Idealen. In Z[i] ist jedes Ideal ein Hauptideal und es ist (a + bi) = {m(a + bi) + ni(a + bi)| m, n ∈ Z} ∼ = Z2 (die letzte Gleichung setzt voraus, dass es sich nicht um das Nullideal handelt). Eine ¨ahnlich einfache Gruppenstruktur gilt f¨ ur jedes Ideal in einem Zahlbereich, was wir jetzt beweisen werden. Lemma 18.7. Sei Q ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung vom Grad n und R der zugeh¨orige Zahlbereich. Sei a ein von 0 verschiedenes Ideal in R. Dann enth¨alt a Elemente b1 , . . . , bn , die eine Q-Basis von L sind. Beweis. Es sei v1 , . . . , vn eine Q-Basis von L. Das Ideal a enth¨alt nach Lemma 18.5 ein Element 0 6= m ∈ a ∩ Z. Nach (dem Beweis von) Lemma 17.15 kann man vi = nrii schreiben mit ri ∈ R und ni ∈ Z\{0}. Dann sind die m(ni vi ) ∈ a und bilden ebenfalls eine Q-Basis von L.  Satz 18.8. Sei Q ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung vom Grad n und R der zugeh¨orige Zahlbereich. Sei a ein von 0 verschiedenes Ideal in R. Seien b1 , . . . , bn ∈ a Elemente, die eine Q-Basis von L bilden und f¨ ur die der Betrag der Diskriminante |△(b1 , . . . , bn )|

unter all diesen Basen aus a minimal sei. Dann ist a = Zb1 + · · · + Zbn .

Beweis. Sei f ∈ a ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich f als eine Z-Linearkombination f = k1 b1 + · · · + kn bn mit ki ∈ Z schreiben l¨asst, wenn die b1 , . . . , bn ∈ a eine Q-Basis von L mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung f = q1 b1 + · · · + qn bn mit rationalen Zahlen qi ∈ Q. Sei angenommen, dass ein qi nicht ganzzahlig ist, wobei wir i = 1 annehmen d¨ urfen. Wir schreiben dann q1 = k + δ mit k ∈ Z und einer rationalen Zahl δ (echt) zwischen 0 und 1. Dann ist auch c1 = f − kb1 = δb1 +

n X

qi bi , b2 , . . . , bn

i=2

¨ eine Q-Basis von L, die in a liegt. Die Ubergangsmatrix der beiden Basen ist   δ q2 q3 · · · qn 0 1 0 · · · 0    0 0 1 ··· 0. T =  . . . .   .. .. .. . . ...  0 0 0 ··· 1

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Nach Lemma 16.2 gilt f¨ ur die beiden Diskriminanten die Beziehung △(c1 , b2 , . . . , bn ) = (det(T ))2 △(b1 , b2 , . . . , bn ).

Wegen (det(T ))2 = δ 2 < 1 und da die Diskriminanten nach Lemma 16.3 nicht 0 sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalit¨at der Diskriminanten.  Korollar 18.9. Sei Q ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung vom Grad n und R der zugeh¨orige Zahlbereich. Sei a ein von 0 verschiedenes Ideal in R. Dann ist a eine freie abelsche Gruppe vom Rang n, d.h. es gibt Elemente b1 , . . . , bn ∈ a mit a = Zb1 + · · · + Zbn , wobei die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes aus a eindeutig bestimmt sind. Beweis. Nach Lemma 18.7 gibt es u ¨berhaupt Elemente b1 , . . . , bn ∈ a, die eine Q-Basis von L bilden. Daher gibt es auch solche Basen, wo der (ganzzahlige) Betrag der Diskriminante minimal ist. F¨ ur diese gilt nach Satz 18.8, dass sie ein Z-Erzeugendensystem von a bilden. Die lineare Unabh¨angigkeit u ¨ber Q sichert die Eindeutigkeit der Koeffizienten.  Korollar 18.10. Sei Q ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung vom Grad n und R der zugeh¨orige Zahlbereich. Dann ist R eine freie abelsche Gruppe vom Rang n, d.h. es gibt Elemente b1 , . . . , bn ∈ R mit R = Zb1 + · · · + Zbn

derart, dass die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes eindeutig bestimmt sind. Beweis. Dies folgt direkt aus Korollar 18.9, angewendet auf das Ideal a = R.  Ein solches System von Erzeugern b1 , . . . , bn nennt man auch eine Ganzheitsbasis von R. Korollar 18.11. Sei Q ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung vom Grad n und R der zugeh¨orige Zahlbereich. Es sei m ∈ Z. Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus R/(m) ∼ = (Z/(m))n . F¨ ur eine Primzahl m = p ist R/(m) eine Algebra der Dimension n u ¨ber dem K¨orper Z/(p). Zu jeder Primzahl p gibt es Primideale p in R mit p ∩ Z = (p). Beweis. Nach Korollar 18.10 ist R ∼ = Zn (als abelsche Gruppen), wobei die Standardbasis der Ganzheitsbasis a1 , . . . , an entsprechen m¨oge. Das von m in R erzeugte Ideal besteht aus allen Z-Linearkombinationen der ma1 , . . . , man

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und somit entspricht das Ideal (unter dieser Identifizierung) der von (m, 0, . . . , 0), (0, m, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, m) erzeugten Untergruppe von Zn . Die Restklassengruppe R/(m) ist demnach gleich (Z/(m))n und besitzt mn Elemente. Aufgrund der Ganzheit ist nach Aufgabe 17.14 mR ∩ Z = mZ und aufgrund des Homomorphiesatzes hat man einen injektiven Ringhomomorphismus Z/(m) −→ R/(m), so dass R/(m) eine von 0 verschiedene Z/(m)-Algebra ist. F¨ ur eine Primzahl p ist R/(p) ein Vektorraum u ¨ber Z/(p) der Dimension n. Deshalb gibt es darin (mindestens) ein maximales Ideal, und dieses entspricht nach Aufgabe 9.15 einem maximalen Ideal m in R mit p ∈ m. Daher ist (p) = (p)R ∩ Z ⊆ m ∩ Z, und dieser Durchschnitt ist ein Primideal, also gleich (p).  18.3. Noethersche Ringe und Dedekind-Bereiche.

Emmy Noether (1882-1935)

Definition 18.12. Ein kommutativer Ring R heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist. Korollar 18.13. Jeder Zahlbereich ist ein noetherscher Ring. Beweis. Nach Korollar 18.9 ist jedes von 0 verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu Zn , also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale (also als RModuln) endlich erzeugt.  Satz 18.14. Sei R ein Zahlbereich. Dann ist jeder echte Restklassenring von R endlich.

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Beweis. Nach Lemma 18.5 gibt es ein m ∈ Z ∩ a, m 6= 0. Damit ist mR ⊆ a und damit hat man eine surjektive Abbildung R/(m) −→ R/a.

Der Ring links ist nach Korollar 18.11 endlich (mit mn Elementen), also besitzt der Ring rechts auch nur endlich viele Elemente.  Satz 18.15. Sei R ein Zahlbereich. Dann ist jedes von 0 verschiedene Primideal von R bereits ein maximales Ideal. Beweis. Sei p ein Primideal 6= 0 in R. Dann ist der Restklassenring R/p nach Lemma 16.13 ein Integrit¨atsbereich und nach Satz 18.14 endlich. Ein endlicher Integrit¨atsbereich ist aber nach Aufgabe 9.5 bereits ein K¨orper, so dass nach Lemma 16.15 ein maximales Ideal vorliegt. 

Richard Dedekind (1831-1916)

Die bisher etablierten Eigenschaften von Zahlbereichen lassen sich im folgenden Begriff zusammenfassen. Definition 18.16. Einen Integrit¨atsbereich R nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von 0 verschiedene Primideal darin maximal ist. Die Eigenschaft, dass jedes von 0 verschiedene Primideal maximal ist, bedeutet, dass die maximalen Ketten von Primidealen die Form 0 ⊂ m besitzen (wenn ein K¨orper vorliegt, so gibt es nur das einzige Primideal 0). Man sagt auch, dass die Krulldimension des Ringes gleich 1 ist. Korollar 18.17. Jeder Zahlbereich ist ein Dedekindbereich. Beweis. Dies folgt aus Satz 18.2, aus Korollar 18.13 und aus Satz 18.15.



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18. Arbeitsblatt ¨ 18.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 18.1. Es sei Q ⊆ L eine endliche K¨orpererweiterung und es sei R ⊆ L ein Unterring mit den folgenden Eigenschaften: (1) R ist ganz u ¨ber Z. (2) Es ist Q(R) = L. (3) R ist normal. Dann ist R der Ring der ganzen Zahlen von L. Aufgabe 18.2. Es sei R ein kommutativer Ring und S = R[X1 , . . . , Xn ]/a eine (als Algebra) endlich erzeugte R-Algebra, die ganz u ¨ber R sei. Zeige, dass S ein endlich erzeugter R-Modul ist. Aufgabe 18.3. Es sei R ein Zahlbereich und es sei R ⊆ S eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen. Es sei S ein normaler Integrit¨atsbereich. Zeige, dass S ebenfalls ein Zahlbereich ist. Aufgabe 18.4. Sei R ein Zahlbereich und sei f ∈ R. Zeige, dass N (f ) ∈ (f ) ist, dass also die Norm zum von f erzeugten Hauptideal geh¨ort. Zeige durch ein Beispiel, dass dies f¨ ur die Spur nicht gelten muss. In den drei folgenden Aufgaben wird der Begriff des primitiven Polynoms verwendet: Ein Polynom F ∈ Z[X] heißt primitiv, wenn die Koeffizienten von F teilerfremd sind. Aufgabe 18.5. Sei F ∈ Z[X] ein Polynom. Zeige, dass man F schreiben kann als F = nF˜ mit n ∈ N und primitivem F˜ . Aufgabe 18.6. Sei F ∈ Z[X] ein irreduzibles Polynom. Dann ist F , aufgefasst als Polynom in Q[X], ebenfalls irreduzibel. Aufgabe 18.7. Seien F, G ∈ Z[X] primitive Polynome. Zeige, dass dann auch das Produkt F G primitiv ist.

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Aufgabe 18.8. Es sei R ein faktorieller Zahlbereich und Z ⊆ R die zugeh¨orige Erweiterung. Zu einer Primzahl p sei p = q1r1 · · · qkrk

die Primfaktorzerlegung von p in R (die qi seien also paarweise nicht assoziiert). Zeige, dass die Primideale p von R mit der Eigenschaft p ∩ Z = (p) genau die Primideale der Form p = (qi ) sind. Aufgabe 18.9. Sei R ein Zahlbereich und sei f1 , . . . , fn ∈ R eine Z-Basis von R. Zeige, dass dann der Betrag der Diskriminante |△(f1 , . . . , fn )|

minimal ist unter allen Diskriminanten von linear unabh¨angigen n-Tupeln aus R. Aufgabe 18.10. Berechne die Diskriminante der Gaußschen Zahlen. Man gebe zwei wesentlich verschiedene Z-Basen von Z[i] an und u ufe, dass ¨berpr¨ die Diskriminanten u ¨bereinstimmen. Aufgabe 18.11. Man gebe ein Beispiel f¨ ur einen Dedekindbereich, wo jeder Restklassenring 6= 0 unendlich ist, und f¨ ur einen Dedekindbereich, der einen K¨orper enth¨alt und wo alle echten Restklassenringe endlich sind. Aufgabe 18.12. Sei R ein noetherscher, kommutativer Ring. Zeige, dass dann auch jeder Restklassenring R/a noethersch ist. Aufgabe 18.13. Sei K ein K¨orper und sei K[Xn , n ∈ N]

der Polynomring u ¨ber K in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette. Die folgenden Aufgaben benutzen das Produkt von Idealen. Zu zwei Idealen a und b in einem kommutativen Ring wird das Produkt durch ab = {a1 b1 + a2 b2 + · · · + ak bk }

mit ai ∈ a, bi ∈ b definiert. Das ist das Ideal, das von allen Produkten ab (mit a ∈ a, b ∈ b) erzeugt wird.

F¨ ur das n-fache Produkt eines Ideals a mit sich selbst schreibt man an .

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Aufgabe 18.14. Zeige, dass das Produkt von Hauptidealen wieder ein Hauptideal ist. Aufgabe 18.15. Es seien a, b ⊆ R Ideale in einem kommutativen Ring R. Zeige, dass die Beziehung a·b ⊆ a∩b gilt. Aufgabe 18.16. Es sei a ⊆ R ein Ideal in einem kommutativen Ring R. Zeige, dass die Potenzen an , n ∈ N+ , alle dasselbe Radikal besitzen. Aufgabe 18.17.* Es seien I und J Ideale in einem kommutativen Ring R und sei n ∈ N. Zeige die Gleichheit (I + J)n = I n + I n−1 J + I n−2 J 2 + · · · + I 2 J n−2 + IJ n−1 + J n . 18.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 18.18. (5 Punkte) Sei R = Z[X]/(X 4 + X 3 + X 2 + X + 1). Bestimme die Primideale in R, die u ¨ber den Primzahlen p = 2, 3, 5, 7 liegen. Aufgabe 18.19. (3 Punkte) Sei p eine Primzahl und betrachte die K¨orpererweiterung Q ⊂ L = Q[X]/(X 3 − p)

vom Grad 3. Sei f = aX 2 + bX + c ∈ L ein Element davon mit a, b, c ∈ Q. Berechne das Minimalpolynom von f und gebe die Koeffizienten davon explizit an. Bestimme insbesondere die Norm und die Spur von f . Welche Bedingungen an a, b, c ergeben sich aus der Voraussetzung, dass f ganz u ¨ber Z ist? Aufgabe 18.20. (3 Punkte) Sei R ein Dedekindbereich und seien p und q verschiedene Primideale 6= 0. Dann gibt es einen Ringisomorphismus R/p ∩ q −→ R/p × R/q.

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Aufgabe 18.21. (4 Punkte) Sei R ein Dedekindbereich und seien p und q zwei verschiedene Primideale. Dann ist p ∩ q = p · q. Aufgabe 18.22. (4 Punkte) Zeige: Ein kommutativer Ring R ist noethersch genau dann, wenn es in R keine unendliche echt aufsteigende Idealkette gibt.

a1 ⊂ a2 ⊂ a3 ⊂ . . . 19. Vorlesung - Endliche K¨ orper

Wir haben zuletzt gesehen, dass ein Zahlbereich, d.h. der Ring der ganzen Zahlen in einer endlichen K¨orpererweiterung L von Q, stets ein sogenannter Dedekindbereich ist. Dar¨ uber hinaus gilt auch die folgende Aussage. Satz 19.1. Hauptidealbereiche sind Dedekindbereiche. Beweis. Die Normalit¨at folgt aus Satz 3.7 und Satz 17.12. Die Eigenschaft noethersch folgt, da in einem Hauptidealbereich jedes Ideal sogar von einem Element erzeugt wird. Die Maximalit¨at der von 0 verschiedenen Primideale folgt aus Satz 3.12.  Definition 19.2. Sei R der Zahlbereich zur endlichen K¨orpererweiterung Q ⊆ L. Dann nennt man die Diskriminante einer Ganzheitsbasis von R die Diskriminante von R (und die Diskriminante von L). Die Diskriminante eines Zahlbereichs (oder eines Zahlk¨orpers) ist eine wohldefinierte ganze Zahl. Nach Definition ist die Diskriminante so gew¨ahlt, dass sie betragsm¨aßig minimal unter allen Diskriminanten zu Z-Basen aus R ist. Zwei solche Diskriminanten unterscheiden sich um ein Quadrat einer Einheit aus Z, so dass auch das Vorzeichen wohldefiniert ist. Wir wollen uns im weiteren Verlauf der Vorlesung mit Ringerweiterungen Z ⊆ R, wo R der Ring der ganzen Zahlen in einem Erweiterungsk¨orper von Q ist, besch¨aftigen, insbesondere mit quadratischen Erweiterungen. Was bei einer solchen Erweiterung mit einer (gew¨ohnlichen) Primzahl p passiert, also ob sie in R ein Primelement bleibt oder nicht und welche Primideale aus p u ¨ber p liegen, kann man weitgehend modulo“ p bestimmen. ” Ist z. B. R durch ein in Z[X] irreduzibles Polynom F gegeben, also R = Z[X]/(F ), so wird die Faser“ (diese Terminologie l¨asst sich genauer be” gr¨ unden) u ¨ber p durch den Restklassenring (Z/(p))[X]/(F ) beschrieben (den wir auch den Faserring u ¨ber p nennen), wobei F bedeutet, dass man jeden

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Koeffizient von F (der ja eine ganze Zahl ist) durch seine Restklasse in Z/(p) ersetzt. Dabei kann nat¨ urlich die Irreduzibilit¨at des Polynoms verloren gehen, und dies beschreibt wichtige Eigenschaften von p in R. Man beachte hierbei die Isomorphie R/pR ∼ = (Z/(p))[X]/(F ), die auf allgemeinen Gesetzen f¨ ur Ideale beruht. Sie besagt insbesondere, dass p ein Primelement in R genau dann ist, wenn F irreduzibel in (Z/(p))[X] ist. Insgesamt liegt eine endliche Erweiterung Z/(p) ⊆ (Z/(p))[X]/(F )

vor. Dabei sind beide Ringe endlich (besitzen also nur endlich viele Elemente), und links steht ein endlicher K¨orper, so dass die Erweiterung also sofort ein Vektorraum ist (der selbst ein K¨orper sein kann, aber nicht muss) und eine gewisse Dimension besitzt (n¨amlich den Grad von F ). In diesem Abschnitt besch¨aftigen wir uns allgemein mit endlichen Ringen und vor allem mit endlichen K¨orpern. 19.1. Endliche K¨ orper. Wir erinnern kurz an die Charakteristik eines Ringes. Zu jedem kommutativen Ring gibt es den kanonischen Ringhomomorphismus ϕ : Z → R, und der Kern davon ist ein Ideal a in Z und hat daher die Form a = (n) mit einem eindeutig bestimmten n ≥ 0. Diese Zahl nennt man die Charakteristik von R. Ist R ein K¨orper, so ist dieser Kern ein Primideal, also a = 0 oder a = (p) mit einer Primzahl p. Man spricht von Charakteristik 0 oder von positiver Charakteristik p > 0. Jeder K¨orper umfasst einen kleinsten K¨orper, das ist der K¨orper der rationalen Zahlen Q bei Charakteristik 0 oder Z/(p) bei Charakterisitk p. Wir erinnern ferner an den Begriff des Frobenius-Homomorphismus (siehe Aufgabe 4.12): F¨ ur einen Ring R der Charakteristik p (p eine Primzahl) ist die Abbildung R → R, f 7→ f p , ein Ringhomomorphismus. Wir haben bereits die endlichen Primk¨orper Z/(p) zu einer Primzahl p kennengelernt. Sie besitzen p Elemente, und ein K¨orper besitzt genau dann die Charakteristik p, wenn er diesen Primk¨orper enth¨alt.

Lemma 19.3. Sei K ein endlicher K¨orper. Dann besitzt K genau pn Elemente, wobei p eine Primzahl ist und n ≥ 1. Beweis. Der endliche K¨orper kann nicht die Charakteristik 0 besitzen, und als Charakteristik eines K¨orpers kommt ansonsten nach der Vor¨ uberlegung nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit p bezeichnet. Das bedeutet, dass K den K¨orper Z/(p) enth¨alt. Damit ist aber K ein Vektorraum u ¨ber Z/(p), und zwar, da K endlich ist, von endlicher Dimension. Sei n die Dimension, n ≥ 1. Dann hat man eine Z/(p)-Vektorraum-Isomorphie K ∼ = (Z/(p))n und somit besitzt K gerade pn Elemente. 

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Die vorstehende Aussage gilt allgemeiner f¨ ur endliche Ringe, die einen K¨orper enthalten. Endliche K¨orper der Anzahl pn konstruiert man, indem man in (Z/(p))[X] ein irreduzibles Polynom vom Grad n findet. Ob ein gegebenes Polynom irreduzibel ist l¨asst sich dabei grunds¨atzlich in endlich vielen Schritten entscheiden, da es ja zu jedem kleineren Grad u ¨berhaupt nur endlich viele Polynome gibt, die als Teiler in Frage kommen k¨onnen. Zur Konstruktion von einigen kleinen endlichen K¨orpern siehe die Aufgabe 19.7. Lemma 19.4. Sei K ein K¨orper der Charakteristik p, sei q = pe , e ≥ 1. Es sei M = {x ∈ K| xq = x} . Dann ist M ein Unterk¨orper von K. Beweis. Zun¨achst gilt f¨ ur jedes Element x ∈ Z/(p) ⊆ K, dass e

xp = (xp )p

e−1

= xp

e−1

= ... = x

ist, wobei wir wiederholt den kleinen Fermat benutzt haben. Insbesondere ist also 0, 1, −1 ∈ M . Es ist z q = F e (z) und der Frobenius F : K −→ K, x 7−→ xp ,

ist ein Ringhomomorphismus. Daher ist f¨ ur x, y ∈ M einerseits

(x + y)q = F e (x + y) = F e (x) + F e (y) = xq + y q = x + y

und andererseits (xy)q = xq y q = xy. Ferner gilt f¨ ur x ∈ M , x 6= 0, die Gleichheit q x−1 = (xq )−1 = x−1 ,

so dass auch das Inverse zu M geh¨ort und in der Tat ein K¨orper vorliegt.  Lemma 19.5. Sei K ein K¨orper der Charakteristik p > 0, sei q = pe , e ≥ 1. Das Polynom X q − X zerfalle u ¨ber K in Linearfaktoren. Dann ist M = {x ∈ K| xq = x}

ein Unterk¨orper von K mit q Elementen.

Beweis. Nach Lemma 19.4 ist M ein Unterk¨orper von K, und nach Satz 5.1 besitzt er h¨ochstens q Elemente. Es ist also zu zeigen, dass F = X q − X keine mehrfache Nullstellen hat. Dies folgt aber aus der formalen Ableitung F ′ = −1 und Aufgabe 19.6.  Wenn es also einen Erweiterungsk¨orper Z/(p) ⊆ K

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gibt, u ¨ber den das Polynom X q − X in Linearfaktoren zerf¨allt, so hat man bereits einen K¨orper mit q Elementen gefunden. Es gibt aber generell zu jedem K¨orper und jedem Polynom einen Erweiterungsk¨orper, u ¨ber dem das Polynom in Linearfaktoren zerf¨allt. Lemma 19.6. Sei Kein K¨orper und F ein Polynom aus K[X]. Dann gibt es einen Erweiterungsk¨orper K ⊆ L derart, dass F u ¨ber L in Linearfaktoren zerf¨allt. Beweis. Sei F = P1 · · · Pr die Zerlegung in Primpolynome in K[X], und sei P1 nicht linear. Dann ist K −→ K[Y ]/(P1 (Y )) =: K ′ eine K¨orpererweiterung von K nach Satz 3.12. Wegen P1 (Y ) = 0 in K ′ ist die Restklasse y von Y in K ′ eine Nullstelle von P1 . Daher gilt in K ′ [X] die Faktorisierung P1 = (X − y)P˜ ,

wobei P˜ einen kleineren Grad als P1 hat. Das Polynom F hat also u ¨ber K ′ mindestens einen Linearfaktor mehr als u ¨ber K. Induktive Anwendung von dieser Konstruktion liefert eine Kette von Erweiterungen K ⊂ K ′ ⊂ K ′′ . . ., die station¨ar wird, sobald F in Linearfaktoren zerf¨allt. 

Satz 19.7. Sei p eine Primzahl und e ∈ N+ . Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen K¨orper mit q = pe Elementen. Beweis. Existenz. Wir wenden Lemma 19.6 auf den Grundk¨orper Z/(p) und das Polynom X q − X an und erhalten einen K¨orper L der Charakteristik p, u ¨ber dem X q − X in Linearfaktoren zerf¨allt. Nach Lemma 19.5 gibt es dann einen Unterk¨orper M von L, der aus genau q Elementen besteht. Eindeutigkeit. Seien K und L zwei K¨orper mit q Elementen. Es sei x ∈ K × ein primitives Element, das nach Satz 5.2 existiert. Daher ist K ∼ = Z/(p)[X]/(F ), wobei F ∈ Z/(p)[X] das Minimalpolynom von x ∈ K ist. Da K × die Ordnung q − 1 besitzt, gilt f¨ ur jede Einheit z q−1 = 1 und damit u ur alle z ∈ K. D.h., dass jedes Element von K eine Null¨berhaupt z q = z f¨ stelle von X q −X ist und dass daher X q −X u ¨ber K in Linearfaktoren zerf¨allt. q Da insbesondere x − x = 0 ist, muss das Minimalpolynom F ein Teiler von X q − X sein, also X q − X = F · G. Nun zerf¨allt (aus den gleichen Gr¨ unden) q das Polynom X − X auch u ¨ber L und insbesondere hat F eine Nullstelle λ ∈ L. Der Einsetzungshomomorphismus liefert einen Ringhomomorphismus K∼ = Z/(p)[X]/(F ) −→ L.

Da beides K¨orper sind, muss dieser injektiv sein. Da links und rechts jeweils q-elementige Mengen stehen, muss er auch surjektiv sein. 

166

Notation 19.8. Sei p eine Primzahl und e ∈ N+ . Der aufgrund von Satz 19.7 bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte endliche K¨orper mit q = pe Elementen wird mit Fq bezeichnet. 19.2. Quadratische Ringerweiterungen u orper. ¨ ber einem K¨ Die quadratischen Erweiterungen eines K¨orpers kann man wie folgt charakterisieren. Lemma 19.9. Sei K ein K¨orper und K ⊂ L eine Ringerweiterung vom Grad zwei. Dann gibt es die folgenden drei M¨oglichkeiten: (1) L ist ein K¨orper. (2) L ist von der Form L = K[ǫ]/ǫ2 . (3) L ist der Produktring L ∼ = K × K. Beweis. Nach Voraussetzung ist L ein zweidimensionaler K-Vektorraum. Wir k¨onnen das Element 1 ∈ K ⊂ L zu einer K-Basis 1, u von L erg¨anzen (mit u 6∈ K). Wegen u2 ∈ L hat man eine Darstellung u2 = au + b

mit eindeutig bestimmten Elementen a, b ∈ K. Damit ist L isomorph zum Restklassenring L ∼ = K[U ]/(U 2 − aU − b). Ist das Polynom P = U 2 − aU − b irreduzibel u ¨ber K, so ist L ein K¨orper und wir sind im ersten Fall. Andernfalls gibt es eine Zerlegung P = (U − c)(U − d) mit c, d ∈ K. Bei c = d kann man die Restklasse von U − c (also u − c) als ǫ bezeichnen und man ist im zweiten Fall, da ja ǫ2 = 0 gilt. Sei also c 6= d vorausgesetzt. Dann induzieren die beiden K-Algebrahomomorphismen ϕ1 : L → K, u 7→ c, und ϕ2 : L → K, u 7→ d, einen Homomorphismus ϕ = ϕ1 × ϕ2 : L −→ K × K.

Dieser ist surjektiv, da ϕ(1) = (1, 1) und ϕ(u) = (c, d) ist und diese Bildvektoren linear unabh¨angig u ¨ber K sind, also eine Basis von K × K bilden. Damit ist ϕ aber auch injektiv und es liegt eine Isomorphie wie im dritten Fall behauptet vor.  19. Arbeitsblatt ¨ 19.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 19.1. Konstruiere einen K¨orper F9 mit 9 Elementen. Aufgabe 19.2. Bestimme in F9 f¨ ur jedes Element die multiplikative Ordnung. Man gebe insbesondere die primitiven Einheiten an.

167

Aufgabe 19.3. Es sei p eine Primzahl und F ein K¨orper mit p2 Elementen. Welche Ringhomomorphismen zwischen Z/(p2 ) und F gibt es? Man betrachte beide Richtungen. Aufgabe 19.4. Sei K ein K¨orper der positiven Charakteristik p. Sei F : K → K der Frobenius-Homomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus Z/(p) invariant unter F sind. Aufgabe 19.5. Sei K ein K¨orper der positiven Charakteristik p. Sei ϕ = F e : K −→ K, x 7−→ xp

e

die e-te Iteration des Frobenius-Homomorphismus. Zeige, dass es maximal pe Elemente gibt, die unter ϕ invariant sind, und dass diese Elemente einen Unterk¨orper von K bilden. Aufgabe 19.6. Sei K ein K¨orper und sei K[X] der Polynomring u ¨ber K. Es sei F ∈ K[X] und a ∈ K. Zeige, dass a genau dann eine mehrfache Nullstelle von F ist, wenn F ′ (a) = 0 ist, wobei F ′ die formale Ableitung von F bezeichnet. Aufgabe 19.7. Gehe zur Seite Endliche K¨orper/Nicht Primk¨orper/Einige Operationstafeln und erstelle f¨ ur einen der dort angegebenen K¨orper Additions- und Multiplikationstafeln. Aufgabe 19.8. Konstruiere endliche K¨orper mit 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 49, 64, 81, 121, 125 und 132 Elementen. Aufgabe 19.9. Sei K ⊆ L eine K¨orpererweiterung von endlichen K¨orpern. Zeige, dass dies eine einfache K¨orpererweiterung ist. Aufgabe 19.10.* a) Zeige, dass durch K = Z/(7)[T ]/(T 3 − 2) ein K¨orper mit 343 Elementen gegeben ist. b) Berechne in K das Produkt (T 2 + 2T + 4)(2T 2 + 5). c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu T + 1.

168

Aufgabe 19.11. a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms F = X 3 + X + 2 in Z/(5)[X]. b) Zeige, dass durch K = Z/(5)[T ]/(T 2 − 2) ein K¨orper mit 25 Elementen gegeben ist. c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von F = X 3 + X + 2 u ¨ber K = 2 Z/(5)[T ]/(T − 2). Aufgabe 19.12.* Bestimme die Matrix des Frobenius-Homomorphismus Φ : F49 −→ F49

bez¨ uglich einer geeigneten F7 -Basis von F49 . Aufgabe 19.13.*

Sei Fq ein endlicher K¨orper der Charakteristik ungleich 2. Zeige unter Verwendung der Isomorphies¨atze, dass genau die H¨alfte der Elemente aus F× q ein Quadrat in Fq ist. Aufgabe 19.14. Formuliere und beweise eine Version des Eulerschen Kriteriums f¨ ur beliebige endliche K¨orper. Aufgabe 19.15. Es sei K ein endlicher K¨orper der Charakteristik p 6= 2.

a) Zeige, dass es in K Elemente gibt, die keine Quadratwurzel besitzen. b) Zeige, dass es eine endliche nichttriviale K¨orpererweiterung vom Grad zwei gibt.

K ⊆ L

Aufgabe 19.16. Sei p eine Primzahl und q = pn , n ≥ 2. Zeige, dass Z/(pn ) kein Vektorraum u ¨ber Z/(p) sein kann. Aufgabe 19.17. Betrachte die kommutativen Ringe Z/(13), Z/(169) und F169 . Bestimme alle Ringhomomorphismen zwischen diesen drei Ringen.Fakt Aufgabe 19.18.* Man gebe eine vollst¨andige Liste aller kommutativer Ringe mit 6 Elementen.

169

Aufgabe 19.19.* Es sei R ein Zahlbereich und es sei p 6= 0 ein Primideal. Zeige, dass die Norm von p eine echte Primzahlpotenz ist. Aufgabe 19.20.* Sei p eine Primzahl, q = pe mit e ≥ 1 und sei Fq der K¨orper mit q Elementen und R = Fq [X] der Polynomring dar¨ uber. Zeige, dass jeder Restklassenring R/a zu einem Ideal a 6= 0 endlich ist. Aufgabe 19.21. Bestimme alle L¨osungen der Gleichung x2 + y 2 + xy = 1 f¨ ur die K¨orper K = F2 , F4 und F8 . 19.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 19.22. (3 Punkte) Sei R ein Zahlbereich und sei f1 , . . . , fn ∈ R eine Z-Basis von R mit Diskriminante △(f1 , . . . , fn ) . Es sei h ∈ R. Zeige, dass hf1 , . . . , hfn eine Z-Basis des Hauptideals (h) bildet und dass gilt: min{|△(b1 , . . . , bn )| : (b1 , . . . , bn ) Z-Basis von (h)} = N (h)2 |△(f1 , . . . , fn )| . Aufgabe 19.23. (3 Punkte) Finde m¨oglichst viele (nicht isomorphe) kommutative Ringe mit vier Elementen. Beweise, dass die Liste vollst¨andig ist. Aufgabe 19.24. (4 Punkte) Sei p eine Primzahl und e, d ∈ N+ . Zeige: Fpd ist ein Unterk¨orper von Fpe genau dann, wenn e ein Vielfaches von d ist. Aufgabe 19.25. (4 Punkte) Sei q eine echte Primzahlpotenz und Fq der zugeh¨orige endliche K¨orper. Zeige, dass in Fq2 jedes Element aus Fq ein Quadrat ist. Aufgabe 19.26. (7 Punkte) Sei K ein K¨orper und K ⊂ L eine Ringerweiterung vom Grad drei. Klassifiziere die m¨oglichen Typen von L, a¨hnlich wie in Lemma 19.9.

170

20. Vorlesung - Quadratische Zahlbereiche 20.1. Quadratische Zahlbereiche. Definition 20.1. Ein quadratischer Zahlbereich ist der Ring der ganzen Zahlen in einem Erweiterungsk¨orper von Q vom Grad 2. Quadratische Zahlbereiche sind zwar die einfachsten Zahlbereiche, sind aber keineswegs einfach, sondern zeigen bereits die Reichhaltigkeit der algebraischen Zahlentheorie. Definition 20.2. Eine ganze Zahl heißt quadratfrei, wenn jeder Primfaktor von ihr nur mit einem einfachen Exponenten vorkommt. Notation 20.3. Zu einer quadratfreien Zahl D 6= 0, 1 bezeichnet man den zugeh¨ √ origen quadratischen Zahlbereich, also den Ring der ganzen Zahlen in Q[ D], mit AD . Eine quadratische K¨orpererweiterung der rationalen Zahlen wird durch ein normiertes irreduzibles Polynom beschrieben, das man durch quadratisches Erg¨anzen auf die Form X 2 − q bringen kann. Durch Multiplikation mit einem Quadrat (siehe Aufgabe 12.1) kann man q durch eine quadratfreie ganze √ Zahl ersetzen. Die quadratische K¨orpererweiterung kann man als Q = Q[ D] mt einer quadratfreien Zahl D 6= 0, 1 ansetzen. Ein großer Unterschied√besteht je nachdem, ob D positiv oder negativ ist. Im positiven Fall ist D eine reelle irrationale Zahl, im negativen Fall handelt es sich um eine imagin¨are Zahl. Man definiert: Definition 20.4. Sei D 6= 0, 1 quadratfrei und AD der zugeh¨orige quadratische Zahlbereich. Dann heißt AD reell-quadratisch, wenn D positiv ist, und imagin¨ar-quadratisch, wenn D negativ ist. √ Definition 20.5. Sei D 6= 0, 1 eine quadratfreie Zahl und sei Q[ D] die zugeh¨orige quadratische K¨orpererweiterung und AD der zugeh¨ √ orige quadra√ tische Zahlbereich. Dann wird der Automorphismus (auf Q[ D], auf Z[ D] und auf AD ) √ √ a + b D 7−→ a − b D als Konjugation bezeichnet. Wir bezeichnen die Konjugation von z mit z¯. Bemerkung 20.6. Im imagin¨ ar-quadratischen Fall, wenn also D < 0 ist, √ √ √ so√ist D = √i −D mit −D reell. Die Konjugation schickt dies dann auf − D = −i −D, so dass diese Konjugation mit der komplexen Konjugation u Im reell-quadratischen Fall allerdings hat die Konjugation ¨bereinstimmt. √ √ D 7→ − D nichts mit der komplexen Konjugation zu tun.

171

Bemerkung 20.7. Bei einer endlichen K¨orpererweiterung K ⊆ L werden Norm und Spur eines Elementes z ∈ L u ¨ber die Determinante und die Spur der Multiplikationsabbildung f : L → L definiert. Im Fall einer quadratischen Erweiterung √ Q ⊂ Q[ D] √ D eine Qsind diese beiden Invarianten einfach zu berechnen: Da 1 und √ Basis bilden, ist z = a + b D und damit ist die Multiplikationsmatrix durch   a bD b a gegeben. Somit ist

und

√ √ N (z) = a2 − b2 D = (a + b D)(a − b D) = zz √ √ S(z) = 2a = (a + b D) + (a − b D) = z + z.

Lemma 20.8. Sei Q ⊂ L eine quadratische K¨orpererweiterung und f ∈ L. Dann ist f genau dann ganz u ¨ber Z, wenn sowohl die Norm als auch die Spur von f zu Z geh¨oren. Beweis. Dies folgt aus Satz 18.6, aus Satz 15.15, und aus der Gestalt des Minimalpolynoms (n¨amlich gleich f 2 + S(f )f + N (f ), falls f ∈ / Q) im quadratischen Fall.  Wir kommen zur expliziten Beschreibung eines quadratischen Zahlbereiches. Satz 20.9. Sei D 6= 0, 1 eine quadratfreie Zahl und AD der zugeh¨orige quadratische Zahlbereich. Dann gilt √ AD = Z[ D], wenn D = 2, 3 mod 4 und

√ 1+ D ], wenn D = 1 mod 4 . AD = Z[ 2 √ Beweis. Sei x ∈ AD gegeben, x = a + b D, a, b ∈ Q. Aus Lemma 20.8 folgt N (x) = a2 − Db2 ∈ Z und S(x) = 2a ∈ Z .

Aus der zweiten Gleichung folgt, dass a = n2 mit n ∈ Z ist. Sei b = rs mit r, s 2 2 teilerfremd, s ≥ 1. Die erste Gleichung wird dann zu n2 −D rs = k ∈ Z 2 bzw. n2 − 4D rs = 4k. Dies bedeutet, da r und s teilerfremd sind, dass 2 4D von s geteilt wird. Da ferner D quadratfrei ist, folgt, dass s = 1 oder 2 s = 2 ist. Im ersten Fall √ ist n ein Vielfaches von 2 (da n ein Vielfaches von 4 ist), so dass x ∈ Z[ D] ist. Sei also s = 2, was zur Bedingung

n2 − Dr2 = 4k

172

f¨ uhrt. √ Wir betrachten diese Gleichung modulo 4. Bei n und r gerade ist ur D = 2, 3 x ∈ Z[ D]. Die einzigen Quadrate in Z/(4) sind 0 und 1, so dass f¨ mod 4 keine weitere L¨osung existiert. F¨ ur D = 1 mod 4 hingegen gibt es auch noch die L¨osung n = 1 mod 2 und r = 1√ mod 2, also n und r beide ungerade. Diese L¨osungen geh¨oren alle zu Z[ 1+2 D ]. √ Die umgekehrte Inklusion Z[ D] ⊆ AD ist klar, sei also D = 1 mod 4. Dann ist aber √ √ √ √ !2 1+ D 1+D+2 D−2−2 D D−1 1+ D − = = ∈ Z, 2 2 4 4 eine ganze Zahl, so dass dies sofort eine Ganzheitsgleichung und dabei ist D−1 4 u ber Z ergibt.  ¨ In den im vorstehenden Satz beschriebenen F¨allen kann man jeweils den Ring der ganzen Zahlen durch eine Variable und eine Gleichung beschreiben. F¨ ur D = 2, 3 mod 4 ist √ AD ∼ = Z[ D] ∼ = Z[X]/(X 2 − D). √

ur den Algebra-Erzeuger. F¨ ur D = 1 mod 4 setzt man h¨aufig ω = 1+2 D f¨ D−1 2 Dieser Erzeuger erf¨ ullt ω − ω − 4 = 0. Wir haben also   D−1 2 ∼ . AD = Z[ω]/ ω − ω − 4 Wie √ werden h¨aufiger in beiden F¨allen diese Ganzheitsbasis 1, ω nennen, mit √ 1+ D ω = D im ersten Fall und ω = 2 im zweiten Fall. Lemma 20.10. Sei D 6= 0, 1 eine quadratfreie Zahl und AD der zugeh¨orige quadratische Zahlbereich Dann ist die Diskriminante von AD gleich △ = 4D, wenn D = 2, 3

mod 4

und △ = D, wenn D = 1

mod 4 .

Beweis. Im Fall D = 2, 3 mod 4 ist AD = Z[X]/(X 2 − D) und daher bilden 1 und X eine Ganzheitsbasis. Die m¨oglichen Produkte zu dieser Basis sind in Matrixschreibweise   1 X . X D Wendet man darauf kompoentenweise die Spur an so erh¨alt man   2 0 0 2D

und die Determinante davon ist 4D.

173

Im Fall D = 1 mod 4 ist hingegen   D−1 2 AD = Z[ω]/ ω − ω − 4

und eine Ganzheitsbasis ist 1 und ω. Die Matrix der Basisprodukte ist dann   1 ω . ω ω + D−1 4 Wendet man darauf die Spur an (die Spur von ω ist 1), so erh¨alt man   2 1 1 1 + D−1 2

und die Determinante davon ist   D−1 2 1+ − 1 = 2 + D − 1 − 1 = D. 2

 20.2. Primideale in quadratischen Zahlbereichen. Bemerkung 20.11. Das Verhalten von Primzahlen in einer quadratischen Erweiterung l¨asst sich aus der oben erzielten Beschreibung mit Gleichungen erhalten. Generell wird bei R = Z[X]/(F ) das Verhalten von p in R durch (Z/(p))[X]/ (F ) beschrieben, wobei F bedeutet, dass die ganzzahligen Koeffizienten durch ihre Restklasse modulo p ersetzt werden. Wir nennen den Ring R/(p) = Z/(p)[X]/(F ) = Z[X](p, F ) den Faserring u ¨ber p. Bei D = 2, 3 mod 4 hat man einfach R/(p) = Z/(p)[X]/(X 2 − D), wobei man D durch D mod p ersetzen kann. Die prinzipiellen M¨oglichkeiten werden in Lemma 19.9 beschrieben. Ob u ¨ber p ein oder zwei Primideale liegen h¨angt davon ab, ob D ein Quadratrest modulo p ist und ob p ungerade ist, und p ist prim genau dann, wenn D kein Quadratrest modulo p ist. Bei D = 1 mod 4 hat man 

D−1 R/(p) = Z/(p)[ω]/ ω − ω − 4 2



.

Ist p ungerade, so ist 2 eine Einheit in Z/(p) und man kann quadratisch erg¨anzen. Dann ist   2 2 1 1 D−1 1 D−1 D 2 = ω− = ω− ω −ω− − − − . 4 2 4 4 2 4

174

 Der Faserring hat daher die Form Z/(p)[Y ]/ Y 2 − D4 und nach Multiplikation der Gleichung mit der Einheit 4 kann man dies als Z/(p)[Z]/(Z 2 − D) schreiben, so dass es wieder darum geht, ob D ein Quadratrest modulo p ist. Ist hingegen p = 2, so schreibt sich die Gleichung als ω 2 + ω + c, wobei c = 1 ist, wenn D = 5 mod 8 ist, und c = 0, wenn D = 1 mod 8. Im ersten Fall ist die Gleichung irreduzibel u ¨ber Z/(2) und 2 ist prim in R, im zweiten Fall ist die Gleichung reduzibel und 2 zerf¨allt in zwei Primideale. Damit k¨onnen wir entscheiden, wie viele Primideale in AD u ¨ber einer Primzahl p liegen. Wir wollen dar¨ uber hinaus genau beschreiben, wie das Zerlegungsverhalten einer Primzahl in einer quadratischen Erweiterung aussieht, und beginnen mit der Situation, wo p die Diskriminante teilt. Lemma 20.12. Sei D 6= 0, 1 eine quadratfreie Zahl und AD der zugeh¨orige quadratische Zahlbereich. Die Primzahl p sei ein Teiler der Diskriminante △ von AD . Dann gibt es oberhalb von p genau ein Primideal p und es ist p2 = (p)AD . Beweis. Sei zun¨achst D = 2, 3 mod 4, so dass △ = 4D nach Lemma 20.10 ist und als Primteiler p der Diskriminante 2 und die Teiler von D in Frage kommen. Es ist  AD /(p) = (Z[X]/(X 2 − D)/(p)) = (Z/(p))[X]/ X 2 − D .

Bei p|D steht hier (Z/(p))[X]/(X 2 ) und dieser Ring hat das einzige Primideal (X) mit X 2 = 0. Diesem Primideal entspricht in AD das Primideal p = (p, X). Es ist p2 = (p). Einerseits gilt f¨ ur f ∈ p2 im Faserring modulo p die 2 Beziehung f ∈ (X ) = 0, woraus f ∈ (p) folgt. Andererseits ist X 2 = D = up (in AD ) mit u ∈ Z. Da D quadratfrei ist, ist u teilerfremd zu p und daher kann man mit 1 = ru + sp schreiben p = p(ru + sp) = rup + sp2 = rX 2 + sp2 ∈ p2 .

Bei p = 2 gilt in Z/(2)[X] die Beziehung (X − D)2 = X 2 − D2 = X 2 − D, so dass eine analoge Situation vorliegt. Sei jetzt D = 1 mod 4 und sei p ein Primteiler von △ = D. Es ist    D−1 2 AD /(p) = Z[ω]/ ω − ω − /(p) 4   D−1 2 = (Z/(p))[ω]/ ω − ω − . 4

Da D ungerade ist, ist 2 eine Einheit in Z/(p), so dass man die Gleichung modulo p als  2 2 2   1 1 D−1 D 1 1 ω− − − − = ω− = ω− 2 4 4 2 4 2 schreiben kann, so dass wieder eine analoge Situation vorliegt.



175

Zu einem Ideal a bezeichnet a das konjugierte Ideal, das aus allen konjugierten Elementen aus a besteht. Satz 20.13. Sei D 6= 0, 1 eine quadratfreie Zahl und AD der zugeh¨orige quadratische Zahlbereich. Dann gibt es f¨ ur eine Primzahl p die folgenden drei M¨oglichkeiten: (1) p ist prim in AD . (2) Es gibt ein Primideal p in AD derart, dass (p) = p2 ist. (3) Es gibt ein Primideal p in AD derart, dass (p) = pp ist mit p 6= p. Beweis. Sei R = AD . Wir betrachten den Restklassenring L = R/(p), der eine quadratische Erweiterung des K¨orpers Z/(p) ist. Damit gibt es nach Lemma 19.9 die drei M¨oglichkeiten: (1) L ist ein K¨orper. (2) L ist von der Form L = Z/(p)[ǫ]/ǫ2 . (3) L ist der Produktring L ∼ = Z/(p) × Z/(p). Im ersten Fall ist p ein Primelement in R. Im zweiten Fall besitzt L genau einen Restklassenk¨orper als einzigen nicht-trivialen Restklassenring, n¨amlich Z/(p). Nach der in Aufgabe 9.15 bewiesenen Korrespondenz gibt es also genau ein Primideal p mit (p) ⊆ p (das dem Ideal (ǫ) im Restklassenring entspricht). Dann ist p = (p, ǫ) (wobei hier ǫ ein Repr¨asentant in R sei) und p2 = (p). Im dritten Fall besitzt L zwei Restklassenk¨orper und damit zwei maximale Ideale, deren Durchschnitt, das zugleich deren Produkt ist, das Nullideal ist. Zur¨ uck¨ ubersetzt nach R heißt das, dass es zwei verschiedene Primideale p und q gibt mit (p) ⊂ p, q und mit (p) = p ∩ q. Nach Aufgabe 18.11 ist p ∩ q = p · q. Mit (p) ⊂ p ist auch (p) ⊂ p. Wir zeigen, dass p = q ist, d.h., dass die beiden Primideale u ¨ber p konjugiert vorliegen. Da nach Lemma 20.12 bei p|△ der zweite Fall vorliegt, wissen wir, dass p die Diskriminate nicht teilt. Bei D = 2, 3 mod 4 ist p ungerade und D ist ein Quadratrest modulo p. Seien a und −a die beiden verschiedenen (!) √ Quadratwurzeln modulo p. Dann werden die beiden Primideale durch (p, a ± D) beschrieben, und diese sind konjugiert. Bei D = 1 mod 4 und p ungerade ist nach der Bemerkung 20.11 u ¨ber die explizite Beschreibung der Faserringe D wieder ein Quadratrest modulo p. Seien a und −a die beiden verschiedenen (!) Quadratwurzeln von D modu1 a lo p. Dann ist ω −  2 =√ ±  2 und daher sind die beiden Primideale gleich  p, ω ± a − 12 = p, a±2 D , so dass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt.

Bei D = 1 mod 4 und p = 2 ist nach der Fakt D = 1 mod 8. Die Nullstellen des beschreibenden Polynoms sind dann 0 und 1. Daher sind die √Primideale  dar¨ uber gegeben durch (2, ω) und (2, ω − 1). Es ist (2, ω) = 2, D+1 und 2

176

   √  √ D+1 D−1 , so dass wieder ein konjugiertes (2, ω − 1) = 2, 2 − 1 = 2, 2 Paar vorliegt.  20. Arbeitsblatt ¨ 20.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 20.1. Bestimme den (Isomorphietyp des) Ganzheitsringes der quadratischen K¨orpererweiterung   3 5 2 . Q ⊂ Q[X]/ X + X − 2 7 √ Aufgabe 20.2. Zeige, dass die Konjugation auf Q[ D] ein K¨orperautomorphismus und auf AD ein Ringautomorphismus ist. Zeige, dass der Invariantenring gleich Q bzw. gleich Z ist. Aufgabe 20.3. Es sei R ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass die 1 Teil einer Ganzheitsbasis von R ist. √ Aufgabe 20.4. Bestimme die Konjugation f¨ ur D bzw. f¨ ur ω in den verschiedenen expliziten Beschreibungen f¨ ur die quadratischen Zahlbereiche. √ Aufgabe 20.5. Bestimme die Spur f¨ ur D bzw. f¨ ur ω in den verschiedenen expliziten Beschreibungen f¨ ur die quadratischen Zahlbereiche. √ Aufgabe 20.6. Bestimme die Norm f¨ ur D bzw. f¨ ur ω in den verschiedenen expliziten Beschreibungen f¨ ur die quadratischen Zahlbereiche. Aufgabe 20.7. Seien D und E zwei verschiedene quadratfreie Zahlen und seien AD und AE die zugeh¨origen quadratischen Zahlbereiche. Zeige AD ∩ AE = Z. Aufgabe 20.8.*

√ Bestimme ein Element aus Z[ −11], das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begr¨ unde, dass dieses Element irreduzibel ist.

177

Aufgabe √ 20.9. Sei D 6= 0, 1 quadratfrei. Bestimme die Restklassengruppe AD /Z[ D].

Aufgabe 20.10. Sei D eine quadratfreie Zahl mit D = 1 mod 4, und sei AD der zugeh¨ orige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung √ √ 1+ D f¨ ur 2 u ¨ber Z an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe Z[ D] ⊂ R ⊂ AD gibt. Aufgabe 20.11. Bestimme f¨ ur die quadratischen Zahlbereiche AD mit negativem D s¨amtliche Einheiten.

Aufgabe 20.12.* F¨ ur welche quadratfreien Zahlen mit D = 1 ist



1+ D 2

mod 4

eine Einheit?

√ √ Aufgabe 20.13. Zeige, dass in R = Z[ 7] das Element 8+3 7 eine Einheit ist.

Aufgabe 20.14. Finde ein quadratfreies D derart, dass die nat¨ urliche Inklusion √ Z[ D] ⊆ AD

die Eigenschaft besitzt, dass es zwei verschiedene Primideale q und q′ in AD √ gibt, die beide u ¨ber dem gleichen Primideal p ⊂ Z[ D] liegen. Was ist p ∩ Z? Aufgabe 20.15. Es sei R ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass es nur endlich viele Primzahlen mit der Eigenschaft gibt, dass der Faserring u ¨ber Z/(p) nicht reduziert ist.

Aufgabe 20.16. Es sei R ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass die Konjugation zu jeder Primzahl p einen Z/(p)-Algebraisomorphismus des Faserringes u ¨ber p in sich selbst induziert. Beschreibe diesen in den drei m¨oglichen F¨allen im Sinne von Lemma 19.9 bzw. Satz 20.13.

178

20.2. Aufgaben zum Abgeben.

Aufgabe 20.17. (5 Punkte) Sei D 6= 0, 1 √ eine quadratfreie Zahl und betrachte die quadratische Erweiterung Z ⊂ Z[ D]. Es sei p ein Primfaktor von D und es sei vorausgesetzt, dass weder p noch −p ein Quadratrest modulo D/p ist. Dann ist p irreduzibel √ in Z[ D], aber nicht prim.

Aufgabe 20.18. (3 Punkte) √ Sei R = Z[ 7]. Bestimme die Primideale in R, die u ¨ber p = 29 liegen und zeige, dass es sich um Hauptideale handelt.

Aufgabe 20.19. (4 Punkte) √ Sei R = Z[ 15]. Bestimme die Primideale in R, die u ¨ber p = 17 liegen (man gebe Idealerzeuger an). Handelt es sich um Hauptideale?

Aufgabe 20.20. (3 Punkte) √ Zeige, dass 2 im Ring Z[ 5] irreduzibel, aber nicht prim ist. Wie sieht es in A5 aus? 21. Vorlesung - Ideale in quadratischen Zahlbereichen 21.1. Ideale und ihre Norm in einem quadratischen Zahlbereich. Wir beschreiben nun die Ideale in einem quadratischen Zahlbereich genauer. Eine Strukturtheorie ist wichtig in Hinblick auf die Endlichkeit der Klassenzahl. Wir wissen bereits aufgrund von Korollar 18.9, dass jedes von 0 verschiedene Ideal von zwei Elementen u ¨ber Z erzeugt wird. Genauer gilt. Satz 21.1. Sei AD ein quadratischer Zahlbereich mit Ganzheitsbasis 1, ω (im Sinne von Satz 20.9) und sei a ein von 0 verschiedenes Ideal in AD . Dann besitzt a eine Z-Basis aus zwei Elementen a und b, wobei a ∈ N mit (a) = Z ∩ a und b = α + βω mit ˜ : α ˜ ∈ a, β˜ = β = min{|β| ˜ + βω 6 0}

gew¨ahlt werden kann.

179

Beweis. Seien a ∈ N und b = α + βω wie im Satz beschrieben gew¨ahlt. Da a und β nicht 0 sind folgt, dass a und b linear unabh¨angig u ¨ber Q sind. Es ˜ bleibt also zu zeigen, dass jedes Element α ˜ + βω ∈ a sich als n1 a + n2 b mit n1 , n2 ∈ Z schreiben l¨asst. Es gibt eine Darstellung ˜ = q1 a + q2 b = q1 a + q2 (α + βω) = q1 a + q2 α + q2 βω α ˜ + βω

mit q1 , q2 ∈ Q. Dann ist β˜ = q2 β. Die Zahlen β und β˜ beschreiben beide einen ω-Koeffizienten von Elementen in a, und β war betragsm¨aßig minimal gew¨ahlt, so dass q2 ganzzahlig sein muss (alle ω-Koeffizienten bilden ein Ideal in Z). Wir ziehen in der obigen Gleichung q2 b ∈ a ab und erhalten ˜ − q2 b = α ˜ − q2 (α + βω) = α q1 a = α ˜ + βω ˜ + βω ˜ − q2 α,

und dies geh¨ort zu Z ∩ a. Also handelt es sich um ein ganzzahliges Vielfaches von a und somit ist auch q1 ∈ Z.  In der soeben konstruierten Z-Basis von a k¨onnen wir sowohl a als auch β positiv w¨ahlen. Der Restklassenring AD /a ist eine endliche Erweiterung des endlichen Ringes Z/(a), also selbst endlich. Im folgenden Diagramm sind die beiden horizontalen Abbildungen injektiv. Z −→ AD ↓ ↓ Z/(a) −→ AD /a . Wegen der surjektiven Abbildung AD /(a) → AD /a und aufgrund von Korollar 18.11 wissen wir, dass der Restklassenring maximal a2 Elemente besitzt. Beispiel 21.2. Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich R zu D = −5 das Ideal √ p = (2, 1 + −5).

Da es sich nicht um das Einheitsideal handelt, ist unmittelbar klar, dass bereits eine Z-Basis im Sinne von Satz 21.1 vorliegt. Die Norm dieses Ideals ist 2. Die Normen der beiden Elemente sind N (2) = 4

und N (1 +



−5) = (1 +



−5)(1 −



−5) = 6.

Satz 21.3. Sei AD ein quadratischer Zahlbereich mit Z-Basis 1 und ω und sei a ein von Null verschiedenes Ideal in AD . Es sei a und b = α + βω eine Z-Basis (mit a, β positiv) wie im Satz 21.1 konstruiert. Dann werden die Elemente im Restklassenring AD /a eindeutig durch die Elemente {r + sω| 0 ≤ r < a, 0 ≤ s < β} repr¨asentiert. Insbesondere besitzt der Restklassenring a · β Elemente.

180

Beweis. Sei r + sω ein beliebiges Element in AD . Durch Addition von Vielfachen von b = α + βω kann man erreichen, dass die zweite Komponente zwischen 0 und β − 1 liegt. Durch Addition von Vielfachen von a kann man dann erreichen, dass auch die erste Komponente zwischen 0 und a − 1 liegt, ohne die zweite Komponente zu ver¨andern. Es wird also jede Restklasse durch Elemente im angegebenen Bereich repr¨asentiert. Seien nun r + sω und r˜ + s˜ω im angegebenen Bereich und angenommen, dass sie das gleiche Element im Restklassenring repr¨asentieren. Sei s˜ ≥ s. Dann geh¨ort die Differenz r˜ − r + (˜ s − s)ω zu a und die zweite Komponente liegt zwischen 0 und β − 1. Aufgrund der Wahl von β muss diese Komponente 0 sein. Dann ist aber r˜ − r ein Vielfaches von a und wegen |˜ r − r| < a muss r˜ − r = 0 sein, so dass also die beiden Elemente u ¨bereinstimmen und der Repr¨asentant eindeutig ist.  Definition 21.4. Sei D 6= 0, 1 quadratfrei und AD der zugeh¨orige quadratische Zahlbereich. Sei a ein von 0 verschiedenes Ideal in AD . Dann nennt man die (endliche) Anzahl des Restklassenringes AD /a die Norm von a. Sie wird mit N (a) bezeichnet. Mit der Norm l¨asst sich obiger Satz wie folgt ausdr¨ ucken. Korollar 21.5. Sei AD ein quadratischer Zahlbereich mit Z-Basis 1 und ω und sei a ein von 0 verschiedenes Ideal in AD . Es sei a und b = α + βω eine Z-Basis von a (mit a, β positiv) wie im Satz 21.1 konstruiert. Dann ist N (a) = aβ. Beweis. Dies folgt unmittelbar aus Satz 21.3.



Korollar 21.6. Sei AD ein quadratischer Zahlbereich mit Z-Basis 1 und ω und sei a ein von 0 verschiedenes Ideal in AD . Es sei u = u1 + u2 ω und v = v1 + v2 ω eine Z-Basis von a. Dann ist   u1 v1 N (a) = det . u2 v 2

Beweis. Die Aussage ist f¨ ur eine Z-Basis der Form a und b = α + βω, wie sie im Satz 21.1 konstruiert wurde, richtig. F¨ ur eine beliebige Z-Basis u, v ¨ gibt es eine Ubergangsmatrix M mit u = M a und v = M b. Dabei ist M ganzzahlig und ihre Determinante hat den Betrag 1, so dass sich der Betrag der Determinante der Basis nicht ¨andert.  F¨ ur ein Element und das davon erzeugte Hauptideal stimmen die beiden Normbegriffe u ¨berein.

Satz 21.7. Sei AD ein quadratischer Zahlbereich und sei f 6= 0 ein Element. Setze a = (f ). Dann gilt N (a) = |N (f )| .

181

Beweis. Sei f = f1 + f2 ω mit (√ D, ω = 1+√D 2

falls D = 2, 3 mod 4 , , falls D = 1 mod 4 .

Die Norm von f ist dann N (f )

= =

f f √  √   f1 + f2 D f1 − f2 D = f12 − f22 D,  √  √  2  f1 + 1 f2 + f 2 D f1 + 12 f2 − f2 2 D = f1 + 21 f2 − 2 2

falls D = 2, 3 f22 D, 4

falls D = 1

mod 4 , mod 4 .

Wir berechnen nun die Norm des von f erzeugten Ideals a = (f ) mit Hilfe von Korollar 21.6. Eine Z-Basis des Ideals ist offenbar gegeben durch f und f ω, wobei ( f2 D + f1 ω, falls D = 2, 3 mod 4 , 2 f ω = f1 ω + f2 ω = D−1 f2 4 + (f1 + f2 )ω, falls D = 1 mod 4 ist. Im ersten Fall haben wir   f1 f2 D | det | = |f12 − f22 D| f2 f1

und im zweiten Fall ist   D−1 = f1 (f1 + f2 ) − f22 D − 1 det f1 f2 4 f2 f1 + f2 4 1 1 = f12 + f1 f2 + f22 − f22 D , 4 4 was mit den obigen Ergebnissen u ¨bereinstimmt.



Beispiel 21.8. Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich R zu D = −5 das Ideal √ p = (2, 1 + −5). Wir behaupten, dass es kein Hauptideal ist und verwenden dabei, dass die Norm dieses Ideals gleich 2 ist. W¨are n¨amlich p = (f ) mit einem f ∈ R, so m¨ usste nach Satz 21.7 auch |N (f )| = 2 √ gelten. Allerdings ist die Norm von f = a + b −5 gleich N (f ) = a2 + 5b2 und dies kann nicht gleich 2 sein. Beispiel 21.9. Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich R zu D = −5 √ das Ideal p = (2, 1 + −5), das nach Beispiel 21.8 kein Hauptideal ist. Es sei S√der ganze Abschluss von R (oder von Z) im Erweiterungsk¨orper √ L = Q[ −5, 2] vom Grad vier u ¨ber Q. Wir haben also eine Kette Z ⊂ R ⊂ S

von Zahlbereichen. Wir behaupten, dass das Erweiterungsideal √ pS = (2, 1 + −5)S

182

√ ein Hauptideal in S ist, und zwar behaupten wir, dass 2 ein Idealerzeuger davon ist. Dazu betrachten wir zun¨achst das rationale Element z = √ √ √ √ 2+ 2· −5 1+√ −5 = ∈ L. Wegen 2 2 √ √ !2 √ √ √ 2 + 2 · −5 2 − 2 · 5 + 4 −5 2 z = = = −2 + −5 ∈ R 2 4 erf¨ ullt z eine Ganzheitsgleichung u ¨ber R und geh¨ort somit zu S (ebenso, wenn im Z¨ahler da ein Minuszeichen steht). Die Gleichheit √ pS = ( 2) folgt einerseits aus 2 = und 1+









2

−5 = z ·

√ 2

und andererseits aus √ √ √ 1 − −5 √ − 2·2+ (1 + −5) = 2 = = =

√ 6 − 2·2+ √ 2√ √ − 2·2+3· 2 √ √2(−2 + 3) 2.

Satz 21.10. Sei AD ein quadratischer Zahlbereich und sei a ein von 0 verschiedenes Ideal in AD . Dann gilt aa = (N (a)). Beweis. Sei a durch eine Z-Basis a, b = α + βω wie im Satz 21.1 gegeben. Das konjugierte Ideal a hat die Basis a und b. Das Produktideal aa hat die vier Erzeuger a2 , N (b), a¯b, ab . Wir behaupten, dass dieses Ideal gleich dem von (aβ) erzeugten Ideal ist, was ja nach Korollar 21.5 die Norm von a ist. Zun¨achst teilt β sowohl a als auch α Wegen aω ∈ a hat man n¨amlich eine Darstellung aω = γa + δ(α + βω) mit γ, δ ∈ Z. Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich einerseits a = δβ und andererseits γa + δα = 0, woraus nach K¨ urzen mit δ sich ergibt. Insbesondere ist

α = −γβ

a = (a, α + βω) = (βδ, −βγ + βω) = (β)(δ, −γ + ω).

183

Mit dem Ideal b = (δ, −γ + ω) k¨onnen wir wegen aa = (β 2 )bb

und wegen N (a) = aβ = δβ 2 = β 2 N (b) annehmen, dass β = 1 ist. In dieser neuen Situation m¨ ussen wir aa¯ = (a) zeigen. Aufgrund von N (b) ∈ a ∩ Z = (a) haben wir die Inklusion aa ⊆ (a). Wir betrachten die Inklusionskette (in AD )   a2 , N (b), a b + b ⊆ a2 , N (b), ab, ab = aa ⊆ (a).

Es sei c ∈ Z der Erzeuger des Ideals links. Wir behaupten zun¨achst, dass die linke Inklusion eine Gleichheit ist. Daf¨ ur betrachten wir die Norm und die Spur von abc und erhalten   a2 N (b) N (a)N (b) ab = ∈ Z = N c N (c) c2 und



 ab 1 1 S = S(ab) = (ab + a¯b) ∈ Z. c c c Damit geh¨oren die Norm und die Spur zu Z und damit ist nach Lemma 20.8 das Element selbst ganz und somit ist ab ein Vielfaches von c. Wir wissen also a(α + ω) α a ab = = a + ω ∈ AD c c c c und damit ist ac ∈ Z. Also wird a von c geteilt und in der Inklusionskette gilt Gleichheit.  Korollar 21.11. Sei AD ein quadratischer Zahlbereich und seien a und b von Null verschiedene Ideale in AD . Dann gilt N (ab) = N (a)N (b). Beweis. Wir wenden Satz 21.10 wiederholt f¨ ur Ideale an und erhalten (N (ab)) = (ab)(ab) = abab = aabb = (N (a))(N (b)) = (N (a)N (b)). Da die Norm eines Ideals stets positiv ist folgt aus dieser Idealidentit¨at die Gleichheit N (ab) = N (a)N (b).  Die obige Definition der Norm eines Ideals, die wir nur f¨ ur quadratische Zahlbereiche gefasst haben, l¨asst sich auf beliebige Zahlbereiche erweitern. Daf¨ ur gelten entsprechende Eigenschaften, was wir im Rahmen dieser Vorlesung nicht ausf¨ uhren werden. Definition 21.12. Zu einem Ideal a 6= 0 in einem Zahlbereich R heißt die (endliche) Anzahl des Restklassenringes R/a die Norm von a. Sie wird mit N (a) bezeichnet.

184

21. Arbeitsblatt ¨ 21.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 21.1. Es sei R ein quadratischer Zahlbereich mit der Z-Basis 1 und ω und einem von 0 verschiedenen Ideal a. Zeige, dass ein Ideal in Z ist.

{s| Es gibt r + sω ∈ a}

Aufgabe 21.2. Es sei R ein quadratischer Zahlbereich und f ∈ a, wobei a ein von 0 verschiedenes Ideal bezeichnet. Zeige, dass N (f ) ein Vielfaches der Norm von a ist. Aufgabe 21.3. Es sei R ein quadratischer Zahlbereich und a ein von 0 verschiedenes Ideal in R. Zeige N (a) = GgT({N (f )| f ∈ a}). Aufgabe 21.4. Sei R = AD ein quadratischer Zahlbereich und f ∈ R mit (f ) ∩ Z = (N (f )). Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass es (mit der Notation des Beweises von Satz 21.1) eine Z-Basis des Ideals (f ) gibt mit β = 1. Aufgabe 21.5. Es sei R ein quadratischer Zahlbereich und a ein Ideal in R mit der Eigenschaft, dass die Norm von a eine Primzahl ist. Zeige, dass a ein maximales Ideal ist. Aufgabe 21.6. Es sei R ein quadratischer Zahlbereich und m ein maximales Ideal in R. Zeige, dass es eine Primzahl p derart gibt, das m eine Z-Basis der Form p und α + pω oder der Form p und α + ω besitzt. √ zu D = 10. Aufgabe 21.7. Sei A10 = Z[ 10] der quadratische Zahlbereich √ Bestimme gem¨aß Satz 21.1 eine Z-Basis des Ideals (3 + 4 10) und bestimme damit die Norm des Ideals. √ Zahlbereich zu D = Aufgabe 21.8. Sei A−10 = Z[ −10] √ √ der quadratische −10. Zeige, dass das Ideal (6 + 5 −10, 3 − 2 10) ein Hauptideal ist und gebe einen Erzeuger an.

185

Aufgabe √ 21.9. Es sei D = 2, 3 mod 4 eine quadratfreie Zahl und f = n + m D. Es sei t der gr¨oßte gemeinsame Teiler von n und m. Bestimme (f ) ∩ Z und β im Sinne von Satz 21.1. Aufgabe 21.10.* Sei R ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element f ∈ R, f 6= 0, eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt. Aufgabe 21.11. Es sei D 6= 0, 1 eine quadratfreie Zahl mit D = 1 mod 4. Es sei a = (ω) das Hauptideal im quadratischen Zahlbereich AD . Zeige, dass √ √ der Durchschnitt a ∩ Z[ D] kein Hauptideal in Z[ D] ist. Aufgabe 21.12. Charakterisiere f¨ ur den Ring √ −1 + 3i ∼ ] = Z[Y ]/(Y 2 + Y + 1) R = Z[ 2 der Eisenstein-Zahlen die Primzahlen aus Z, die in R verzweigt sind, tr¨age sind oder zerfallen. Aufgabe 21.13. Sei p eine Primzahl und betrachte die quadratische Erwei√ terung Z[ p]. Zeige, dass dies eine dichte Untergruppe der reellen Zahlen ist. 21.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 21.14. (3 Punkte) Sei H eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen R. Zeige, dass entweder H = Za mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen reellen Zahl a ist, oder aber H dicht in R ist. Aufgabe 21.15. (3 Punkte) Sei R ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring. Zeige unter Verwendung des Lemmas von Zorn, dass es maximale Ideale in R gibt. Aufgabe 21.16. (3 Punkte) Es sei R ein quadratischer Zahlbereich und a ⊆ b zwei von 0 verschiedene Ideale. Zeige, dass die Norm von b die Norm von a teilt.

186

Aufgabe 21.17. (4 Punkte)

√ Sei D eine quadratfreie Zahl, sei R = Z[ D] und sei AD der zugeh¨orige Ganzheitsring. Zeige, dass f¨ ur jede ungerade Primzahl p ein Isomorphismus √ Z[ D]/(p) −→ (AD )/(p)

vorliegt. Zeige durch ein Beispiel, dass dies bei p = 2 nicht sein muss. 22. Vorlesung - Nenneraufnahme, Lokalisierung, Bewertungsringe

In dieser und der n¨achsten Vorlesung beweisen wir zwei Versionen zur eindeutigen Primfaktorzerlegung in Zahlbereichen, die beide Abschw¨achungen zur eindeutigen Primfaktorzerlegung in Z sind. Die eine besagt, dass f¨ ur einen Zahlbereich die eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen lokal“ gilt ” (Satz 22.17 und Bemerkung 22.19). Die zweite Version besagt, dass man auf der Ebene der Ideale eine eindeutige Faktorzerlegung in Primideale erh¨alt (Satz 23.14). F¨ ur die erste Version ben¨otigen wir die Begriffe Nenneraufnahme, Lokalisierung und diskreter Bewertungsring. 22.1. Nenneraufnahme. Definition 22.1. Sei R ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge S ⊆ R heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften (1) 1 ∈ S (2) Wenn f, g ∈ S, dann ist auch f g ∈ S gelten. Es handelt sich also einfach um ein Untermonoid des multiplikativen Monoids eines Ringes. Beispiel 22.2. Sei R ein kommutativer Ring und f ∈ R ein Element. Dann bilden die Potenzen f n , n ∈ N, ein multiplikatives System.

Beispiel 22.3. Sei R ein Integrit¨atsbereich. Dann bilden alle von 0 verschiedenen Elemente in R ein multiplikatives System, das mit R∗ = R \ {0} bezeichnet wird. Beispiel 22.4. Sei R ein kommutativer Ring und p ein Primideal. Dann ist das Komplement R \ p ein multiplikatives System. Dies folgt unmittelbar aus der Definition. Definition 22.5. Sei R ein Integrit¨atsbereich und sei S ⊆ R ein multiplikatives System, 0 6∈ S. Dann nennt man den Unterring   f RS := | f ∈ R, g ∈ S ⊆ Q(R) g die Nenneraufnahme zu S.

187

F¨ ur die Nenneraufnahme an einem Element f schreibt man einfach Rf statt R{f n | n∈N} . Man kann eine Nenneraufnahme auch dann definieren, wenn R kein Integrit¨atsbereich ist, siehe Aufgabe 22.7. Definition 22.6. Sei R ein Integrit¨atsbereich und sei p ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an S = R \ p die Lokalisierung von R an p. Man schreibt daf¨ ur Rp . Es ist also   f | f ∈ R, g 6∈ p ⊆ Q(R). Rp := g F¨ ur eine Primzahl p ∈ Z besteht Z(p) aus allen rationalen Zahlen, die man ohne p im Nenner schreiben kann. Definition 22.7. Ein kommutativer Ring R heißt lokal, wenn R genau ein maximales Ideal besitzt. Der folgende Satz zeigt, dass diese Namensgebung Sinn ergibt. Satz 22.8. Sei R ein Integrit¨atsbereich und sei p ein Primideal in R. Dann ist die Lokalisierung Rp ein lokaler Ring mit maximalem Ideal   f pRp := | f ∈ p, g 6∈ p . g Beweis. Die angegebene Menge ist in der Tat ein Ideal in der Lokalisierung   f | f ∈ R, g 6∈ p . Rp = g Wir zeigen, dass das Komplement von pRp nur aus Einheiten besteht, so dass es sich um ein maximales Ideal handeln muss. Sei also q = fg ∈ Rp , aber nicht in pRp . Dann sind f, g 6∈ p und somit geh¨ort der inverse Bruch fg ebenfalls zur Lokalisierung.  Das Ideal pRp ist dabei das Erweiterungsideal zu p unter dem Ringhomomorphismus R → Rp . Satz 22.9. Sei R ein Integrit¨atsbereich mit Quotientenk¨orper Q(R). Dann gilt \ R = Rm , m maximal

wobei der Durchschnitt u ¨ber alle maximale Ideale l¨auft und in Q(R) genommen wird. Beweis. Die Inklusion ⊆ ist klar. Sei also q ∈ Q(R) und sei angenommen, q geh¨ore zum Durchschnitt rechts. F¨ ur jedes maximale Ideal m ist also q ∈ Rm ⊂ Q(R), d.h. es gibt fm 6∈ m und am ∈ R mit q = afmm . Wir betrachten das Ideal (fm : m maximal) .

188

Dieses Ideal ist in keinem maximalen Ideal enthalten, also muss es nach dem Lemma von Zorn das Einheitsideal sein. Es gibt also endlich viele maximale Ideale mi , i = 1, . . . , n und ri ∈ R mit r1 f1 + · · · + rn fn = 1,

wobei fi = fmi gesetzt wurde. Damit ist an a1 = ... = . q = f1 fn Wir schreiben q = q(r1 f1 + · · · + rn fn ) = qr1 f1 + · · · + qrn fn = a1 r1 + · · · + an rn . Also geh¨ort q zu R.



Satz 22.10. Sei R ein normaler Integrit¨atsbereich und sei S ⊆ R ein multiplikatives System. Dann ist auch die Nenneraufnahme RS normal. Beweis. Siehe Aufgabe 22.14.



22.2. Diskrete Bewertungsringe. Definition 22.11. Ein diskreter Bewertungsring R ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in R gibt. Wir wollen zeigen, dass zu einem Zahlbereich R die Lokalisierung an einem jeden Primideal ein diskreter Bewertungsring ist. Lemma 22.12. Ein diskreter Bewertungsring ist ein lokaler, noetherscher Hauptidealbereich mit genau zwei Primidealen, n¨amlich 0 und dem maximalen Ideal m. Beweis. Ein diskreter Bewertungsring ist kein K¨orper. In einem Hauptidealbereich, der kein K¨orper ist, wird jedes maximale Ideal von einen Primelement erzeugt, und die Primerzeuger zu verschiedenen maximalen Idealen k¨onnen nicht assoziiert sein. Also gibt es genau ein maximales Ideal. Nach Satz 19.1 ist ein Hauptidealbereich insbesondere ein Dedekindbereich, so dass es als weiteres Primideal nur noch das Nullideal gibt.  Definition 22.13. Zu einem Element f ∈ R, f 6= 0, in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement p heißt die Zahl n ∈ N mit der Eigenschaft f = upn , wobei u eine Einheit bezeichne, die Ordnung von f . Sie wird mit ord(f ) bezeichnet. Die Ordnung ist also nichts anderes als der Exponent zum (bis auf Assoziiertheit) einzigen Primelement in der Primfaktorzerlegung. Sie hat folgende Eigenschaften.

189

Lemma 22.14. Sei R ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal m = (p). Dann hat die Ordnung folgende Eigenschaften. (1) (2) (3) (4)

R \ {0} −→ N, f 7−→ ord(f ),

ord(f g) = ord(f ) + ord(g). ord(f + g) ≥ min{ord(f ), ord(g)}. f ∈ m genau dann, wenn ord(f ) ≥ 1. f ∈ R× genau dann, wenn ord(f ) = 0.

Beweis. Siehe Aufgabe 22.16.



Wir wollen eine wichtige Charakterisierung f¨ ur diskrete Bewertungsringe beweisen, die insbesondere beinhaltet, dass ein normaler lokaler Integrit¨atsbereich mit genau zwei Primidealen bereits ein diskreter Bewertungsring ist. Dazu ben¨otigen wir einige Vorbereitungen. Lemma 22.15. Sei R ein kommutativer Ring und sei f ∈ R nicht nilpotent. Dann gibt es ein Primideal p in R mit f 6∈ p. Beweis. Wir betrachten die Menge der Ideale M = {a Ideal | f r 6∈ a f¨ ur alle r} .

Diese Menge ist nicht leer, da sie das Nullideal enth¨alt. Ferner ist sie induktiv geordnet (bez¨ uglich der Inklusion). Ist n¨amlich ai , i ∈ I, eine total geordnete Teilmenge von M , so ist deren Vereinigung ebenfalls ein Ideal, das keine Potenz von f enth¨alt. Nach dem Lemma von Zorn gibt es daher maximale Elemente in M . Wir behaupten, dass ein solches maximales Element p ein Primideal ist. Sei dazu g, h ∈ R und gh ∈ p, und sei g, h 6∈ p angenommen. Dann hat man echte Inklusionen p ⊆ p + (g), p + (h). Wegen der Maximalit¨at k¨onnen die beiden Ideale rechts nicht zu M geh¨oren, und das bedeutet, dass es Exponenten r, s ∈ N gibt mit f r ∈ p + (g) und f s ∈ p + (h) .

Dann ergibt sich der Widerspruch

f r f s ∈ p + (gh) ⊆ p.  Lemma 22.16. Sei R ein noetherscher lokaler kommutativer Ring. Es sei vorausgesetzt, dass das maximale Ideal m das einzige Primideal von R ist. Dann gibt es einen Exponenten n ∈ N mit mn = 0.

190

Beweis. Wir behaupten zun¨achst, dass jedes Element in R eine Einheit oder nilpotent ist. Sei hierzu f ∈ R keine Einheit. Dann ist f ∈ m. Angenommen, f ist nicht nilpotent. Dann gibt es nach Lemma 22.15 ein Primideal p in R mit f ∈ / p. Damit ergibt sich der Widerspruch p 6= m.

Es ist also jedes Element im maximalen Ideal nilpotent. Insbesondere gibt es f¨ ur ein endliches Erzeugendensystem f1 , . . . , fk von m eine nat¨ urliche Zahl m m mit fi = 0 f¨ ur alle i = 1, . . . , k . Sei n = km. Dann ist ein beliebiges Element aus mn von der Gestalt ! ! ! k k k X X X ain fi . ai2 fi · · · ai1 fi i=1

i=1

i=1

Ausmultiplizieren ergibt eine Linearkombination mit Monomen f1r1 · · · fkrk Pk und i=1 ri = n , so dass ein fi mit einem Exponenten ≥ n/k = m vorkommt. Daher ist das Produkt 0. 

Satz 22.17. Sei R ein noetherscher lokaler Integrit¨atsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale 0 ⊂ m gibt. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent. (1) (2) (3) (4) (5)

R R R R m

ist ist ist ist ist

ein diskreter Bewertungsring. ein Hauptidealbereich. faktoriell. normal. ein Hauptideal.

Beweis. (1) ⇒ (2) folgt direkt aus der Definition 22.11.

(2) ⇒ (3) folgt aus Satz 3.7.

(3) ⇒ (4) folgt aus Satz 17.12.

(4) ⇒ (5). Sei f ∈ m, f 6= 0. Dann ist R/(f ) ein noetherscher lokaler Ring ˜ = mR/(f )). Daher gibt es nach Lemma mit nur einem Primideal (n¨amlich m n ˜ = 0. Zur¨ 22.16 ein n ∈ N mit m uck¨ ubersetzt nach R heißt das, dass mn ⊆ (f ) gilt. Wir w¨ahlen n minimal mit den Eigenschaften mn ⊆ (f ) und mn−1 6⊆ (f ) .

W¨ahle g ∈ mn−1 mit g 6∈ (f ) und betrachte h :=

f ∈ Q(R) g

(es ist g 6= 0). Das Inverse, also h−1 = fg , geh¨ort nicht zu R, sonst w¨are g ∈ (f ). Da R nach Voraussetzung normal ist, ist h−1 auch nicht ganz u ¨ber R. Nach dem Modulkriterium Lemma 17.7 f¨ ur die Ganzheit gilt insbesondere f¨ ur das maximale Ideal m ⊂ R die Beziehung h−1 m 6⊆ m

191

ist. Nach Wahl von g ist aber auch g mn h−1 m = m ⊆ ⊆ R. f f Daher ist h−1 m ein Ideal in R, das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist h−1 m = R. Das heißt einerseits h ∈ m und andererseits gilt f¨ ur ein beliebiges x ∈ m die Beziehung h−1 x ∈ R, also x = h(h−1 x), also x ∈ (h) und somit (h) = m. (5) ⇒ (1). Sei m = (π). Dann ist π ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Sei f ∈ R, f 6= 0 keine Einheit. Dann ist f ∈ m und daher f = πg1 . Dann ist g1 eine Einheit oder g1 ∈ m. Im zweiten Fall ist wieder g1 = πg2 und f = π 2 g2 . Wir behaupten, dass man f = π k u mit einer Einheit u schreiben kann. Andernfalls k¨onnte man f = π n gn mit beliebig großem n schreiben. Nach Lemma 22.16 gibt es ein m ∈ N mit (π m ) = mm ⊆ (f ). Bei n ≥ m + 1 ergibt sich π m = af = aπ m+1 b und der Widerspruch 1 = abπ. Es l¨asst sich also jede Nichteinheit 6= 0 als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist R faktoriell. F¨ ur ein ni beliebiges Ideal a = (f1 , . . . , fs ) ist fi = π ui mit Einheiten ui . Dann sieht man leicht, dass a = (π n ) ist mit n = mini {ni }.  Korollar 22.18. Sei R ein Dedekindbereich und sei m ein maximales Ideal in R. Dann ist die Lokalisierung Rm ein diskreter Bewertungsring. Beweis. Die Lokalisierung Rm ist lokal nach Satz 22.8, so dass es lediglich die beiden Primideale 0 und mRm gibt. Ferner ist R noethersch. Da R normal ist, ist nach Satz 22.10 auch die Lokalisierung Rm normal. Wegen Satz 22.17 ist Rm ein diskreter Bewertungsring.  Bemerkung 22.19. Korollar 22.18 besagt in Verbindung mit Satz 22.17, dass wenn man bei einem Dedekindbereich und spezieller einem Zahlbereich R zur Lokalisierung Rm an einem maximalen Ideal m u ¨bergeht, dass dort die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt. Korollar 22.20. Sei R ein Dedekindbereich. Dann ist R der Durchschnitt von diskreten Bewertungsringen. Beweis. Nach Satz 22.9 ist R =

\

Rm ,

m

wobei m durch alle maximalen Ideale von R l¨auft. Nach Korollar 22.18 sind die beteiligten Lokalisierungen Rm allesamt diskrete Bewertungsringe. 

192

22. Arbeitsblatt ¨ 22.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 22.1. Sei R ein Integrit¨atsbereich und S ⊆ R ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in RS genau denjenigen Primidealen in R entsprechen, die mit S einen leeren Durchschnitt haben.

Aufgabe 22.2. Sei R ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge aller Nichtnullteiler in R ein multiplikatives System bildet.

Aufgabe 22.3. Sei R ⊆ S eine ganze Erweiterung von Integrit¨atsbereichen und sei F ⊆ R ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die zugeh¨orige Erweiterung RF ⊆ SF ganz ist. √ Aufgabe 22.4. Sei D 6= 0, 1 eine quadratfreie Zahl, sei R = Z[ D] und sei AD der zugeh¨orige Ganzheitsring. Zeige, dass nach Nenneraufnahme von 2 ein Ringisomorphismus R2 −→ (AD )2 vorliegt.

Aufgabe 22.5.* Sei Zn die Nenneraufnahme zu n (Zn besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von n als Nenner schreiben kann). Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe R mit Z ⊆ R ⊆ Zn gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von n.

Aufgabe 22.6.* Es sei R ein Zahlbereich und seien f, g ∈ Z teilerfremde Zahlen. Zeige, dass f¨ ur den (im Quotientenk¨orper Q(R) genommenen) Durchschnitt Rf ∩ Rg = R gilt.

193

Aufgabe 22.7. Es sei T ⊆ P eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge RT = {q ∈ Q| q l¨asst sich mit einem Nenner schreiben,

in dem nur Primzahlen aus T vorkommen}

ein Unterring von Q ist. Was ergibt sich bei T = ∅, T = {3}, T = {2, 5}, T = P? Aufgabe 22.8. Sei R ein Integrit¨atsbereich und sei S ⊆ R ein multiplikatives System, 0 6∈ S. (1) Zeige, dass die Nenneraufnahme zu S, also RS mit   f | f ∈ R, g ∈ S ⊆ Q(R) RS := g

ein Unterring von Q(R) ist. (2) Zeige, dass nicht jeder Unterring von Q(R) eine Nenneraufnahme ist. Aufgabe 22.9. Sei R ein kommutativer Ring und S ⊆ R ein multiplikatives System. Man definiert die Nenneraufnahme RS schrittweise wie folgt. Es sei zun¨achst M die Menge der formalen Br¨ uche mit Nenner in S, also o nr | r ∈ R, s ∈ S . M = s Zeige, dass durch r r′ ∼ ′ genau dann, wenn es ein t ∈ S mit trs′ = tr′ s gibt , s s ¨ eine Aquivalenzrelation auf M definiert ist. Wir bezeichnen mit RS die Menge ¨ der Aquivalenzklassen. Definiere auf RS eine Ringstruktur und definiere einen Ringhomomorphismus R → RS . Aufgabe 22.10. Sei R ein kommutativer Ring und sei e ∈ R ein idempotentes Element. Zeige, dass es eine nat¨ urliche Ringisomorphie Re ∼ = R/(1 − e)

gibt.

Aufgabe 22.11. Sei R ein kommutativer Ring und f ∈ R. Zeige, dass f genau dann nilpotent ist, wenn die Nenneraufnahme Rf = 0 ist.

194

Aufgabe 22.12. Sei R ein kommutativer Ring, S ⊆ R ein multiplikatives System und M ein R-Modul. Definiere die Nenneraufnahme“ ” MS und zeige, dass sie ein RS -Modul ist. Aufgabe 22.13. Sei R ein kommutativer Ring. Zeige, dass R genau dann ein lokaler Ring ist, wenn a + b nur dann eine Einheit ist, wenn a oder b eine Einheit ist. Aufgabe 22.14. Sei R ein Integrit¨atsbereich. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften a¨quivalent sind. (1) R ist normal (2) F¨ ur jedes Primideal p ist die Lokalisierung Rp normal. (3) F¨ ur jedes maximale Ideal m ist die Lokalisierung Rm normal. Aufgabe 22.15. Sei T R ein Integrit¨atsbereich mit Quotientenk¨orper K = Q(R). Es sei R = i∈I Ri , wobei die Ri ⊂ K, i ∈ I, alle diskrete Bewertungsringe seien. Zeige: R ist normal. Aufgabe 22.16.* Sei K ein K¨orper und sei ν : (K × , ·, 1) −→ (Z, +, 0)

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ν(f +g) ≥ min{ν(f ), ν(g)} f¨ ur alle f, g ∈ K × . Zeige, dass  R = f ∈ K × | ν(f ) ≥ 0 ∪ {0} ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe 22.17. Sei R ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenk¨orper Q. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen R und Q gibt. Aufgabe 22.18. Sei R ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element q ∈ Q(R), q 6= 0, die Ordnung ord(q) ∈ Z .

Dabei soll die Definition mit der Ordnung f¨ ur Elemente aus R u ¨bereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus Q(R) \ {0} → Z definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

195

Aufgabe 22.19. Sei K ein K¨orper und K(T ) der K¨orper der rationalen Funktionen u ¨ber K. Finde einen diskreten Bewertungsring R ⊂ K(T ) mit Q(R) = K(T ) und mit R ∩ K[T ] = K. Aufgabe 22.20. Sei R ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenk¨orper Q. Charakterisiere die endlich erzeugten R-Untermoduln von Q. Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen? 22.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 22.21. (3 Punkte) Es seien R und A kommutative Ringe und sei S ⊆ R ein multiplikatives System. Es sei ϕ : R −→ A ein Ringhomomorphismus derart, dass ϕ(s) eine Einheit in A ist f¨ ur alle s ∈ S. Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus der ϕ fortsetzt.

ϕ˜ : RS −→ A,

Aufgabe 22.22. (4 Punkte) Seien n und k teilerfremde Zahlen und sei Z ⊆ R ein kommutativer Ring. Zeige, dass es eine Ringisomorphie R/(n) ∼ = (Rk )/(n) gibt. Aufgabe 22.23. (4 Punkte) Sei R ein normaler Integrit¨atsbereich und sei S ⊆ R ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die Nenneraufnahme RS normal ist. Aufgabe 22.24. (3 Punkte) Sei R ein Integrit¨atsbereich, sei f ∈ R und sei a ein Ideal. Zeige, dass f ∈ a genau dann ist, wenn f¨ ur alle Lokalisierungen Rp gilt, dass f ∈ aRp ist. Aufgabe 22.25. (3 Punkte) Beweise f¨ ur einen diskreten Bewertungsring die Eigenschaften der Ordnung, die in Lemma 22.14 formuliert sind.

196

23. Vorlesung - Ideale und effektive Divisoren in Zahlbereichen 23.1. Die Ordnung an einem Primideal. Zu einem Zahlbereich R und einem Primideal p 6= 0 ist nach Korollar 22.18 die Lokalisierung Rp ein diskreter Bewertungsring und somit ergibt sich insgesamt eine Abbildung ord

R \ {0} −→ Rp \ {0} −→ N . Definition 23.1. Sei R ein Zahlbereich, p 6= 0 ein Primideal in R und f ∈ R, f 6= 0. Dann heißt die Ordnung ord(f ) im diskreten Bewertungsring Rp die Ordnung von f am Primideal p (oder an der Primstelle p oder in Rp ). Sie wird mit ordp (f ) bezeichnet. Lemma 23.2. Sei R ein Zahlbereich und p 6= 0 ein Primideal in R. Dann hat die Ordnung an p, also R \ {0} −→ N, f 7−→ ordp (f ),

folgende Eigenschaften.

(1) ordp (f g) = ordp (f ) + ordp (g). (2) ordp (f + g) ≥ min{ordp (f ), ordp (g)}. (3) f ∈ p genau dann, wenn ordp (f ) ≥ 1. Beweis. (1) und (2) folgen direkt aus Lemma 22.14. Bei (3) ist zu beachten, dass f¨ ur f ∈ R gilt, dass f ∈ p genau dann ist, wenn f ∈ pRp ist. Letzteres bedeutet n¨amlich, dass f = q1 f1 + · · · + qn fn ist mit fi ∈ p und qi ∈ Rp , / p. Mit dem Hauptnenner s = s1 · · · sn ist dann also qi = srii mit si ∈ sf = a1 f1 + · · · + an fn ∈ p, woraus f ∈ p folgt. Damit folgt die Behauptung aus Lemma 22.14.  Definition 23.3. Sei R ein Zahlbereich und f ∈ R, f 6= 0. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal p 6= 0 in R die Ordnung ordp (f ) zuordnet, der durch f definierte Hauptdivisor. Er wird mit div(f ) bezeichnet und als formale Summe X div(f ) = ordp (f ) · p p

geschrieben.

Die Ordnung an einem Primideal nennt man in diesem Zusammenhang auch die Verschwindungsordnung. Die Ordnung ist ja genau dann positiv, wenn f zum Primideal p geh¨ort, und dies ist genau dann der Fall, wenn unter der Abbildung R −→ R/p −→ Q(R/p) das Element f auf 0 abgebildet wird, also an dieser Stelle verschwindet. Eine h¨ohere Verschwindungsordnung bedeutet, dass f nicht nur einfach, sondern

197

mit einer gewissen Vielfachheit verschwindet. Der Hauptdivisor zu f notiert also, mit welcher Verschwindungsordnung die Funktion f an den verschiedenen Primstellen verschwinden. Bemerkung 23.4. Es sei R ein faktorieller Zahlbereich. Dann l¨asst sich der Hauptdivisor zu einem Ringelement f ∈ R, f 6= 0, unmittelbar aus der Primfaktorzerlegung ablesen. Wenn f = upr11 · · · prkk

mit einer Einheit u und paarweise nicht assoziierten Primelementen pi ist, so ist der Hauptdivisor zu f gleich div(f ) =

k X

ri (pi ).

i=1

Dies beruht einfach darauf, dass die Ordnung von f in der Lokalisierung R(pi ) gleich ri ist. Lemma 23.5. Sei R ein Zahlbereich. Dann hat die Abbildung, die einem Ringelement 6= 0 den Hauptdivisor zuordnet, also R \ {0} −→ Hauptdivisoren, f 7−→ div(f ),

folgende Eigenschaften.

(1) div(f g) = div(f ) + div(g). (2) div(f + g) ≥ min{div(f ), div(g)}. Hierbei sind die Operationen rechts punktweise definiert. Beweis. Dies folgt direkt aus Lemma 23.2 durch Betrachtung an den einzelnen Primidealen.  Lemma 23.6. Sei R ein Zahlbereich und f ∈ R, f 6= 0. Dann ist nur f¨ ur endlich viele Primideale p 6= 0 in R die Ordnung P ordp (f ) von 0 verschieden. Das heißt, dass der Hauptdivisor div(f ) = p ordp (f ) · p eine endliche Summe ist. Beweis. Sei p 6= 0 ein Primideal in R und f 6∈ p. Dann ist f in Rp eine Einheit. Damit ist ordp (f ) = 0. Da der Restklassenring R/(f ) nach Satz 18.14 endlich ist, folgt sofort, dass f nur in endlich vielen Primidealen enthalten ist, und nur f¨ ur diese ist ordp (f ) > 0.  23.2. Effektive Divisoren. Definition 23.7. Sei R ein Zahlbereich. Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe X np · p , p

die sich u urliche ¨ber alle Primideale p 6= 0 aus R erstreckt und wobei np nat¨ Zahlen sind mit np = 0 f¨ ur fast alle p.

198

Obiges Lemma zeigt, dass ein Hauptdivisor zu einem Ringelement wirklich ein effektiver Divisor ist. Wir werden im Weiteren sehen, dass die Frage, welche Divisoren Hauptdivisoren sind, eng mit der Frage nach der Faktorialit¨at von Zahlbereichen zusammenh¨angt. Der Zugang u ¨ber Divisoren hat den Vorteil, dass er erlaubt (siehe weiter unten), eine Gruppe, die sogenannte Divisorenklassengruppe einzuf¨ uhren, die die Abweichung von der Faktorialit¨at messen kann. Ein effektiver Divisor gibt f¨ ur jede Primstelle eine Verschwindungsordnung an. Eine naheliegende Frage ist dann, ob dieses Ordnungsverhalten durch eine Funktion realisiert werden kann, also ob der Divisor ein Hauptdivisor ist. Definition 23.8. Sei R ein Zahlbereich und a 6= 0 ein von 0 verschiedenes Ideal in R. Dann nennt man den Divisor X mp · p div(a) = p

mit mp = ordp (a) = min{ordp (f ) : f ∈ a, f 6= 0}

den Divisor zum Ideal a.

Bemerkung 23.9. Man kann den Divisor zu einem Ideal auch durch div(a) = min {div(f )| f ∈ a, f 6= 0} definieren, wobei das Minimum u ¨ber Divisoren komponentenweise erkl¨art ist. Es gibt im Allgemeinen kein Element, das an allen Primstellen simultan das Minimum annimmt. Da zu einem einzelnen Element 0 6= f ∈ a der zugeh¨orige Hauptdivisor nur an endlich vielen Stellen von 0 verschieden ist, gilt das erst recht f¨ ur den Divisor zu einem Ideal. Die Ordnung ordp (a) kann man auch als Ordnung des Ideals ord(aRp ) im diskreten Bewertungsring Rp ansehen. Dabei ist aRp das Erweiterungsideal zu a in Rp . Dieses Ideal hat einen Erzeuger pk , wobei p ein Primelement im diskreten Bewertungsring ist; die Ordnung ist dann k. Lemma 23.10. Sei R ein Zahlbereich. Dann erf¨ ullt die Zuordnung (f¨ ur von 0 verschiedene Ideale) a 7−→ div(a) folgende Eigenschaften:

(1) div(p) = 1 · p f¨ ur ein Primideal p 6= 0. (2) div(a · b) = div(a) + div(b). (3) F¨ ur a ⊆ b ist div(a) ≥ div(b). (4) div(a + b) = min{div(a), div(b)}.

199

Beweis. (1) F¨ ur jedes Element f ∈ p gilt auch f ∈ pRp und daher ist ordp (f ) ≥ 1. Umgekehrt besitzt der diskrete Bewertungsring Rp ein Element p, das das maximale Ideal pRp erzeugt und die Ordnung eins / p schreiben. Dabei ist hat. Man kann p = ab mit a, b ∈ R und b ∈ a ∈ p und a hat in Rp die Ordnung 1. Sei nun q 6= p ein weiteres Primideal 6= 0. Da beide maximal sind gibt es ein Element g ∈ p, g ∈ / q. Dieses hat dann in q die POrdnung 0. (2) Fixiere ein Primideal p. Sei h ∈ a · b und schreibe h = ki=1 fi gi mit fi ∈ a und gi ∈ b. Dann ist nach Lemma 23.5 div(h) ≥ min{div(fi gi ) : i = 1, . . . , k} ≥ min{div(fi ) + div(gi ) : i = 1, . . . , k} ≥ div(a) + div(b). P F¨ ur die Umkehrung schreiben wir div(a) = q nq · q und div(b) = P q mq ·q. Zu fixiertem p gibt es ein f ∈ a und ein g ∈ b mit ordp (f ) = np und ordp (g) = mp . Dann ist f g ∈ ab und ordp (f g) = ordp (f ) + ordp (g) = np + mp . (3) Das ist trivial. (4) Die Absch¨atzung ≥“ folgt aus div(f + g) ≥ min{div(f ), div(g)}. Die ” Absch¨atzung ≤“ folgt aus Teil (3). ”  Definition 23.11. Sei R ein Zahlbereich und X D = np · p p

ein effektiver Divisor (wobei p durch die Menge der Primideale 6= 0 l¨auft). Dann nennt man {f ∈ R| div(f ) ≥ D} das Ideal zum Divisor D. Es wird mit Id(D) bezeichnet.

In der vorstehenden Definition verwenden wir die Konvention, dass in Ungleichungen der Ausdruck div(0) als ∞ zu verstehen ist. Damit geh¨ort also 0 zu Id(D). Es ergibt sich sofort, dass es sich in der Tat um ein Ideal handelt. Es ist auch nicht das Nullideal, da wir zu den endlich vielen Primidealen pi , i = 1, . . . , k, , mit ni = npi > 0 Elemente 0 6= fi ∈ pi mit ordpi (fi ) = 1 w¨ahlen k¨onnen. Dann geh¨ort aber das Produkt f1n1 · · · fknk zu dem zu D geh¨orenden Ideal. Der folgende Satz zeigt, dass die beiden soeben eingef¨ uhrten Zuordnungen zwischen den effektiven Divisoren und den von 0 verschiedenen Idealen in einem Zahlbereich invers zueinander sind. Dies sollte man als eine einfache und u ur die Menge aller Ideale ansehen. ¨bersichtliche Beschreibung f¨

200

Satz 23.12. Sei R ein Zahlbereich. Dann sind die Zuordnungen a 7−→ div(a) und D 7−→ Id(D)

zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von 0 verschiedenen Ideale und der Menge der effektiven Divisoren. Diese Bijektion u ¨bersetzt das Produkt von Idealen in die Summe von Divisoren. Beweis. Wir starten mit einem Ideal a 6= 0 und vergleichen a und Id(div(a)). Sei zun¨achst f ∈ a. Es ist dann ordp (f ) ≥ min {ordp (g)| g ∈ a} f¨ ur jedes Primideal p 6= 0, so dass nat¨ urlich div(f ) ≥ div(a) gilt. Also ist f ∈ Id(div(a)). Ist hingegen f ∈ / a, so gibt es nach Aufgabe 22.15 auch ein Primideal p 6= 0 mit f ∈ / aRp . Da Rp ein diskreter Bewertungsring ist, gilt ordp (f ) < ordp (a). Also ist div(f ) 6≥ div(a) und somit f ∈ / Id(div(a)). Insbesondere ist die Abbildung injektiv. Die Surjektivit¨at ergibt sich aus Lemma 23.10 (1) in Verbindung mit Lemma 23.10 (2), was auch den Zusatz ergibt.  Korollar 23.13. Sei R ein Zahlbereich und seien a und b Ideale in R. Dann gilt a ⊆ b genau dann, wenn es ein Ideal c mit a = bc gibt. Bei b ist c eindeutig bestimmt. Beweis. Die Implikation ⇐“ gilt in beliebigen kommutativen Ringen. Die ” andere Implikation ist richtig, wenn a = 0 ist. Wir k¨onnen also annehmen, dass die beteiligten Ideale von 0 verschieden sind. Die Bedingung impliziert nach Lemma 23.10 (3), dass div(a) ≥ div(b) ist. Somit ist div(a) = div(b)+E mit einem effektiven Divisor E. Nach Satz 23.12 u uck ¨bersetzt sich dies zur¨ zu a = b · Id(E), so dass mit c = Id(E) die rechte Seite erf¨ ullt ist. 

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Die folgende Aussage heißt Satz von Dedekind. Sie liefert f¨ ur jeden Zahlbereich auf der Idealebene einen Ersatz f¨ ur die eindeutige Primfaktorzerlegung. Satz 23.14. Sei R ein Zahlbereich und a 6= 0 ein Ideal in R. Dann gibt es eine Produktdarstellung a = pr11 · · · prkk mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen pi 6= 0 aus R und eindeutig bestimmten Exponenten ri , i = 1, . . . , k.

201

Beweis. Wir benutzen Satz 23.12, also die bijektive Beziehung zwischen Idealen 6= 0 und effektiven Divisoren. Auf der Seite der Divisoren haben wir offenbar eine eindeutige Darstellung div(a) =

k X

ri p i

i=1

mit geeigneten Primidealen pi . Wendet man auf diese Darstellung die Abbildung D 7→ Id(D) an, so erh¨alt man links das Ideal zur¨ uck. Es gen¨ ugt also zu zeigen, dass der Divisor rechts auf das Ideal pr11 · · · prkk abgebildet wird. Dies folgt aber direkt aus Satz 23.12.  Korollar 23.15. Sei R ein Zahlbereich und f ∈ R, f 6= 0. Dann gibt es eine Produktdarstellung f¨ ur das Hauptideal (f ) = pr11 · · · prkk

mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen pi 6= 0 aus R und eindeutig bestimmten Exponenten ri , i = 1, . . . , k. Beweis. Dies folgt direkt aus Satz 23.14.



Rationale Zahlen 23. Arbeitsblatt ¨ 23.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 23.1. Bestimme den Hauptdivisor zu 840 in Z. Aufgabe 23.2. Bestimme den Hauptdivisor zu 840 in Z[i]. Aufgabe 23.3. Bestimme den Hauptdivisor zur Gaußschen Zahl 5 + 7i. Aufgabe 23.4. Sei R ein Zahlbereich und sei f ∈ R gegeben als ein Produkt f = upν11 · · · pνrr

mit paarweise nicht assoziierten Primelementen pi und einer Einheit u. Zeige, dass dann f¨ ur den zugeh¨origen Hauptdivisor die Gleichheit div(f ) = ν1 (p1 ) + · · · + νr (pr )

gilt, wobei die (pi ) die von pi erzeugten Primideale bezeichnen. Aufgabe 23.5. Es sei R ein Zahlbereich und f ∈ R, f 6= 0. Zeige, dass der Hauptdivisor div(f ) mit dem Divisor zum Hauptideal (f ) u ¨bereinstimmt.

202

Aufgabe 23.6. Es sei R ein Zahlbereich und a ⊆ R ein von 0 verschiedenes Ideal mit einem Erzeugendensystem a = (f1 , . . . , fn ). Zeige div(a) = min {div(fi )| i = 1, . . . , n} . Aufgabe 23.7. Es sei R ein Zahlbereich und seien f, g ∈ R von 0 verschiedene Elemente. Zeige, dass f genau dann ein Teiler von g ist, wenn f¨ ur die Hauptdivisoren die Beziehung div(f ) ≤ div(g) gilt.

Aufgabe 23.8. Sei R ein kommutativer Ring, sei f ∈ R und sei a ein Ideal. Zeige, dass f ∈ a genau dann gilt, wenn f¨ ur alle Lokalisierungen Rp gilt, dass f ∈ aRp ist. Aufgabe 23.9. Sei R ein kommutativer Ring und sei m ein maximales Ideal mit Lokalisierung Rm . Es sei a ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern geh¨ort. Zeige, dass dann Rm auch eine Lokalisierung von R/a ist.

Aufgabe 23.10. Sei R ein kommutativer Ring und sei p ein Primideal. Dann ist der Restklassenring S = R/p ein Integrit¨atsbereich mit Quotientenk¨orper Q = Q(S) und Rp ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal pRp . Zeige, dass eine nat¨ urliche Isomorphie Q(S) ∼ = Rp /pRp vorliegt. Den in der vorstehenden Aufgabe beschriebenen K¨orper nennt man auch den Restek¨orper von p man bezeichnet ihn mit κ(p). Die Abbildung R −→ κ(p), f 7−→ f

mod p,

(aufgefasst in diesem K¨orper) heißt auch die Auswertungsabbildung (oder Evaluationsabbildung) an der Stelle p.

203

Aufgabe 23.11. Es sei R ein kommutativer Ring und ϕ : R −→ K

ein Ringhomomorphismus in einen K¨orper K. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Faktorisierung R −→ κ(p) −→ K

mit einem Restek¨orper κ(p) zu einem Primideal p gibt. Aufgabe 23.12. Zeige, dass zu a ∈ C der Einsetzungshomomorphismus C[X] −→ C, X 7−→ a,

mit der Evaluationsabbildung (in den Restek¨orper C[X](X−a) /(X − a) C[X](X−a) ) zum Primideal (X − a) u ¨bereinstimmt.

Aufgabe 23.13. Es sei f ∈ C[X], f 6= 0, und a ∈ C. Zeige, dass die folgenden Ordnungen“ von f an der Stelle a u ¨bereinstimmen. ” (1) Die Verschwindungsordnung von f an der Stelle a, also die maximale Ordnung einer Ableitung mit f (k) (a) = 0. (2) Der Exponent des Linearfaktors X − a in der Zerlegung von f . (3) Die Ordnung von f an der Lokalisierung C[X](X−a) von C[X] am maximalen Ideal (X − a). Aufgabe 23.14. Bestimme ein Polynom P ∈ C[X] minimalen Grades, das an der Stelle 3 mit der Ordnung zwei verschwindet, das an der Stelle i mit der Ordnung f¨ unf verschwindet und das an den Stellen 0, 3−2i und 7i einfach verschwindet.

204

Aufgabe 23.15. Es sei K ein K¨orper. Wir betrachten in K[X, Y ] die beiden Primideale p = (X) ⊂ (X, Y ) = m. Zeige, dass es kein Ideal a mit gibt.

p = a·m

23.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 23.16. (4 Punkte)

√ Sei D 6= 1 quadratfrei und D = 1 mod 4. Finde in Z[ D] ein Primideal p derart, dass die Lokalisierung an p kein diskreter Bewertungsring ist. Aufgabe 23.17. (4 Punkte) √ √ Sei R = Z[ −5] = Z ⊕ Z −5 der quadratische Zahlbereich zu D = −5. Betrachte in R die Zerlegung √ √ 2 · 3 = (1 + −5)(1 − −5).

Zeige, dass die beteiligten Elemente irreduzibel, aber nicht prim sind, und bestimme f¨ ur jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme die Hauptdivisoren zu diesen Elementen. Aufgabe 23.18. (3 Punkte)

Sei R ein Zahlbereich und f, g ∈ R, f, g 6= 0. Zeige ohne Verwendung des Bijektionssatzes, dass die Hauptdivisoren div(f ) und div(g) genau dann gleich sind, wenn f und g assoziiert sind. Aufgabe 23.19. (3 Punkte) Sei R ein Zahlbereich und sei f ∈ R, f 6= 0. Zeige die beiden folgenden ¨ Aquivalenzen: Das Element f ist prim genau dann, wenn der zugeh¨orige Hauptdivisor div(f ) die Gestalt 1p mit einem Primideal p 6= 0 besitzt. Das Element f ist irreduzibel genau dann, wenn div(f ) minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren 6= 0 ist. Aufgabe 23.20. (7 Punkte) Sei n ≥ 2 eine nat¨ urliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen ¨aquivalent sind.

205

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

n ist die Potenz einer Primzahl. Der Restklassenring Z/(n) ist zusammenh¨angend. Der Restklassenring Z/(n) ist lokal. Die Reduktion von Z/(n) ist ein K¨orper. Jeder Nullteiler von Z/(n) ist nilpotent. Der Restklassenring Z/(n) besitzt genau ein Primideal. Der Restklassenring Z/(n) besitzt genau ein maximales Ideal. 24. Vorlesung - Gebrochene Ideale und Divisoren in Zahlbereichen

24.1. Divisoren und gebrochene Ideale. Die Menge der effektiven Divisoren bilden mit der nat¨ urlichen Addition ein kommutatives Monoid, aber keine Gruppe, da ja die Koeffizienten np alle nichtnegativ sind. L¨asst man auch negative ganze Zahlen zu, so gelangt man zum Begriff des Divisors, die eine Gruppe bilden. Auch den Begriff des Hauptdivisors kann man so erweitern, dass er nicht nur f¨ ur ganze Elemente aus R, sondern auch f¨ ur rationale Elemente, also Elemente aus dem Quotientenk¨orper Q(R), definiert ist. Definition 24.1. Sei R ein Zahlbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe X np · p , p

die sich u ¨ber alle Primideale p 6= 0 aus R erstreckt und wobei np ganze Zahlen mit np = 0 f¨ ur fast alle p sind.

F¨ ur einen diskreten Bewertungsring l¨asst sich die Ordnung ord : R \ {0} → N, q 7→ ord(q), zu einer Ordnungsfunktion auf dem Quotientenk¨orper fortsetzen, ord : Q(R) \ {0} −→ Z, q 7−→ ord(q), siehe Aufgabe 22.16. Definition 24.2. Sei R ein Zahlbereich und q ∈ Q(R), q 6= 0. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal p 6= 0 in R die Ordnung ordp (q) zuordnet, der durch q definierte Hauptdivisor. Er wird mit div(q) bezeichnet und als formale Summe X ordp (q) · p div(q) = p

geschrieben.

Wenn man die rationale Funktion q ∈ Q(R) als q = div(q) = div(f ) − div(g),

da dies punktweise an jedem Primideal gilt. Bei ordp (q) < 0

f g

ansetzt, so gilt

206

sagt man auch, dass q einen Pol an der Stelle p besitzt, und zwar mit der Polordnung − ordp (q).

Die Menge der Divisoren bildet eine additive kommutative freie Gruppe, die wir mit Div(R) bezeichnen. Es liegt (siehe Aufgabe 24.1) unmittelbar ein Gruppenhomomorphismus (Q(R))× −→ Div(R), q 7−→ div(q),

vor. Das Bild unter dieser Abbildung ist die Untergruppe der Hauptdivisoren, die wir mit H bezeichnen. Da wir in der letzten Vorlesung eine Bijektion zwischen effektiven Divisoren und von 0 verschiedenen Idealen (und von effektiven Hauptdivisoren mit von 0 verschiedenen Hauptidealen) gestiftet haben, liegt die Frage nahe, welche Ideal-¨ahnlichen“ Objekte den Divisoren entsprechen. Wir wollen also wissen, ” durch welche Objekte wir das Fragezeichen im folgenden Diagramm ersetzen m¨ ussen. ∼ Ideale(R) −→ E-Div(R) ↓ ↓ ∼ ? −→ Div(R) Da wir einen Divisor D stets als D = E − F mit effektiven Divisoren E und F schreiben k¨onnen, liegt die Vermutung nahe, nach etwas wie dem Inversen (bez¨ uglich der Multiplikation) eines Ideals zu suchen. Im Fall eines faktoriellen Zahlbereichs entsprechen sich (bis auf die Einheiten) Elemente und Hauptdivisoren, und zwar sowohl auf der Ringebene (siehe Bemerkung 23.4) als auch auf der Ebene des Quotientenk¨orpers. Zu einer rationale Funktion q bzw. dem Hauptdivisor div(q) geh¨ort in diesem Fall einfach der von q erzeugte R-Untermodul qR. Im Fall der rationalen Zahlen sind dies Un1 tergruppen der Form 10 Z oder 37 Z. F¨ ur allgemeine Zahlbereiche f¨ uhrt die folgende Definition zum Ziel. Definition 24.3. Sei R ein Zahlbereich mit Quotientenk¨orper Q(R). Dann nennt man einen endlich erzeugten R-Untermodul f des R-Moduls Q(R) ein gebrochenes Ideal. Lemma 24.4. Sei R ein Zahlbereich mit Quotientenk¨orper Q(R) und sei f ⊆ Q(R) eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent. (1) f ist ein gebrochenes Ideal. (2) Es gibt ein Ideal a in R und ein Element r ∈ R, r 6= 0, so dass na o a = |a ∈ a f = r r gilt. Beweis. Sei zun¨achst f ein gebrochenes Ideal. Dann ist   an a1 . f = R ,..., r1 rn

207

¨ Nach Ubergang zu einem Hauptnenner kann man annehmen, dass r = r1 = . . . = rn ist. Dann hat man mit dem Ideal a = (a1 , . . . , an ) eine Beschreibung urlich ein endlich der gew¨ unschten Art. Ist umgekehrt f = ra , so ist dies nat¨ erzeugter R-Untermodul von Q(R).  Wie f¨ ur Ideale spielen diejenigen gebrochenen Ideale, die von einem Element erzeugt sind, eine besondere Rolle. Definition 24.5. Sei R ein Zahlbereich mit Quotientenk¨orper Q(R). Dann nennt man ein gebrochenes Ideal der Form f = Rq mit q ∈ Q(R) ein gebrochenes Hauptideal. Aus Lemma 24.4 ergibt sich sofort, dass f¨ ur einen Hauptidealbereich jedes gebrochene Ideal ein gebrochenes Hauptideal ist. Definition 24.6. Sei R ein Zahlbereich mit Quotientenk¨orper Q(R). Dann definiert man f¨ ur gebrochene Ideale f und g das Produkt f · g als den von allen Produkten erzeugten R-Untermodul von Q(R), also f · g := Rhgf : f ∈ f, g ∈ gi, wobei die Produkte in Q(R) zu nehmen sind. Wird das gebrochene Ideal f als R-Modul von f1 , . . . , fn erzeugt und wird das gebrochene Ideal g von g1 , . . . , gm erzeugt, so wird das Produkt fg von den Produkten fi gj , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, , erzeugt. Also ist das Produkt in der Tat wieder endlich erzeugt und damit ein gebrochenes Ideal. F¨ ur Ideale stimmt nat¨ urlich das Idealprodukt mit dem hier definierten Produkt von gebrochenen Idealen u ¨berein. Das Produkt von gebrochenen Hauptidealen ist wieder ein gebrochenes Hauptideal. Man kann direkt zeigen, oder aber den Bijektionssatz weiter unten benutzen, dass die Menge der von 0 verschiedenen gebrochenen Ideale eine Gruppe bilden, und die von 0 verschiedenen gebrochenen Hauptideale darin eine Untergruppe. Bemerkung 24.7. Zu einem gebrochenen Ideal f 6= 0 in einem Zahlbereich R nennt man f−1 := {q ∈ Q(R)| q · f ⊆ R}

das zugeh¨orige inverse gebrochene Ideal. Es ist klar, dass dies ein von 0 verschiedener R-Untermodul von Q(R) ist, die endliche Erzeugtheit ist etwas schwieriger zu zeigen. Zun¨achst beachte man, dass zu zwei gebrochenen Idealen mit der Beziehung g = rf mit r ∈ Q(R) f¨ ur die inversen Ideale die Beziehung g−1 = r−1 f−1 gilt. Wenn nun f durch ab11 , . . . , abnn erzeugt wird, so ist f∼ = af = g mit a = a1 · · · an und g besitzt ein Erzeugendensystem der Form 1 , . . . , c1n mit ci ∈ R. Die Bedingung c1 q

1 ∈ R ci

208

impliziert q ∈ R. Daher ist das inverse gebrochene Ideal selbst ein Ideal, also endlich erzeugt. F¨ ur das Produkt ist offenbar f · f−1 ⊆ R,

es ist aber nicht unmittelbar klar, dass hier sogar Gleichheit gilt. Dies folgt daraus, dass man die Gleichheit lokal testen kann, die Produktbildung lokal ist und die Lokalisierungen diskrete Bewertungsringe sind. √ Beispiel 24.8. Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich Z[ −5] das Ideal √ a = (2, 1 + −5). Aufgrund der Gleichung √ √ 2 · 3 = (1 + −5)(1 − −5) ist

1−



−5

3 √ · a ⊆ R, 1 · a ⊆ R . 2 1 + −5 Wir behaupten, dass das inverse gebrochene Ideal a−1 gleich √   1 − −5 f = R 1, 2 · a ⊆ R,

ist, wobei sich die Inklusion f ⊆ a−1 aus der vorstehenden Zeile ergibt. Andererseits gilt wegen √ √ 1 − −5 (1 + −5) − 2 · 1 = 3 − 2 = 1 2 f¨ ur das Produkt a · f = R, und dies impliziert nach Aufgabe 24.12 die Gleichheit f = a−1 . Ein gebrochenes Ideal f 6= 0 in einem Zahlbereich ist ein sogenannter invertierbarer Modul. D.h. es ist lokal isomorph zum Ring selbst. Mit diesen Formulierungen ist folgendes gemeint: F¨ ur ein maximales Ideal (also f¨ ur ein von 0 verschiedenes Primideal) p ist fRp = fp (dies ist die Lokalisierung eines Moduls an einem Primideal) ein endlich erzeugter Rp -Modul 6= 0, der zugleich im Quotientenk¨orper liegt. Solche Moduln sind isomorph zu Rp . Siehe Aufgabe 22.10. Definition 24.9. Sei R ein Zahlbereich und X D = np · p p

ein Divisor (wobei p durch die Menge der Primideale 6= 0 l¨auft). Dann nennt man {f ∈ Q(R)| div(f ) ≥ D} das gebrochene Ideal zum Divisor D. Es wird mit Id(D) bezeichnet.

209

Das folgende Lemma zeigt, dass man in der Tat ein gebrochenes Ideal erh¨alt, und dass diese Definition mit der fr¨ uheren Definition 23.11 vertr¨aglich ist. P Lemma 24.10. Sei R ein Zahlbereich und D = p np · p ein Divisor. Dann ist die Menge {f ∈ Q(R) : div(f ) ≥ D} ein gebrochenes Ideal. Ist D ein effektiver Divisor, dann ist das so definierte gebrochene Ideal ein Ideal und stimmt mit dem Ideal u ¨berein, das einem effektiven Divisor gem¨aß der Definition 23.11 zugeordnet wird. Beweis. Sei f = {f ∈ Q(R)| div(f ) ≥ D} . Gem¨aß der Konvention, dass div(0) = ∞ zu interpretieren ist, ist 0 ∈ f. F¨ ur zwei Elemente f1 , f2 ∈ Q(R) mit div(f1 ), div(f2 ) ≥ D gilt und

div(f1 + f2 ) ≥ min{div(f1 ), div(f2 )} ≥ D

div(rf ) = div(r) + div(f ) ≥ D f¨ ur r ∈ R, da ja div(r) effektiv ist. Also liegt in der Tat ein R-Modul vor.

Bevor wir die endliche Erzeugtheit nachweisen, betrachten die zweite Aussage. Sei also E ein effektiver Divisor. Wir haben zu zeigen, dass {f ∈ Q(R)| div(f ) ≥ E} = {f ∈ R| div(f ) ≥ E}

ist, wobei die Inklusion ⊇ klar ist. Sei also f ∈ Q(R) und angenommen, der zugeh¨orige Hauptdivisor div(f ) sei ≥ E. Dann ist div(f ) insbesondere effektiv. Die Effektivit¨at bedeutet ordp (f ) ≥ 0 f¨ ur jedes von 0 verschiedene Primideal p und dies bedeutet f ∈ Rp . Das heißt, dass f zu jedem diskreten Bewertungsring zu jedem maximalen Ideal von R geh¨ort. Dies bedeutet aber nach Satz 22.9, dass f ∈ R ist.

Zum Nachweis der endlichen Erzeugtheit bemerken wir, dass es zu jedem Divisor D ein r ∈ R derart gibt, dass D′ = D + div(r) effektiv ist. Das zu D′ geh¨orige gebrochene Ideal ist dann ein Ideal, also endlich erzeugt, und dies u  ¨bertr¨agt sich auf das gebrochene Ideal zu D. Definition 24.11. Sei R ein Zahlbereich und f 6= 0 ein von 0 verschiedenes gebrochenes Ideal. Dann nennt man den Divisor X mp · p div(f) = p

mit

mp = min {ordp (f )| f ∈ f, f 6= 0} den Divisor zum gebrochenen Ideal f. Da das gebrochene Ideal f nach Definition endlich erzeugt ist, muss man das Minimum nur u ¨ber eine endliche Menge nehmen. Insbesondere ist der zugeh¨orige Divisor wohldefiniert. F¨ ur ein Ideal stimmt diese Definition offensichtlich mit der alten u ¨berein.

210

Lemma 24.12. Sei R ein Zahlbereich. Dann gelten folgende Aussagen. (1) Sei f ein gebrochenes Ideal mit einer Darstellung f = und einem Ideal a ⊆ R. Dann ist

a h

mit h ∈ R

div(f) = div(a) − div(h).

(2) Zu einem Divisor D gibt es ein h ∈ R derart, dass D + div(h) effektiv ist. (3) Zu einem Divisor D mit E = D + div(h) effektiv ist Id(D) =

Id(E) . h

Beweis. Siehe Aufgabe 24.14.



Auch die Einzelheiten des Beweises des folgenden Satzes u ¨berlassen wir dem Leser, siehe Aufgabe 24.15. Satz 24.13. Sei R ein Zahlbereich. Dann sind die Zuordnungen f 7−→ div(f) und D 7−→ Id(D)

zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von 0 verschiedenen gebrochenen Ideale und der Menge der Divisoren. Diese Bijektion ist ein Isomorphismus von Gruppen. Beweis. Wir haben zu zeigen, dass die hintereinandergeschalteten Abbildungen jeweils die Identit¨at ergeben. Dies kann man mittels Lemma 24.12 auf den effektiven Fall zur¨ uckf¨ uhren. Die Zuordnung f 7→ div(f) f¨ uhrt die Multiplikation von gebrochenen Idealen in die Addition von Divisoren u ¨ber, da dies an jedem diskreten Bewertungsring Rp gilt. Wegen der Bijektivit¨at liegt dann auch links eine Gruppe vor und die Abbildungen sind Gruppenisomorphismen.  24. Arbeitsblatt ¨ 24.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 24.1. Sei R ein Zahlbereich. Zeige, dass die Abbildung, die einem Element q ∈ Q(R), q 6= 0, den Hauptdivisor div(q) zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt. (1) Es ist div(q1 q2 ) = div(q1 ) + div(q2 ). (2) Es ist div(q1 + q2 ) ≥ min{div(q1 ), div(q2 )}. Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen Gruppenhomomorphismus Q(R)\{0} → Div(R) definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.

211

Aufgabe 24.2. Es sei R ein Zahlbereich und f ∈ Q(R), f 6= 0. Zeige, dass f ∈ R genau dann gilt, wenn der Hauptdivisor div(f ) ein effektiver Divisor ist. Aufgabe 24.3. Sei R ein quadratischer Zahlbereich. Definiere zu einem Diur q ∈ Q(R), q 6= 0, die visor D den konjugierten Divisor“ D. Zeige, dass f¨ ” Beziehung div(q) = div(q) gilt. Aufgabe 24.4.*

√ Sei R = A14 = Z[ 14] der quadratische Zahlbereich zu D = 14. Berechne zu 3 1√ q= − 14 5 7 den zugeh¨origen Hauptdivisor. Aufgabe 24.5.* Sei

√ R = Z[ −6] ∼ = Z[X]/(X 2 + 6). Berechne den Hauptdivisor zu 4 2√ −6. q = + 5 3

Aufgabe 24.6. Bestimme eine rationale Funktion C → C, die an der Stelle 2 − i einen Pol der Ordnung 4, in −3 + 5i eine Nullstelle der Ordnung 2 und in −3 einen Pol der Ordnung 3 besitzt.

212

Aufgabe 24.7. Es sei f 6= 0 eine rationale Funktion f : C → C. Zeige, dass f in a ∈ C eine Nullstelle der Ordnung n genau dann besitzt, wenn f −1 in a einen Pol der Ordnung n besitzt. Aufgabe 24.8. Bestimme einen Erzeuger f¨ ur das gebrochene Ideal f ⊆ Q, das durch die rationalen Zahlen 4 7 13 , , 7 10 8 erzeugt wird. Aufgabe 24.9. Der Floh Kurt lebt auf einem unendlichen Lineal und befindet sich in der Nullposition. Er verf¨ ugt u unge, n¨amlich ¨ber drei Spr¨ 11 25 82 , , . 77 49 15 Berechne das zugeh¨orige gebrochene Ideal, das seinem Lebensraum entspricht. Aufgabe 24.10.* Sei R = Z[i]. Berechne einen Erzeuger f¨ ur das gebrochene Ideal aus Q(R) = Q[i], das durch die beiden Erzeuger 5 −8 + 6i und 7 5 gegeben ist. Aufgabe 24.11. Es sei f ⊆ Q(R) ein gebrochenes Ideal zu einem Zahlbereich R. Zeige, dass f−1 = {q ∈ Q(R)| q · f ⊆ R}

ebenfalls ein gebrochenes Ideal ist. Aufgabe 24.12.*

Es seien f und g gebrochene Ideale in einem Zahlbereich R. Es gelte Zeige, dass dann

f · g = R. g = f−1

ist.

213

Aufgabe 24.13. Es sei a ⊆ R ein Ideal in einem Zahlbereich R mit dem zugeh¨origen effektiven Divisor E. Zeige, dass das inverse gebrochene Ideal a−1 = {q ∈ Q(R)| q · a ⊆ R} gleich dem zu −E geh¨orenden gebrochenen Ideal Id(−E) ist. Aufgabe 24.14. Es sei R ein Zahlbereich und es seien f und g gebrochene Ideale. (1) Zeige, dass wenn es ein r ∈ Q(R), r 6= 0, mit g = rf gibt, dass dann die Multiplikation mit r, also Q(R) −→ Q(R), f 7−→ rf, einen R-Modulisomorphismus f −→ g induziert. (2) Zeige, dass wenn es irgendeinen R-Modulisomorphismus ϕ : f −→ g gibt, dass es dann schon ein r ∈ Q(R) mit g = rf gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist.

Aufgabe 24.15. Beweise Lemma 24.12.

Aufgabe 24.16. F¨ uhre die Einzelheiten im Beweis zu Satz 24.13 aus.

Aufgabe 24.17. Beweise das Lemma von Dickson, das besagt, dass eine nichtleere Teilmenge T ⊆ Nr nur endlich viele minimale Elemente besitzt. Es sei ϕ : A −→ B

ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen A und B. Zu einem Ideal a ⊆ A nennt man das von ϕ (a) erzeugte Ideal das Erweiterungsideal von a unter ϕ. Es wird mit aB bezeichnet.

214

Aufgabe 24.18. Es sei ϕ : A −→ B

ein Ringhomomorphismus und es seien a1 , a2 Ideale in A. Beweise f¨ ur die Erweiterungsideale die Gleichheiten (a1 + a2 ) B = a1 B + a2 B und (a1 · a2 ) B = (a1 B) · (a2 B) . 24.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 24.19. (4 Punkte) √ Sei R = A−13 = Z[ −13] der quadratische Zahlbereich zu D = −13. Berechne zu 2 5√ q= − −13 3 7 den zugeh¨origen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.

Aufgabe 24.20. (4 Punkte) Die Fl¨ohin Paola lebt in der komplexen Ebene und befindet sich im Nullpunkt. Sie verf¨ ugt u unge, n¨amlich ¨ber drei Spr¨ 2 1 3 2 − i, 2 + i, + 7i . 4 5 3 7 Man gebe eine einfache Beschreibung des gebrochenen Ideals, das ihrem Lebensraum entspricht.

Aufgabe 24.21. (4 Punkte) Zeige direkt, dass die gebrochenen Ideale 6= 0 eine Gruppe bilden, und dass die gebrochenen Hauptideale darin eine Untergruppe bilden.

Aufgabe 24.22. (3 Punkte) Sei a = (f1 , . . . , fn ) (mit fi 6= 0) ein Ideal in einem Zahlbereich R und sei vorausgesetzt, dass das inverse gebrochene Ideal a−1 die Gestalt a−1 = (f1−1 , . . . , fn−1 ) hat. Zeige, dass a ein Hauptideal sein muss.

215

25. Vorlesung - Die Divisorenklassengruppe von Zahlbereichen 25.1. Die Divisorenklassengruppe. Definition 25.1. Sei R ein Zahlbereich. Es sei Div(R) die Gruppe der Divisoren und H ⊆ Div(R) sei die Untergruppe der Hauptdivisoren Dann nennt man die Restklassengruppe KG(R) = Div(R)/H die Divisorenklassengruppe von R. Die Divisorenklassengruppe wird h¨aufig auch als Idealklassengruppe oder einfach als Klassengruppe bezeichnet. Sie ist kommutativ. Ihre Elemente sind ¨ Aquivalenzklassen und werden durch Divisoren repr¨asentiert, wobei zwei Divisoren genau dann die gleiche Klasse repr¨asentieren, wenn ihre Differenz ein Hauptdivisor ist. Sie heißen Divisorklassen oder Idealklassen. Ein sp¨ateres Hauptresultat - das wir aber nur f¨ ur quadratische Zahlbereiche beweisen werden - wird sein, dass die Klassengruppe endlich ist. Sie ist eine wesentliche (ko)-homologische Invariante eines Zahlbereichs und enth¨alt wesentliche Informationen u ¨ber diesen. Generell l¨asst sich sagen, dass ihre Gr¨oße zum Ausdruck bringt, wie weit ein Zahlbereich von der Faktorialit¨at entfernt ist. Der n¨achste Satz charakterisiert die Faktorialit¨at dadurch, dass die Klassengruppe trivial ist. Satz 25.2. Sei R ein Zahlbereich und es bezeichne KG(R) die Divisorenklassengruppe von R. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent. (1) R ist ein Hauptidealbereich. (2) R ist faktoriell. (3) Es ist KG(R) = 0. Beweis. Die Implikation (1) ⇒ (2) folgt aus Satz 3.7.

(2) ⇒ (3). Sei also R faktoriell, und sei p ein Primideal 6= 0. Sei f ∈ p, f 6= 0, mit Primfaktorzerlegung f = p1 · · · ps . Da p ein Primideal ist, muss einer der Primfaktoren zu p geh¨oren, sagen wir p = p1 ∈ p. Dann ist (p) ⊆ p. Das von p erzeugte Ideal ist ein Primideal, und in einem Zahlbereich ist nach Satz 18.15 jedes von 0 verschiedene Primideal maximal, so dass hier (p) = p gelten muss. Auf der Seite der Divisoren gilt aufgrund von Satz 23.12 div(p) = 1p, so dass ein Hauptdivisor vorliegt. Also sind alle Erzeuger der Divisorengruppe Hauptdivisoren und somit ist u ¨berhaupt Div(R) = H und die Divisorenklassengruppe ist trivial. (3) ⇒ (1). Sei nun KG(R) = 0 vorausgesetzt. Wir zeigen zun¨achst, dass jedes Primideal p 6= 0 ein Hauptideal ist. Nach Voraussetzung ist der Divisor p ein Hauptdivisor, so dass p = div(p) mit einem p ∈ R gilt. Aufgrund von

216

Satz 23.12 entspricht dies auf der Idealseite der Gleichung p = (p), so dass jedes Primideal ein Hauptideal ist. F¨ ur ein beliebiges Ideal a ⊆ R, a 6= 0, ist nach Satz 23.14 a = pr11 · · · prkk . Dies bedeutet aber, mit pi = (pi ), dass a ein Hauptideal ist, das von pr11 · · · prkk erzeugt wird. Also liegt ein Hauptidealbereich vor.  √

Wir kennen bereits die euklidischen Bereiche Z[i] und Z[ 1+ 2 −3 ], die Haupt√ idealbereiche sind und deren Klassengruppe somit 0 ist. Der Bereich Z[ −5] ist hingegen nicht faktoriell und somit kann seine Klassengruppe nicht 0 sein. Wir werden sp¨ater sehen, dass die Klassengruppe davon einfach Z/(2) ist, und wir werden allgemein beweisen, dass die Klassengruppe von quadratischen Zahlbereichen immer eine endliche Gruppe ist. Beispiel 25.3. Wir behaupten, dass im quadratischen Zahlbereich R = √ Z[ −5] das Ideal √ p = (2, 1 + −5) kein Hauptideal ist, aber die Eigenschaft besitzt, dass das Quadrat davon ein Hauptideal ist. Insbesondere definiert die zugeh¨orige Idealklasse ein von 0 verschiedenes Element in der Divsorenklassengruppe mit der Eigenschaft, dass das Doppelte davon trivial ist. Es ist √ √ p2 = (4, 2 + 2 −5, −4 + 2 −5) = (2).

Dabei ist die Inklusion ⊆ klar und die umgekehrte Inklusion ⊇ ergibt sich aus √ √ −4 + (2 + 2 −5) − (−4 + 2 −5) = 2.

Wir betrachten nun das Ideal

q = (7, 3 +



−5).

Der Restklassenring ist Z/(7)[X]/(X 2 + 5, 3 + X) ∼ = Z/(7), so dass ein Primideal mit der Norm 7 vorliegt, das kein Hauptideal ist, da es kein Element mit Norm 7 gibt. Die beiden Ideale p und q definieren die gleiche Idealklasse. Dazu betrachten wir die Multiplikation √ 3 + −5 . Q(R) −→ Q(R), h 7−→ h 2 Wegen √ √ 3 + −5 2· = 3 + −5 ∈ q 2 und √ √ √ √ √ −2 + 4 −5 3 + −5 = = −1+2 −5 = −7+2(3+ −5) ∈ q (1+ −5)· 2 2

217

induziert dies einen injektiven R-Modulhomomorphismus p −→ q,

der wegen

√ √ 7 = −(−1 + 2 −5) + 2(3 + −5) auch surjektiv ist. Somit ist der Quotient der Ideale ein Hauptideal. In Beispiel 27.11 wird dar¨ uberhinaus gezeigt, dass die Klassengruppe gleich Z/(2) ist. 25.2. Normeuklidische Bereiche. Wir betrachten nun diejenigen imagin¨ar-quadratischen Zahlbereiche (also D < 0), f¨ ur die die Norm eine euklidische Funktion ist. Wir werden sp¨ater Beispiele sehen, wo der Ganzheitsring zwar faktoriell, aber nicht euklidisch ist. Definition 25.4. Sei D 6= 0, 1 quadratfrei und AD der zugeh¨orige quadratische Zahlbereich. Dann heißt AD normeuklidisch, wenn die Normfunktion auf AD eine euklidische Funktion ist. Da eine euklidische Funktion nur positive Werte annimmt, kann die Norm allenfalls im imagin¨ar-quadratischen Fall euklidisch sein, da im reell-imagin¨ar quadratischen Fall die Norm auch negative Werte annimmt. Die Euklidizit¨at der Norm bedeutet, dass es zu a, b ∈ R, b 6= 0, Elemente z und r mit a = zb + r

und r = 0 oder N (r) < N (b). Dies kann man auch so sehen, dass es f¨ ur jede rationales Element ab ∈ Q(R) eine ganzzahlige Approximation z ∈ R mit  a −z < 1 N b gibt. Mit Hilfe dieser geometrischen Interpretation charakterisiert der n¨achste Satz explizit diejenigen imagin¨ar-quadratischen Zahlbereiche, f¨ ur die AD normeuklidisch ist. Satz 25.5. Sei D < 0 quadratfrei und AD der zugeh¨orige quadratische Zahlbereich. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent. (1) AD ist euklidisch. (2) AD ist normeuklidisch. (3) D = −1, −2, −3, −7, −11. Beweis. (1) ⇒ (3). Sei AD euklidisch mit euklidischer Funktion δ. Es sei z ∈ AD , z 6= 0, keine Einheit, so gew¨ahlt, dass δ(z) unter allen Nichteinheiten den minimalen Wert annimmt. F¨ ur jedes w ∈ AD ist dann w = qz + r mit r = 0 oder δ(r) < δ(z) .

218

Wegen der Wahl von z bedeutet dies r = 0 oder r ist eine Einheit. Wir betrachten die Restklassenabbildung ϕ : AD −→ AD /(z).

Dabei ist ϕ(w) = ϕ(r). Ab |D| ≥ 4 gibt es nur die beiden Einheiten 1 und −1, so dass das Bild von ϕ u ¨berhaupt nur aus 0, 1, −1 besteht. Also ist nach Satz 21.7 N (z) = |AD /(z)| ≤ 3

Bei D = 2, √3 mod 4 hat nach Satz 20.9 jedes Element aus AD die Form z = a + b D (a, b ∈ Z) mit Norm N (z) = a2 + |D| b2 . Damit ist (bei |D| ≥ 4) N (z) ≤ 3 nur bei b = 0 und |a| = 1 m¨oglich, doch dann liegt eine Einheit vor, im Widerspruch zur Wahl von z. In diesem Fall verbleiben also nur die M¨oglichkeiten D = −1, −2.

Bei D =√ 1 mod 4 hat nach Satz 20.9 jedes Element aus AD die Form z = 2 2 a + b 1+2 D (a, b ∈ Z) mit Norm N (z) = a + 2b + |D|b . Damit ist bei 4 |D| ≥ 12 die Bedingung N (z) ≤ 3 wieder nur bei b = 0 und |a| = 1 m¨oglich, so dass erneut eine Einheit vorliegt. Es verbleiben die M¨oglichkeiten D = −3, −7, −11.

(3) ⇔ (2). Der Ganzheitsring AD ist genau dann normeuklidisch, wenn es √ zu jedem f ∈ Q[ D] ein z ∈ AD mit |N (f√− z)| < 1 gibt. Dies bedeutet anschaulich, dass es zu jedem Punkt von Q[ D] ⊆ C stets Gitterpunke aus AD√gibt mit einem Abstand kleiner als eins2 Im Fall D = 2, 3 mod 4 ist AD = Z[ D] und es liegt ein rechteckiges Gitter vor, wobei der maximale Abstand im Mittelpunkt eines Gitterrechteckes angenommen wird. Der Abstand zu q

jedem Eckpunkt ist dort als eins.

1 4

+

|D| , 4

und dies ist nur f¨ ur D = −1, −2 kleiner

Im Fall D = 1 mod 4 wird die komplexe Ebene u ¨berdeckt von kongruenten gleichschenkligen Dreiecken, mit einer Grundseite der L¨ange eins und p Schenkeln der L¨ange 12 1 + |D|, deren Eckpunkte jeweils Elemente aus AD sind. Der Punkt innerhalb eines solchen Dreiecks mit maximalem Abstand zu den Eckpunkten ist der Mittelpunkt des Umkreises, also der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. ur das Dreieck mit den Eckpunk berechnen ihn f¨  √ Wir |D| . Die Mittelsenkrechte zur Grundseite ist durch ten (0, 0), (1, 0), 12 , 2 1 und die Mittelsenkrechte zum linken Schenkel wird durch x   = √2 gegeben, p  |D| 1 |D|, −1 + t , beschrieben. Gleichsetzen ergibt 4 4

2Da

Zahlen.

p p 1 1 1 1 . + t |D| = bzw. t |D| = und t = p 4 2 4 4 |D|

√ Q[ D] dicht in der komplexen Ebene C liegt, gilt dies ebenso f¨ ur alle komplexen

219

Damit ist die zweite Koordinate gleich



|D| 4

− √1 4

|D|

und der gemeinsame

Abstand zu den drei Eckpunkten ist die Wurzel aus !2 p   |D| 1 1 1 1 1 1 1 |D| 2 + |D| + . + − p + − = = + 4 4 4 16 16 |D| 8 16 |D| 4 |D|

Dies (und ebenso die Quadratwurzel) ist kleiner als 1 genau dann, wenn 1 |D|+ |D| < 14 ist, was genau bei D > −13 der Fall ist und den M¨oglichkeiten D = −3, −7, −11 entspricht. (2) ⇒ (1) ist trivial.



Bemerkung 25.6. F¨ ur ein vorgegebenes quadratfreies D kann man grunds¨atzlich effektiv entscheiden, ob der quadratische Zahlbereich AD faktoriell ist oder nicht. F¨ ur D < 0 ist dies genau f¨ ur D = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163

der Fall. Es war bereits von Gauß vermutet worden, dass dies alle sind, es wurde aber erst 1967 von Heegner und Stark bewiesen. Man weiß auch, f¨ ur welche von diesen D der Ganzheitsbereich euklidisch ist, n¨amlich nach Satz 25.5 f¨ ur D = −1, −2, −3, −7, −11, aber nicht f¨ ur die anderen vier Werte.

F¨ ur D > 0 wird vermutet, dass f¨ ur unendlich viele Werte der Ganzheitsbereich faktoriell ist. F¨ ur D < 100 liegt ein faktorieller Bereich f¨ ur die Werte D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 23, 29, 31, 33, 37, 38, 41, 43, 46, 47,

53, 57, 59, 61, 62, 67, 69, 71, 73, 77, 83, 86, 89, 93, 94, 97 vor. Dagegen weiß man (Chatland und Davenport 1950), f¨ ur welche positiven D der Ganzheitsbereich AD euklidisch ist, n¨amlich f¨ ur D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 . 25. Arbeitsblatt ¨ 25.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 25.1. Beweise, dass es zu einem Zahlbereich R einen Gruppenisomorphismus Q(R)× /R× −→ H gibt, wobei H die Gruppe der Hauptdivisoren bezeichnet. Aufgabe 25.2. Sei AD ein quadratischer Zahlbereich und sei a ein Ideal 6= 0 in AD . Zeige, dass das konjugierte Ideal a in der Klassengruppe das Inverse zu a ist.

220

Aufgabe 25.3. Sei R ein Zahlbereich und sei f ∈ R, f 6= 0. Es sei (f ) = p1 · · · pk die Zerlegung in Primideale und es sei vorausgesetzt, dass f eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zeige, dass die Primideale pi Hauptideale sind. √ −2] einen gr¨oßten gemeinsamen Teiler f¨ ur Aufgabe 25.4. Bestimme in Z[ √ √ 22 + 25 −2 und 43 − 23 −2. √ Aufgabe 25.5. Betrachte in Z[ −2] die beiden Elemente √ √ x = 4 + 7 −2 und y = 5 + 8 −2 .

Bestimme den gr¨oßten gemeinsamen Teiler der √ Normen N (x) und N (y) (in Z) und das von x und y erzeugte Ideal in Z[ −2]. √ Aufgabe 25.6. Sei R = Z[ −6] ∼ = Z[X]/(X 2 + 6). Berechne den Hauptdivisor zu 2 1√ −6. q = − 3 4 √

Aufgabe 25.7. Sei R = A−15 = Z[ 1+ 2−15 ] der quadratische Zahlbereich zu D = −15. Berechne zu 3 5√ −15 q= − 10 6 den zugeh¨origen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar. √

Aufgabe 25.8. Sei R = A−11 = Z[ 1+ 2−11 ] der quadratische Zahlbereich zu D = −11. Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den gr¨oßten gemeinsamen Teiler von √ √ 35 + −11 und − 89 + 21 −11 . √

Aufgabe 25.9. Sei R = A−7 = Z[ 1+ 2 −7 ] der quadratische Zahlbereich zu D = −7. Bestimme die Primfaktorzerlegung von √ 4 + 9 −7 . Aufgabe 25.10. Sei D quadratfrei mit D = 3 mod 4 und D < −1. Zeige, √ dass (2, 1 + D) ein Primideal im quadratischen Zahlbereich AD ist, aber kein Hauptideal. Folgere, dass diese Ringe nicht faktoriell sind.

221

Aufgabe 25.11. Sei D < 0 quadratfrei und AD der zugeh¨orige imagin¨arquadratische Zahlbereich. Bestimme f¨ ur D ≥ −12 die Nichteinheiten z ∈ AD mit minimaler Norm. √ Aufgabe 25.12. Im quadratischen Zahlbereich A6 ∼ = Z[ 6] gilt √ √ 2 · 3 = 6 · 6.

Finde die Primfaktorzerlegungen (?) der beteiligten Faktoren und des Produktes. √ Aufgabe 25.13. Im quadratischen Zahlbereich A−6 ∼ = Z[ −6] gilt √ √ −2 · 3 = −6 · −6 .

Kann man diese Produkte weiter zerlegen, sind die beteiligten Faktoren prim? √ D] ⊆ AD . CharakteAufgabe 25.14. Sei D quadratfrei und betrachte Z[ √ risiere f¨ ur die beiden Ringe, wann D prim ist. Aufgabe 25.15.* Man gebe ein Beispiel von zwei Zahlbereichen R und S, die als Ringe nicht isomorph sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen (R, +, 0) und (S, +, 0) als Gruppen isomorph als auch die multiplikativen Strukturen (R, ·, 1) und (S, ·, 1) als Monoide isomorph sind. Bei den beiden folgenden Aufgaben darf man sich auf quadratische Zahlbereiche beschr¨anken, da wir nur f¨ ur diese die Multiplikativit¨at der Norm gezeigt haben. Aufgabe 25.16. Es sei R ein Zahlbereich. Erweitere die (multiplikative) Normabbildung Ideale (R) −→ N+ , a 7−→ N (a), zu einem Gruppenhomomorphismus Gebrochene Ideale (R) −→ Q× . Aufgabe 25.17. Finde eine (additive) Gruppe G und Gruppenhomomorphismen ϕ und ψ derart, dass das Diagramm ∼

Gebrochene Ideale (R) −→ Div (R) Norm ↓ ↓ψ ϕ × Q −→ G

kommutiert und dass ϕ injektiv ist.

222

25.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 25.18. (4 Punkte) √ √ ur −169 + 2 −2 Bestimme in Z[√ −2] einen gr¨oßten gemeinsamen Teiler f¨ und −70 + 113 −2. Aufgabe 25.19. (3 Punkte) Sei R ein Zahlbereich und sei angenommen, dass jede ganze Zahl n ∈ Z, n 6= 0, eine Primfaktorzerlegung in R besitzt. Zeige, dass dann R bereits faktoriell ist. Aufgabe 25.20. (4 Punkte) Sei D 6= 0, 1 quadratfrei und AD der zugeh¨orige quadratische Zahlbereich. Sei ¨ p eine Primzahl, die in AD nicht tr¨age sei. Beweise die Aquivalenz folgender Aussagen. (1) (2) (3) (4)

p p p p

besitzt eine Primfaktorzerlegung in AD . ist nicht irreduzibel (also zerlegbar) in AD . oder −p ist die Norm eines Elementes aus AD . oder −p ist die Norm eines Primelementes aus AD .

Aufgabe 25.21. (4 Punkte)

√ Sei D ≤ −2 quadratfrei und betrachte R = Z[ D]. Zeige, dass die einzige Faktorisierung (bis auf Einheiten) von D durch √ √ D = D D √ gegeben ist. Zeige damit, dass √D irreduzibel ist. Zeige ferner, dass falls −D keine Primzahl ist, dann auch D nicht prim in R ist.

223

26. Vorlesung - Der Gitterpunktsatz von Minkowski 26.1. Gitter und konvexe Mengen.

Hermann Minkowski (1864-1909)

Unser Ziel ist es, zu zeigen, dass die Klassengruppe eines quadratischen Zahlbereichs endlich ist. Zu dem Beweis ben¨otigt man Methoden aus der konvexen Geometrie und einige topologische Begriffe, die im folgenden aufgef¨ uhrt werden. Man spricht in diesem Zusammenhang von der Geometrie der Zahlen, die mit dem Namen von Minkowski verbunden ist. Der grundlegende Satz ist der Gitterpunktsatz von Minkowski, den wir in dieser Vorlesung vorstellen und beweisen wollen. Im Fall eines quadratischen Zahlbereichs bilden die ganzen Zahlen ein zweidimensionales Gitter, n¨amlich Z ⊕ Zω, das wir in einem zweidimensionalen reellen Vektorraum auffassen werden. Im imagin¨arquadratischen Fall bietet sich die Einbettung in die komplexen Zahlen an. Der Gitterpunktsatz macht eine Aussage dar¨ uber, dass gewisse Teilmengen mit hinreichend großem Fl¨acheninhalt (oder allgemeiner Volumen) mindestens zwei Gitterpunkte enthalten m¨ ussen. Wir erinnern zun¨achst an einige Grundbegriffe aus der konvexen Geometrie, der Topologie und der Maßtheorie. Definition 26.1. Seien v1 , . . . , vn linear unabh¨angige Vektoren im Rn . Dann heißt die Untergruppe Zv1 ⊕ · · · ⊕ Zvn ein Gitter im Rn . Manchmal spricht man auch von einem vollst¨andigen Gitter. Als Gruppen sind sie isomorph zu Zn , hier interessieren aber auch Eigenschafen der Einbettung in Rn . Ein Gitter heißt rationale, wenn die erzeugenden Vektoren zu Qn geh¨oren.

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Definition 26.2. Eine Teilmenge T ⊆ Rn heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten P, Q ∈ T auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form rP + (1 − r)Q mit r ∈ [0, 1] , ebenfalls zu T geh¨ort.

Der Durchschnitt von konvexen Teilmengen ist wieder konvex. Daher kann man definieren: Definition 26.3. Zu einer Teilmenge U ⊆ Rn heißt die kleinste konvexe Teilmenge T , die U umfasst, die konvexe H¨ ulle von T . Die konvexe H¨ ulle ist einfach der Durchschnitt von allen konvexen Teilmengen, die U umfassen.

Im zweidimensionalen kann man sich die konvexe H¨ ulle so vorstellen, dass man eine Schnur um die fixierten Punkte aus U legt und die Schnur dann zusammen zieht. Definition 26.4. Zu einem durch linear unabh¨angige Vektoren v1 , . . . , vn gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe H¨ ulle der Vektoren ǫ1 v1 + · · · + ǫn vn mit ǫi ∈ {0, 1} als die Grundmasche (oder Fundamentalmasche) des Gitters.

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Die in der vorstehenden Definition auftauchenden Vektoren sind die Eckpunkte des von den Basisvektoren v1 , . . . , vn erzeugten Parallelotops. Die Elemente der Grundmasche selbst sind alle Vektoren der Form r1 v1 + · · · + rn vn mit ri ∈ [0, 1]

Wir werden die Grundmasche h¨aufig mit M bezeichnen. Zu einem Gitterpunkt P nennt man die Menge P +M eine Masche des Gitters. Ein beliebiger Punkt Q ∈ Rn hat eine eindeutige Darstellung Q = t1 v1 + · · · + tn vn und damit ist Q = (⌊t1 ⌋v1 + · · · + ⌊tn ⌋vn ) + ((t1 − ⌊t1 ⌋)v1 + · · · + (tn − ⌊tn ⌋)vn ),

wobei der erste Summand zum Gitter geh¨ort und der zweite Summand zur Grundmasche. Insbesondere haben zwei verschiedene Maschen nur Randpunkte, aber keine inneren Punkte gemeinsam.

Definition 26.5. Eine Teilmenge T ⊆ Rn heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt P ∈ T auch der Punkt −P zu T geh¨ort. Der Begriff der Kompaktheit sollte aus den Anf¨angervorlesungen bekannt sein. Definition 26.6. Ein topologischer Raum X heißt kompakt (oder u ¨ber¨ deckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Uberdeckung [ X= Ui mit Ui offen und einer beliebigen Indexmenge I i∈I

eine endliche Teilmenge J ⊆ I derart gibt, dass [ X = Ui i∈J

ist.

F¨ ur eine Teilmenge im Rn ist eine Teilmenge T genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschr¨ankt ist (Satz von Heine-Borel).

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Die endliche Vereinigung von kompakten Mengen ist kompakt. Abgeschlossene Teilmengen von kompakten Mengen sind wieder kompakt. Zu zwei disjunkten kompakten Mengen X und Y in einem metrischen Raum Z gibt es einen Minimalabstand d, siehe Aufgabe 27.5. D.h. zu je zwei Punkten x ∈ X und y ∈ Y ist d(x, y) ≥ d. Wir stellen einige Grundbegriffe aus der Maßtheorie zusammen.

Nicht jeder Teilmenge des Rn kann man sinnvollerweise ein Maß zuordnen. In der Maßtheorie werden die sogenannten Borelmengen eingef¨ uhrt, und diesen Borelmengen kann ein Maß, das sogenannte Borel-Lebesgue Maß λ zugeordnet werden. Die Borelmengen umfassen unter anderem alle offenen Mengen, alle abgeschlossenen Mengen (insbesondere alle kompakten Mengen). Borelmengen sind unter abz¨ahlbarer Vereinigung und abz¨ahlbaren Durchschnitten abgeschlossen, und mit einer Borelmenge ist auch deren Komplement eine Borelmenge. Das Borel-Lebesgue Maß λ hat seine Werte in R≥0 = R≥0 ∪ {∞} und ist durch folgende Eigenschaften charakterisiert (der Nachweis der Existenz erfordert einigen Aufwand): (1) F¨ ur einen Quader Q mit den Seitenl¨angen s1 , . . . , sn ist λ(Q) = s1 · s2 · · · sn . (2) F¨ ur eine S abz¨ahlbare P Familie von disjunkten Borelmengen Ti , i ∈ I, ist λ i∈I Ti = i∈I λ (Ti ) . (3) Das Borel-Lebesgue Maß λ ist translationsinvariant, d.h. f¨ ur eine Bon relmenge T und einen Vektor v ∈ R ist auch die um v verschobene Menge v + T eine Borelmenge mit λ(v + T ) = λ(T ). Weitere wichtige Eigenschaften sind: • F¨ ur U ⊆ T ist λ(U ) ≤ λ(T ). • Teilmengen, die in einem echten linearen Unterraum des Rn liegen, haben das Maß 0, siehe Lemma 66.11 (Analysis (Osnabr¨ uck 2014-2016)). • Ein einzelner Punkt und damit auch jede abz¨ahlbare Ansammlung von Punkten hat das Maß 0. • Unter einer linearen Abbildung L : Rn → Rn verh¨alt sich das Borel-Lebesgue Maß so: Zu einer Borelmenge T ist auch das Bild L(T ) eine Borelmenge mit λ(L(T )) = |det(L)| · λ(T ), siehe Satz 67.2 (Analysis (Osnabr¨ uck 20142016)). Eine Basis v1 , . . . , vn von Rn liefert ein Gitter Γ ⊂ Rn zusammen mit der Grundmasche M, n¨amlich das durch die vi aufgespannte Parallelotop. Dessen Volumen (also dessen Borel-Lebesgue-Maß) wird im Folgenden eine Rolle spielen. Das Volumen berechnet sich wie folgt: man schreibt die Vektoren vi (die ja jeweils n Eintr¨age haben) als Spalten einer quadratischen n×n-Matrix

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M . Dann ist Vol(M) = |det M | . Dies folgt aus (bzw. ist ¨aquivalent mit) der oben zitierten Aussage, wie sich das Borel-Lebesgue-Maß unter linearen Abbildung verh¨alt, wenn man sie auf die lineare Abbildung anwendet, die die Standardektoren ei auf vi schickt. Zu einem Gitter Γ ⊂ Rn gibt es keine eindeutig definierte Gitterbasis und damit auch keine eindeutig definierte Grundmasche. Wenn beispielsweise v1 , v2 eine Basis eines zweidimensionalen Gitters bilden, so ist auch v1 , v2 + tv1 (t ∈ Z) eine Basis desselben Gitters. Wenn man also von einer Grundmasche eines Gitters spricht, so meint man in Wirklichkeit die Grundmasche zu einer fixierten Basis eines Gitters. Wichtig ist dabei, dass das Volumen einer Grundmasche nur vom Gitter selbst abh¨angt, nicht aber von der Gitterbasis! Sei n¨amlich w1 , . . . , wn eine weitere Gitterbasis. Dann gibt es zun¨achst eine quadratische invertierbare reellwertige Matrix A, die den Basiswechsel beschreibt. Da die wi zum Gitter geh¨oren muss diese Matrix ganzzahlig sein. Aus dem gleichen Grund muss die inverse Matrix ganzzahlig sein. Damit muss die Determinante von A aber entweder 1 oder −1 sein. Nach der Formel f¨ ur das Maß unter linearen Abbildungen haben also die Parallelotope zur Basis v und zur Basis w das gleiche Volumen. Man spricht daher auch vom Volumen (oder Kovolumen) des Gitters.

Der folgende Satz heißt Gitterpunktsatz von Minkowski. Satz 26.7. Sei Γ ein Gitter im Rn mit Grundmasche M. Es sei T eine konvexe, kompakte, zentralsymmetrische Teilmenge in Rn , die zus¨atzlich die Volumenbedingung Vol(T ) ≥ 2n Vol(M) erf¨ ulle. Dann enth¨alt T mindestens einen von 0 verschiedenen Gitterpunkt. Beweis. Wir betrachten das verdoppelte Gitter 2Γ. Ist v1 , . . . , vn eine Basis f¨ ur Γ, so ist 2v1 , . . . , 2vn eine Basis f¨ ur 2Γ, und f¨ ur das Volumen gilt n Vol(2Γ) = 2 Vol(Γ). Wir bezeichnen die Grundmasche von 2Γ mit N. Zu jeder Masche NQ = Q + N, Q ∈ 2Γ, betrachten wir den Durchschnitt TQ = T ∩ NQ . Da T kompakt und insbesondere beschr¨ankt ist, gibt es nur endlich viele Maschen derart, dass dieser Durchschnitt nicht leer ist. Seien

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diese Maschen (bzw. ihre Ausgangspunkte) mit Ni (bzw. Qi ), i ∈ I, bezeichnet (da der Nullpunkt aufgrund der Konvexit¨at und der Zentralsymmetrie zu T geh¨ort, umfasst I zumindest 2n Elemente). Die in die Grundmasche N verschobenen Durchschnitte bezeichnen wir mit T˜i := Ti − Qi . Wir behaupten zun¨achst, dass die T˜i nicht paarweise disjunkt sind. Sei also angenommen, sie w¨aren paarweise disjunkt. Mindestens eines der Ti hat positives Volumen, sagen wir f¨ ur i = 1. Wegen der angenommenen Disjunktheit sind insbesondere [ T˜i X := T˜1 und Y := i∈I,i6=1

disjunkt zueinander. Wir haben also zwei disjunkte kompakte Teilmengen, und diese besitzen einen Minimalabstand d (d.h. zu jedem Punkt aus X liegen in einer d-Umgebung keine Punkte aus Y ). Sei x ∈ X ein innerer Punkt (den es gibt, da X konvex ist und ein positives Volumen besitzt) und sei y ∈ Y . Mit S sei die Verbindungsstrecke von x nach y bezeichnet, die ganz in N verl¨auft. Wir w¨ahlen einen Punkt s ∈ S, der weder zu X noch zu Y geh¨ort (solche Punkte gibt es wegen des Minimalabstandes). Da s sowohl zu X als auch zu Y einen Minimalabstand besitzt, gibt es eine ǫ-Umgebung B von s, die disjunkt zu X und Y ist. Wir k¨onnen ferner annehmen, dass B ganz innerhalb von N liegt (wegen der Wahl von x). Als eine Ballumgebung hat B ein positives Volumen, was zu folgendem Widerspruch f¨ uhrt. Vol(N) ≥ Vol(X ∪ Y !∪ B) [ T˜i + Vol(B) = Vol i∈I

> =

X

i∈I X i∈I

Vol(T˜i )

Vol(Ti ) = Vol(T ) ≥ 2n Vol(M) = Vol(N).

Es gibt also Indizes i 6= j und einen Punkt z ∈ T˜i ∩ T˜j (z muss selbst nicht zu T geh¨oren). Sei zi := z + Qi ∈ Ti und zj := z + Qj ∈ Tj .

Wegen Qi , Qj ∈ 2Γ ist auch Qi − Qj ∈ 2Γ und daher Qi − Qj 0 6= ∈ Γ. 2 Aus zj ∈ T folgt (wegen der Zentralsymmetrie) auch −zj ∈ T und wegen der Konvexit¨at von T ergibt sich 1 1 1 1 Qi − Qj = (zi − z) − (zj − z) = + zi − zj ∈ T. 2 2 2 2 2 Wir haben also einen von Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt in T gefunden. 

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Wir zitieren abschließend ohne Beweis den Hauptsatz u ¨ber endlich erzeugte kommutative Gruppen. Der anschließende gegebene Spezialfall f¨ ur die torsionsfreie Situation besagt insbesondere, dass Untergruppen von Gittern als (abstrakte Gruppe) wieder (nicht vollst¨andige) Gitter sind. Satz 26.8. Sei G eine endlich erzeugte kommutative Gruppe. Dann ist G das Produkt von zyklischen Gruppen. D.h. es gibt eine Isomorphie G ∼ = Zr × Z/(n1 ) × · · · × Z/(ns ). Beweis. Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgef¨ uhrt.



26. Arbeitsblatt ¨ 26.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 26.1. Zeige, dass der Durchschnitt von konvexen Mengen wieder konvex ist. Aufgabe 26.2. Zeige, dass der Einheitskreis S 1 = {z ∈ R[i] ∼ = C| |z| = 1} R

isomorph zu R/Z ist.

Aufgabe 26.3. Charakterisiere die Restklassengruppe eines Gitters Γ ⊆ Rn . Aufgabe 26.4. Es seien Γ1 , Γ2 ⊆ Rn vollst¨andige Gitter. Zeige, dass es eine R-lineare Abbildung Rn −→ Rn gibt, die einen Gruppenisomorphismus induziert.

Γ1 −→ Γ2

Aufgabe 26.5. Es seien Γ1 , Γ2 ⊆ Rn rationale vollst¨andige Gitter. Zeige, dass es eine Q-lineare Abbildung Qn −→ Qn

gibt, die einen Gruppenisomorphismus induziert.

Γ1 −→ Γ2

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Aufgabe 26.6. Es seien Γ1 , Γ2 ⊆ Rn rationale vollst¨andige Gitter. Zeige, dass es ein rationales Gitter Γ ⊆ Rn mit Γ1 , Γ2 ⊆ Γ gibt. Aufgabe 26.7. Es sei X ein Hausdorffraum und es sei Y ⊆ X eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei Y kompakt. Zeige, dass Y abgeschlossen in X ist. Aufgabe 26.8. Es sei X ein topologischer Raum und es seien Y1S , . . . , Yn ⊆ X kompakte Teilmengen. Zeige, dass auch die Vereinigung Y = ni=1 Yi kompakt ist. Aufgabe 26.9. Es seien X, Y ⊆ Rn kompakte Teilmengen. Zeige, dass es Punkte x ∈ X und y ∈ Y mit der Eigenschaft gibt, dass f¨ ur beliebige Punkte P ∈ X und Q ∈ Y die Absch¨atzung d(x, y) ≤ d(P, Q)

gilt.

Tipp: Betrachte die Produktmenge S × T ⊆ Rn × Rn ∼ = R2n und darauf Pn die Abbildung (x, y) 7→ i=1 (xi − yi )2 . Argumentiere dann mit Satz 36.12 (Analysis (Osnabr¨ uck 2014-2016)). Aufgabe 26.10. Zeige, dass ein K¨orper K genau dann die Charakteristik 0 besitzt, wenn die additive Gruppe (K, +, 0) torsionsfrei ist. 26.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 26.11. (4 Punkte) Alle Springm¨ause leben in Z2 und verf¨ ugen u unge, n¨amlich den ¨ber zwei Spr¨ Sprung ±(3, 4) und den Sprung ±(5, 2). Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springm¨ause Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen (14, 11), (13, 15), (17, 12), (15, 19), (16, 16) und (12, 20) . Welche Springm¨ause k¨onnen sich begegnen? Aufgabe 26.12. (4 Punkte) Sei U eine Teilmenge des Rn . Zeige, dass ein Punkt Q ∈ Rn genau dann zur konvexen H¨ ulle von U geh¨ort, wenn es endlich P viele Punkte Pi ∈ U , i ∈ I, und reelle Zahlen ri , i ∈ I, mit ri ∈ [0, 1], i∈I ri = 1 und mit X Q= ri Pi i∈I

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gibt. Aufgabe 26.13. (6 Punkte) Skizziere zum Gitter Z2 in R2 drei Teilmengen, die die Maßbedingung des Gitterpunksatzes von Minkowski erf¨ ullen, die den Nullpunkt, aber keine weitere Gitterpunkte enthalten, und die jeweils zwei der drei Bedingungen konvex, kompakt und zentralsymmetrisch erf¨ ullen. 27. Vorlesung - Die Endlichkeit der Klassenzahl 27.1. Die Endlichkeit der Klassenzahl fu or¨ r quadratische Zahlk¨ per. Wir beweisen nun die Endlichkeit der Klassenzahl f¨ ur die Ganzheitsringe in quadratischen Zahlk¨orpern. Es sei bemerkt, dass diese Aussage f¨ ur alle Zahlbereiche gilt, nicht nur f¨ ur die quadratischen, wir beschr¨anken uns aber auf diese. Lemma 27.1. Sei R ein quadratischer Zahlbereich. Dann gibt es nur endlich viele Ideale a in R, deren Norm unterhalb einer gewissen Zahl liegt. Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen, dass es zu einer nat¨ urlichen Zahl n nur endlich viele Ideale a in R mit N (a) = n gibt. Sei also a ein solches Ideal. Dann ist n ∈ a nach Korollar 21.5 und damit entspricht a einem Ideal aus R/(n). Dieser Ring ist aber nach Satz 18.14 endlich und besitzt somit u ¨berhaupt nur endlich viele Ideale. 

√ √ Das Gitter zum Zahlbereich Z[ −5] und zum Ideal (2, 1 + −5) (blau, mit einer Grundmasche).

Bemerkung 27.2. Sei D 6= 0, 1 quadratfrei und AD der zugeh¨orige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante △. Wir wollen ein von 0 verschiedenes Ideal a aus AD als ein (vollst¨andiges) Gitter Γa in R2 auffassen. Bei D < 0,

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also im imagin¨ar-quadratischen Fall, verwenden wir die nat¨ urliche Einbettung √ a ⊆ AD ⊂ L = Q[ D] ⊂ C ∼ = R2 .

Wir identifizieren also √ das Ideal mit seinem Bild unter diesen Inklusionen. Dem Element q1 + q2 D entspricht in der reellen Ebene das Element p √ (q1 , q2 −D) = (q1 , q2 |D|).

Bei D > 0, also im reell-quadratischen Fall, verwenden wir stattdessen die Einbettung √ √ √ L = Q[ D] −→ R2 , q1 + q2 D 7−→ (q1 , q2 D). √ Man beachte, dass in der zweiten Komponente die Wurzel D mitgeschleppt wird, und dass diese Abbildung lediglich eine Q-lineare Abbildung ist, w¨ahrend im imagin¨ar-quadratischen Fall ein Ringhomomorphismus nach C vorliegt. Das Ideal a sei nun (bei positivem oder negativem D) durch die Z-Basis (a, b) erzeugt, mit (a) = Z ∩ a und mit b = α + βu wie in Satz 21.1 beschrieben. √ √ 1+ D bzw. u = Hierbei sei 1, u die u . ¨bliche Z-Basis von AD , alsou = D 2 √  p |D| geschickt. Daher Das Basiselement u wird auf (0, |D|) bzw. auf 21 , 2 wird das zum Ideal geh¨orige Gitter Γa (in R2 ) durch  p  (a, 0) und α, β |D| bei D = 2, 3 mod 4 und

(a, 0) und

β α + ,β 2

p

|D| 2

!

bei D = 1

mod 4

aufgespannt. Wir setzen zun¨achst die Norm des Ideals mit dem Fl¨acheninhalt des Gitters in Verbindung. Lemma 27.3. Sei D 6= 0, 1 eine quadratfreie Zahl, sei AD der zugeh¨orige quadratische Zahlbereich und sei ϕ : AD → R2 die in Bemerkung 27.2 beschriebene Einbettung. Es sei a 6= 0 ein Ideal und Γa ⊂ R2 das zugeh¨orige Gitter. Dann ist der Fl¨acheninhalt der Grundmasche des Gitters gleich 1p |△|N (a). µ(Γa ) = 2

Beweis. Das Ideal a sei durch die Z-Basis (a, b) mit (a) = Z ∩ a und b = α + βu erzeugt, wie in Satz 21.1 beschrieben. In Bemerkung 27.2 wurde die zugeh¨orige Gitterbasis ausgerechnet. Der Fl¨acheninhalt eines Gitters wird

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gegeben durch den Betrag der Determinante von zwei Basiselementen des Gitters. Daher ist bei D = 2, 3 mod 4 p   p p a α = aβ |D| = aβ |△| = 1 N (a) |△|, p µ(Γa ) = det 0 β |D| 2 2

wobei wir Korollar 21.5 und die Diskriminantengleichung △ = 4D benutzt haben. Bei D = 1 mod 4 ist µ(Γa ) = det

a α√ + β2 β |D| 0 2

aus den gleichen Gr¨ unden.

! p p 1 = aβ |D| = N (a) |△| 2



Lemma 27.4. Sei D 6= 0, 1 eine quadratfreie Zahl, sei AD der zugeh¨orige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante △. Es sei a 6= 0 ein Ideal. Dann gibt es ein f ∈ a, f 6= 0, mit der Eigenschaft ( p 2 |△|N (a) bei D < 0, |N (f )| ≤ 1π p |△|N (a) bei D > 0 . 2 Beweis. Wir wollen den Gitterpunktsatz von Minkowski auf das Gitter Γ = Γa anwenden, das in Fakt konstruiert wurde. √ Nach Lemma 27.3 hat die Grundmasche des Gitters den Fl¨acheninhalt

|△|N (a) . 2

Sei D 0. F¨ ur einen Punkt x = (x1 , x2 ) = (y1 , y2 D) (mit y1 , y2 ∈ Q) besitzt das Element y = ϕ−1 (x) (aus Q(AD )) die Norm N (y) = y12 − y22 D = (x1 − x2 )(x1 + x2 ). Die Bedingung |N (y)| = |(x1 − x2 )(x1 + x2 )| = c

beschreibt somit vier gedrehte Hyperbeln, die jeweils eine Achse senkrecht schneiden. Diese Hyperbeln schließen das (konvexe, √kompakte, zentral√ c, ± c) ein. Wir setzen symmetrische) Quadrat mit den Eckpunkten (± p 1 c := 2 |△|N (a). Dann hat das Quadrat T mit diesen Eckpunkten den

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p Fl¨acheninhalt 2 |△|N (a) und enth¨alt nach dem Gitterpunktsatz von Minkowski einen vom Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt x ∈ Γa ∩ T . Dieser entspricht einem Element f ∈ a, f 6= 0, und 1p |△|N (a). |N (f )| = x21 − x22 ≤ x21 ≤ c = 2  Lemma 27.5. Sei D 6= 0, 1 eine quadratfreie Zahl und sei AD der zugeh¨orige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante △. Dann enth¨alt jede Idealklasse aus der Klassengruppe ein Ideal a ⊆ AD , das die Normschranke  √  2 |△| bei D < 0 , π N (a) ≤ √|△|  bei D > 0 . 2



erf¨ ullt.

Beweis. Sei c eine Idealklasse. Die inverse Klasse c−1 wird durch ein Ideal b ⊆ R repr¨asentiert. Nach Lemma 27.4 enth¨alt b ein Element f , f 6= 0, mit ( p 2 |△|N (b) bei D < 0 , |N (f )| ≤ 1π p |△|N (b) bei D > 0 . 2

Wir setzen a := (f )b−1 , was nach dem Satz von Dedekind zu ab = (f ) ¨aquivalent ist. Dieses a ist ein Ideal, da ja b−1 nach Bemerkung 24.7 alle Elemente aus b nach R multipliziert. Nach Kollorar 21.11 und nach Satz 21.7 ist N (a)N (b) = N (ab) = N ((f )) = |N (f )| . Daher ist

|N (f )| N (a) = ≤ N (b)

( p 2 |△| πp 1 |△| 2

bei D < 0 , bei D > 0 . 

Satz 27.6. Sei R = AD ein quadratischer Zahlbereich. Dann ist die Divisorenklassengruppe von R eine endliche Gruppe. Beweis. Nach Lemma 27.5 wird jede Klasse in der Klassengruppe durch ein Ideal mit einer Norm repr¨asentiert, die durch die dort angegebene Schranke beschr¨ankt ist. D.h., dass die Ideale mit einer Norm unterhalb dieser Schranke alle Klassen repr¨asentieren. Nach Lemma 27.1 gibt es aber u ¨berhaupt nur endlich viele Ideale mit einer Norm unterhalb einer gegebenen Schranke.  Das im Beweis verwendete Lemma bietet prinzipiell eine Absch¨atzung f¨ ur die Anzahl der Klassengruppe.

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Definition 27.7. Sei AD ein quadratischer Zahlbereich. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von AD die Klassenzahl von AD . Korollar 27.8. Sei R = AD ein quadratischer Zahlbereich und sei a ein Ideal in R. Dann gibt es ein n ≥ 1 derart, dass an ein Hauptideal ist. Beweis. F¨ ur das Nullideal ist die Aussage richtig, sei also a von 0 verschieden. Die zugeh¨orige Idealklasse [a] besitzt aufgrund von Satz 27.6 in der Idealklassengruppe endliche Ordnung, d.h., dass f¨ ur ein n ≥ 1 an = [an ] = 0

ist. Dies bedeutet aber gerade, dass an ein Hauptideal ist.



Wir formulieren noch explizit die beiden folgenden Kriterien f¨ ur Faktorialit¨at. Korollar 27.9. Sei D 6= 0, 1 eine quadratfreie Zahl und sei AD der zugeh¨orige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante △. Es sei vorausgesetzt, dass jedes Primideal p in AD , das die Normbedingung  √  2 |△| bei D < 0 , π N (p) ≤ √|△|  bei D > 0 . 2

erf¨ ullt, ein Hauptideal sei. Dann ist AD faktoriell.

Beweis. Es sei a ein Ideal 6= 0 unterhalb der angegebenen Normschranke. Nach Satz 23.14 ist a = p1 · · · pk mit Primidealen pi , und wegen Kollorar 21.11 sind die Normen dieser Primideale ebenfalls unter der Schranke. Da all diese Primideale nach Voraussetzung Hauptideale sind, ist auch a ein Hauptideal. Da nach Lemma 27.5 jede Idealklasse durch ein Ideal unterhalb der Normschranke repr¨asentiert wird, bedeutet dies, dass jede Idealklasse durch ein Hauptideal repr¨asentiert wird. Das heißt die Klassengruppe ist trivial und damit ist nach Satz 25.2 der Ring AD faktoriell.  Korollar 27.10. Sei D 6= 0, 1 eine quadratfreie Zahl und sei AD der zugeh¨orige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante △. Es sei vorausgesetzt, dass jede Primzahl p mit  √  2 |△| bei D < 0 , π p ≤ √|△|  bei D > 0 . 2

in AD eine Primfaktorzerlegung besitzt. Dann ist AD faktoriell.

Beweis. Es sei p ein Primideal derart, dass N (p) unterhalb der angegebenen Schranke liegt, und es sei Zp = p ∩ Z mit einer Primzahl p. Nach Satz 20.13 gibt es in AD die drei M¨oglichkeiten (p) = p oder (p) = p2 oder (p) = pp .

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Die Norm von p ist p oder p2 , so dass auch p unterhalb der Schranke ist und somit nach Voraussetzung eine Primfaktorzerlegung f¨ ur p besteht. Daraus folgt aber, dass p ein Hauptideal ist. Aus Korollar 27.9 folgt die Behauptung.  √ Beispiel 27.11. Sei R = Z[ −5], also D = −5√ und △ = −20. Jede Idealklasse enth¨alt ein Ideal a der Norm N (a) ≤ 2 π20 , so dass nur Ideale mit Norm 2 zu betrachten sind. Ein Ideal a mit N (a) = 2 ist ein Primideal p mit p ∩ Z = (2). Daher ist √ √ p = (2, 1 + −5) = (2, 1 − −5)

die einzige M¨oglichkeit. Beispiel 21.8 ist p kein Hauptideal. Daher ist die Idealklassengruppe isomorph zu Z/(2), wobei das Nullelement durch die Hauptdivisoren (oder Hauptideale) repr¨asentiert wird und das andere Element durch p. Beispiel 27.12. √Sei R = A−19 der quadratische Zahlbereich zu D = −19, also A−19 = Z[ 1+ 2−19 ] bzw. A−19 ∼ = Z[Y ]/(Y 2 − Y + 5) .

Wir wissen aufgrund von Satz 25.5, dass R nicht euklidisch ist. Dennoch ist R faktoriell und nach Satz 25.2 ein Hauptidealbereich und die Klassengruppe ist trivial. Hierf¨ ur √ ur benutzen wir Korollar 27.10, d.h. wir haben f¨ 2

|△|

alle Primzahlen p ≤ π zu zeigen, dass sie eine Primfaktorzerlegung in R besitzen. Diese Absch¨atzung wird nur von p = 2 erf¨ ullt. F¨ ur p = 2 ist der Restklassenring R/(2) ∼ = Z/(2)[Y ]/(Y 2 + Y + 1) ein K¨orper, so dass 2 tr¨age in R ist und insbesondere eine Primfaktorzerlegung besitzt. 27. Arbeitsblatt ¨ 27.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 27.1. Sei R = A13 der quadratische Zahlbereich zu D = 13. Zeige mittels Korollar 27.10, dass R faktoriell ist. Aufgabe 27.2. Sei R ein quadratischer Zahlbereich und a 6= 0 ein Ideal in R. Zeige, dass es ein Element f ∈ a mit der Eigenschaft gibt, dass f¨ ur alle maximale Ideale m gilt: f ∈ m genau dann, wenn a ⊆ m .

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Aufgabe 27.3. Sei R ein quadratischer Zahlbereich und a 6= 0 ein Ideal in R. Zeige, dass es eine nat¨ urliche Zahl m ∈ N derart gibt, dass das inverse −1 m Ideal a zu a ¨aquivalent ist. Aufgabe 27.4. Zeige mit Korollar 27.9, dass der Ring der Gaußschen Zahlen Z[i] faktoriell ist. Aufgabe 27.5. Es sei R ein Zahlbereich und f ∈ R, f 6= 0. Definiere eine Divisorenklassengruppe“ f¨ ur die Nenneraufnahme Rf . Dabei soll wieder gel” ten, dass diese Divisorenklassengruppe genau dann 0 ist, wenn Rf faktoriell ist. Ferner soll es einen nat¨ urlichen surjektiven Gruppenhomomorphismus geben.

DKG (R) −→ DKG (Rf )

Aufgabe 27.6. Es sei X ein topologischer Raum und es seien Y1S , . . . , Yn ⊆ X kompakte Teilmengen. Zeige, dass auch die Vereinigung Y = ni=1 Yi kompakt ist. Aufgabe 27.7. Es seien X, Y ⊆ Rn kompakte Teilmengen. Zeige, dass es Punkte x ∈ X und y ∈ Y mit der Eigenschaft gibt, dass f¨ ur beliebige Punkte P ∈ X und Q ∈ Y die Absch¨atzung gilt.

d(x, y) ≤ d(P, Q)

Tipp: Betrachte die Produktmenge X × Y ⊆ Rn × Rn ∼ = R2n und darauf Pn die Abbildung (x, y) 7→ i=1 (xi − yi )2 . Argumentiere dann mit Satz 36.12 (Analysis (Osnabr¨ uck 2014-2016)). 27.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 27.8. (4 Punkte) Sei R = A−43 der quadratische Zahlbereich zu D = −43. Zeige mittels Korollar 27.10, dass R faktoriell ist. Aufgabe 27.9. (4 Punkte) Sei R = A−67 der quadratische Zahlbereich zu D = −67. Zeige mittels Korollar 27.10, dass R faktoriell ist.

238

Aufgabe 27.10. (5 Punkte) Sei R ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass es ein f ∈ R, f 6= 0, mit der Eigenschaft gibt, dass die Nenneraufnahme Rf faktoriell ist. Aufgabe 27.11. (5 Punkte) Sei D quadratfrei und sei AD der zugeh¨orige quadratische Zahlbereich. Ferner sei D ein Vielfaches von 5 und D = 2, 3 mod 4. Zeige: AD ist nicht faktoriell. Tipp: Siehe Aufgabe 25.20. 28. Vorlesung - Quadratische Formen Der historische Ursprung der quadratischen Zahlbereiche wue auch der Klassengruppe liegt in der besonders von Gauß entwickelten Theorie der quadratischen Formen. In der ersten Vorlesung haben wir gefragt, welche Zahlen als Summe von zwei Quadratzahlen darstellbar sind, also von der Form x2 + y 2 sind, und dies haben wir im weiteren Verlauf mit der Norm im Ring der Gaußschen Zahlen Z[i] in Verbindung gebracht. Einen ¨ahnlichen Zusammenhang gibt es zu jeder bin¨aren quadratischen Form. 28.1. Bin¨ are quadratische Formen. Definition 28.1. Unter einer bin¨aren quadratischen Form versteht man einen Ausdruck der Gestalt aX 2 + bXY + cY 2 mit a, b, c ∈ Z. Die a, b, c heißen die Koeffizienten der quadratischen Form. Wir fassen eine bin¨are quadratische Form F als eine Abbildung auf. Die Matrix

Z2 −→ Z, (x, y) 7−→ ax2 + bxy + cy 2 ,

 a 21 b 1 b c 2 heißt die Gramsche Matrix zur Form F . Mit ihr kann man    x a 12 b F (x, y) = (x, y) 1 y b c 2 

schreiben.

Definition 28.2. Zu einer bin¨aren quadratischen Form aX 2 + bXY + cY 2 nennt man die Diskriminante der Form.

b2 − 4ac

239

 a 21 b der Determinante von 1 Die Diskriminante kann man auch als b c 2 ansehen. Wir werden diese Diskriminante bald mit der Diskriminante eines quadratischen Zahlbereiches in Verbindung bringen. −1 14



Definition 28.3. Man sagt, dass eine ganze Zahl n durch eine bin¨are quadratische Form aX 2 + bXY + cY 2 darstellbar ist, wenn es ganze Zahlen (x, y) ∈ Z2 mit n = ax2 + bxy + cy 2

gibt. Die Zahlen a, c, a + b + c sind unmittelbar darstellbar. Im Allgemeinen ist es schwierig, die Mengen aller darstellbaren Zahlen zu beschreiben. F¨ ur die 2 2 quadratische Form X + Y bedeutet die Darstellbarkeit, dass n eine Summe von zwei Quadraten ist. Zur Beantwortung dieser Frage ist die Betrachtung der Faktorzerlegung in Z[i] hilfreich. Definition 28.4. Eine bin¨are quadratische Form aX 2 + bXY + cY 2 heißt einfach, wenn die Koeffizienten a, b, c teilerfremd sind. Wenn g der gr¨oßte gemeinsame Teiler von a, b, c ist, so nennt man die durch c a 2 b X + XY + Y 2 g g g gegebene Form die Vereinfachung der urspr¨ unglichen Form. Es handelt sich dann um eine einfache Form.   r s mit ganzzahligen Eintr¨agen r, s, t, u ∈ Z und Zu einer Matrix M = t u einer bin¨aren quadratischen Form F = aX 2 + bXY + cY 2 erh¨alt man durch die Hintereinanderschaltung M

F

Z2 −→ Z2 −→ Z

die neue quadratische Form F ′ = F ◦ M. Wenn man die Variablen links mit V, W bezeichnet, so liegt insgesamt die quadratische Form vor, die ein Tupel (v, w) auf a (rv + sw)2 + b (rv + sw) (tv + uw) + c (tv + uw)2 =   ar2 + brt + ct2 v 2 + (2ars + bru + bst + 2ctu) vw + as2 + bsu + cu2 w2

abbildet. Die neuen Koeffizienten der transformierten Form sind also

a′ = ar2 + brt + ct2 , b′ = 2ars + bru + bst + 2ctu und c′ = as2 + bsu + cu2 . Dies k¨onnen wir auch als Matrixgleichung als  ′ 1 ′     a 2b a 21 b r t r s = 1 ′ 1 s u t u b c′ b c 2 2

240

schreiben, siehe Aufgabe 28.5. Die Matrix M ist u ¨ber Z genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante gleich 1 oder gleich −1 ist, siehe Aufgabe 28.1. Bei einer solchen invertierbaren Transformation ¨andern sich wesentliche Eigenschaften der Form nicht. Definition 28.5. Zwei bin¨are quadratische Formen F = aX 2 + bXY + cY 2 und F ′ = a′ X 2 + b′ XY + c′ Y 2 heißen ¨aquivalent, wenn es eine ganzzahlige invertierbare 2 × 2-Matrix M mit F′ = FM

gibt. Definition 28.6. Zwei bin¨are quadratische Formen F = aX 2 + bXY + cY 2 und F ′ = a′ X 2 + b′ XY + c′ Y 2 heißen strikt ¨aquivalent, wenn es eine ganzzahlige 2 × 2-Matrix M mit Determinante 1 und mit F′ = FM gibt. 2 2 2 2 Die Formen uber die  aX +bXY +cY und aX −bXY +cY sind zueinander (¨ 1 0 ) ¨aquivalent, aber im Allgemeinen nicht strikt ¨aquivalent. Matrix 0 −1

¨ ¨ Lemma 28.7. (1) Die Aquivalenz und die strikte Aquivalenz von bin¨aren ¨ quadratischen Formen ist eine Aquivalenzrelation. (2) Die Diskriminante einer bin¨aren quadratischen Form h¨angt nur von ¨ deren Aquivalenzklasse ab. ¨ (3) Die dargestellen Zahlen h¨angen nur von der Aquivalenzklasse der Form ab.

Beweis. (1) Diese beiden Aussagen folgen daraus, dass das Produkt invertierbarer Matrizen (¨ uber Z) wieder invertierbar ist und aus dem Determinantenmultiplikationssatz. (2) Wir arbeiten mit der Umrechnungsregel f¨ ur die Koeffizienten in Matrixform, also      ′ 1 ′ a 21 b r s r t a 2b = 1 ′ 1 t u s u b c′ b c 2 2 Der Determinantenmultiplikationssatz liefert  ′  b 2c′ diskr(F ) = −4 · det 2a′ b′   b 2c (±1) = −4 · (±1) det 2a b   b 2c = −4 · det 2a b

241

= diskr(F ). (3) Dies folgt unmittelbar aus dem kommutativen Diagramm M

Z2 −→ Z2 F′ ց ↓ F Z.  Wir brauchen noch ein etwas abstrakteres Konzept von einer quadratischen Form. Definition 28.8. Sei R ein kommutativer Ring. Eine quadratische Form auf einem R-Modul L ist eine Abbildung die die beiden Eigenschaften

Q : L −→ R,

(1)

(2)

Q(rv) = r2 Q(v) f¨ ur alle r ∈ R und v ∈ L, Q(u + v) + Q(u − v) = 2Q(u) + 2Q(v) f¨ ur alle u, v ∈ L,

erf¨ ullt. Eine bin¨are quadratische Form auf Z2 ist eine quadratische Form in diesem Sinne, siehe Aufgabe 28.13. Auf einem freien Z-Modul L vom Rang zwei, der also isomorph zu Z2 ist, gibt es keine kanonische Z-Basis, so dass eine quadratische Form auf ihm zun¨achst nicht in der expliziten Form von oben gegeben ist. Erst die Fixierung eines Isomorphismus Z2 −→ L

f¨ uhrt Q in die explizite Form u ¨ber. Bei einer anderen Basis ¨andern sich zwar die Koeffizienten, doch sind die zugeh¨origen expliziten bin¨aren quadratischen Formen zueinander ¨aquivalent, da sie durch die invertierbaren Basiswechselmatrizen ineinander u uhrt werden. Insbesondere ist die Diskriminante ¨berf¨ einer quadratischen Form auf L wohldefiniert. 28.2. Bin¨ are quadratische Formen und quadratische Zahlbereiche. √ Ein quadratischer Zahlbereich R ⊂ Q[ D] ist nach Korollar 18.10 als Gruppe isomorph zu Z2 . Ferner erf¨ ullt die Norm √ √ N : Q[ D] −→ Q, x + y D 7−→ x2 − y 2 D, die Eigenschaften einer quadratischen Form. Die Werte der Norm eingeschr¨ankt auf den Ganzheitsring (und auf jedes Ideal) liegen in Z, deshalb

242

liegt ein freier Z-Modul vom Rang zwei zusammen mit einer quadratischen Form vor. Beispiel 28.9. Wir bestimmen f¨ ur die quadratischen Zahlbereiche R die bin¨are quadratische Form, die√auf R durch die Norm gegeben ist. Sei also R der Ganzheitsring in K = Q[ D] zu einer quadratfreien Zahl D 6= 0, 1. Sei zun¨achst

D = 2, 3

mod 4.

√ Dann ist der Ganzheitsring nach Satz 20.9 gleich Z[ D] √ √ und wir arbeiten mit der Z-Basis 1, D. Die Norm eines Elementes x + y D ist somit   √ x Dy N (x + y D) = det = x2 − Dy 2 y x

und dies ist die explizite Beschreibung der durch die Norm gegebenen quadratischen Form. Ihre Diskriminante ist diskr(N ) = 4D,

was gem¨aß Lemma 20.10 mit der Diskriminante △(R) des Zahlbereichs u ¨bereinstimmt. Sei nun D = 1

mod 4.

Dann ist der Ganzheitsring nach Satz 20.9 gleich Z[ω] mit √ 1+ D ω = 2 und wir arbeiten mit der Z-Basis 1, ω. Die Norm eines Elementes x + yω ist wegen (x + yω) ω = xω + yω2 = xω + y

= y

D−1 +ω 4

D−1 + (x + y)ω 4



gleich  x D−1 y 4 N (x + yω) = det y x+y D−1 2 = x2 + xy − y 4 1−D 2 y = x2 + xy + 4 und dies ist die explizite Beschreibung der durch die Norm gegebenen quadratischen Form. Ihre Diskriminante ist 

diskr(N ) = 1 + (D − 1) = D,

243

was gem¨aß Lemma 20.10 mit der Diskriminante △(R) des Zahlbereichs u ¨bereinstimmt. Eine solche Interpretation der Norm gilt nicht nur f¨ ur den ganzen Zahlbereich, sondern auch f¨ ur jedes Ideal davon. Lemma 28.10. Es sei R ein quadratischer Zahlbereich und es sei a ⊆ R (f ) ein von 0 verschiedenes Ideal in R. Dann wird durch f 7→ N eine bin¨are N (a) quadratische Form auf a definiert, die einfach ist und deren Diskriminante gleich der Diskriminante des Zahlbereiches R ist. Beweis. Die Norm ist eine quadratische Form auf a mit Werten in Z. Zu jedem Element f ∈ a liegt ein surjektiver Restklassenhomomorphismus R/(f ) −→ R/a

vor. Beide Restklassenringe sind nach Satz 18.14 endlich, und somit ist die Anzahl von R/a ein Teiler der Anzahl von R/(f ). Diese Anzahlen sind aber nach Definition bzw. (bis auf das Vorzeichen) nach Satz 21.7 gleich N (a) (f ) liegen also in Z und es liegt eine ganzzahlige bzw. N (f ). Die Quotienten N N (a) quadratische Form vor. Diese ist nach Korollar 18.9 bin¨ar. Mit einer beliebigen Z-Basis s, t des Ideals a ist die durch die Norm gegebene bin¨are quadratische Form durch die Werte N (s), N (s + t), N (t) festgelegt, und zwar lautet die explizite Beschreibung N (s)X 2 + (N (s + t) − N (s) − N (t))XY + N (t)Y 2 .

Mit der Konjugation gilt

N (s) = ss, N (t) = tt und N (s + t) = (s + t)(s + t) = ss + st + ts + tt. Somit ist der mittlere Koeffizient der quadratischen Form gleich N (s + t) − N (s) − N (t) = st + ts

und die Diskriminate der quadratischen Form ist gleich (st + ts)2 − 4N (s)N (t) = (st − ts)2 .

Wir ziehen nun die Basis (a, b) des Ideals gem¨aß Satz 21.1 heran. Die Diskriminante ist dann (ab − ab)2 = a2 (b − b)2 . √ Ja nach Fall ist die Klammer rechts gleich 2β D bzw. gleich 2βω − β. Im ersten Fall ist das Quadrat davon gleich 4β 2 D. Im zweiten Fall ist das Quadrat davon gleich β 2 (2ω − 1)2 = β 2 D. Wenn man also die Norm durch die Norm des Ideals dividiert, die ja nach Korollar 21.5 gleich aβ ist, so ergibt sich in beiden F¨allen eine quadratische Form, deren Diskriminante gleich der Diskriminante des Zahlbereiches ist. Da die Diskriminante (bis eventuell auf

244

den Faktor 4) quadratfrei ist, folgt nach Aufgabe 28.12, dass die Form einfach ist.  Beispiel 28.11. Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich R zu D = −5 das Ideal √ (2, 1 + −5) , wobei die Erzeuger zugleich eine Z-Basis sind. Die Norm dieses Ideals ist 2 und die durch die Norm gegebene quadratische Form hat bez¨ uglich dieser Basis die Gestalt 4x2 + 4xy + 6y 2 . Durch Vereinfachung im Sinne von Lemma 28.10, also Division durch die Norm des Ideals, gelangt man zur quadratischen Form 2x2 + 2xy + 3y 2 mit der Diskriminante 4 − 4 · 2 · 3 = −20 = 4(−5).

Diese Form ist nicht zur Hauptfrom der Diskriminante −20 aquivalent, denn diese ist x2 + 5y 2 . Letztere stellt beispielsweise den Wert 5 dar, erstere nicht. ¨ Zwei zueinander ¨aquivalente Ideale definieren eine Aquivalenzklasse von bi¨ n¨aren quadratischen Formen. Um strikte Aquivalenzklassen zu erhalten, muss ¨ man die strikte Aquivalenz von Idealen einf¨ uhren. Definition 28.12. Es sei R ein Zahlbereich. Zwei gebrochene Ideale f und g heißen strikt ¨aquivalent, wenn es ein h ∈ Q(R), h 6= 0, mit positiver Norm derart gibt, dass f = (h)g. ¨ Wenn man die strikte Aquivalenzklasse der Form erhalten m¨ochte, so darf man nicht mit einer beliebigen Z-Basis des Ideals arbeiten, da beispielsweise ¨ die Vertauschung der Basiselemente die strikte Aquivalenzklasse der Form vertauscht. Stattdessen muss man mit einer orientierten Basis des Ideals arbeiten. Wir repr¨asentieren die positive Orientierung durch die Basis aus Satz ¨ 21.1. Die Ubergangsmatrix zwischen zwei orientierungstreuen Basen besitzt die Determinante 1. Satz 28.13. Es sei R der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl D 6= 0, 1 mit Diskriminante △ = △(R). Dann ist die Abbildung   N (−) a 7−→ a, , N (a)

die einem (orientierten) Ideal 6= 0 die durch die vereinfachte Norm gegebe ¨ bin¨are quadratische Form zuordnet, mit der strikten Aquivalenz von Idealen bzw. Formen vertr¨aglich, und stiftet eine Bijektion zwischen den strikten ¨ Idealklassen und den strikten Aquivalenzklassen von einfachen quadratischen Formen mit Diskriminante △.

245

Beweis. Dass die Zuordnung aus einem Ideal eine bin¨are quadratische Form mit der entsprechenden Diskriminante macht, wurde in Lemma 28.10 gezeigt. Es seien a und b strikt ¨aquivalente Ideale, d.h. es gibt ein h ∈ R mit positiver Norm und mit b = (h)a. F¨ ur jedes f ∈ a gilt nach Satz 21.7 und Kollorar 21.11 N (h)N (f ) N (hf ) = N (b) N ((h)a) N (h)N (f ) = N ((h))N (a) N (h)N (f ) = |N (h)| N (a) N (f ) , = N (a) daher ist das Diagramm N (−) N (a)

a −→ Z ·h ↓ ր NN(−) (b) b kommutativ. Da die Multiplikaton mit h ein R-Modulisomorphismus und insbesondere ein (orientierter) Gruppenisomorphismus zwischen a ∼ = Z2 und b ∼ = Z2 ist, der durch eine Matrix mit Determinante 1 gegeben ist, bedeutet dies, dass die quadratischen Formen strikt ¨aquivalent sind. Es sei nun eine einfache bin¨are quadratische Form ax2 + bxy + cy 2 gegeben, deren Diskriminante b2 − 4ac gleich der Diskriminante des Zahlbereichs, also gleich D √bzw. 4D sei. Im zweiten Fall ist b gerade und somit ist in beiden F¨allen b−2 △ ein Element aus R. Bei a > 0 betrachten wir a = Za + Z

b−

√ △ . 2

Dies ist ein Ideal. Wegen Korollar 21.6 ist N (a) = |−a| = a N (a) = a2 ,

und (f¨ ur den Fall D = 2, 3 mod 4) √ ! √   b− △ b−2 D N = N 2 2    b √ b √ − D + D = 2 2 b2 = −D 4

246

b2 − 4D 4 b2 − △ = 4 b2 − (b2 − 4ac) = 4 = ac

=

und N



a+

b−

√    △ 2a + b √ = N − D 2 2  2 2a + b = −D 2 4a2 + 4ab + b2 − 4D = 4 4a2 + 4ab + b2 − (b2 − 4ac) = 4 = a2 + ab + ac.

Wenn man diese drei charakteristischen Werte durch N (a) = a dividiert, so erh¨alt man die Werte a, c und a+b+c, was mit den Werten der vorgegebenen quadratischen Form u ¨bereinstimmt. F¨ ur den Fall a < 0 setzt man √   p b− △ Z , a = △ · aZ + 2

siehe Aufgabe 18.18.

Schließlich seien Ideale a und a′ gegeben mit der Eigenschaft, dass ihre durch die vereinfachte Norm gegebenen quadratischen Formen strikt ¨aquivalent ¨ sind. Diese strikte Aquivalenz bedeutet, dass sie durch eine Matrix M mit Determinante 1 miteinander verbunden sind. Es liegt also die Situation M

a −→ Z2 −→ Z2 −→ a′

vor. Wir multiplizieren das Ideal a mit N (a′ ) und das Ideal a′ mit N (a). Dann haben beide Ideale die gleiche Norm, die Matrix u ¨bertr¨agt sich entsprechend und somit k¨onnen wir annehmen, dass eine normerhaltende Z-lineare Abbildung a −→ a′ vorliegt. Diese induziert eine normerhaltende Q-lineare Abbildung √ √ Q[ D] −→ Q[ D]. Nach Aufgabe √ 28.19 ist dies die Multiplikation mit einem Element h des K¨orpers Q[ D] (die Determinantenbedingung schließt die Konjugation aus). Es ist also a′ = (h)a.

247

Da jedes Ideal positive ganze Zahlen enth¨alt, muss der Faktor h (wie zuvor die Idealnormen) eine positive Norm besitzen.  Die Konjugation auf R f¨ uhrt ein Ideal a in das konjugierte Ideal a u ¨ber. Dabei wird die Norm der Elemente und auch die vereinfachte Norm nicht ge¨andert. Die resultierenden quadratischen Formen sind also ¨aquivalent, im Allgemeinen aber nicht strikt ¨aquivalent, da die Determinante der Konjugation gleich −1 ist. Die beiden Ideale m¨ ussen aber nicht ¨aquivalent sein. 28. Arbeitsblatt ¨ 28.1. Ubungsaufgaben. Aufgabe 28.1. Zeige, dass eine ganzzahlige 2×2-Matrix M genau dann (als ganzzahlige Matrix) invertierbar ist, wenn ihre Determinante gleich 1 oder −1 ist. Aufgabe 28.2. Erg¨anze die Matrix   7 11

zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante 1. Aufgabe 28.3. Zeige, dass f¨ ur die Diskriminante △ einer bin¨aren quadratischen Form △ = 0, 1 mod 4 gilt, und dass diese beiden M¨oglichkeiten durch die sogenannten Hauptformen Y 2 realisiert werden. X 2 − △4 Y 2 bzw. X 2 + XY − △−1 4 Aufgabe 28.4. Es sei F eine einfache bin¨are quadratische Form. Zeige, dass die von der Menge der durch F darstellbaren Zahlen erzeugte Untergruppe gleich Z ist. 2 Aufgabe 28.5. Es sei F = aX 2 + bXY  eine bin¨are quadratische Form  + cY r s transformierte Form F ′ = F M. und F ′ die mittels der Matrix M = t u Zeige, dass f¨ ur die Koeffizienten die Beziehung    ′ 1 ′   a 21 b r t a 2b r s = 1 ′ 1 s u t u b c′ b c 2 2

besteht.

248

Aufgabe 28.6.* ′ Es sei F = aX 2 + bXY +cY 2 eine  bin¨are quadratische Form und F die r s transformierte Form F ′ = F M. Dann mittels der Matrix M = t u besteht f¨ ur die Koeffizienten die Beziehung     ′   r s b 2c b 2c′ u s . = t u 2a b t r 2a′ b′

Aufgabe 28.7. Zeige, dass die Eigenschaft einer bin¨aren quadratischen ¨ Form, einfach zu sein, nur von der Aquivalenzklasse der Form abh¨angt.

Aufgabe 28.8. Zeige, dass man mit der bin¨aren quadratischen Form x2 − 10y 2

weder die Zahl 2 noch die Zahl −2 darstellen kann. Unter einer homogenen Linearform versteht man einen Ausdruck der Form rX + sY . Aufgabe 28.9. Zeige, dass eine bin¨are quadratische Form aX 2 + bXY + cY 2 mit a, b, c ∈ Z u ¨ber C in (homogene) Linearfaktoren zerf¨allt. Aufgabe 28.10. Es sei aX 2 + bXY + cY 2 eine bin¨are quadratische Form mit a, b, c ∈ Z. Charakterisiere mit Hilfe der Diskriminante, ob diese Form u ¨ber R in (homogene) Linearfaktoren zerf¨allt. Bei a = 0 oder c = 0 ist die Diskriminante gleich b2 , also ein Quadrat, und die Form zerf¨allt in Y (bX + cY ). Ein ¨ahnliches Verhalten tritt stets aus, wenn die Diskriminante eine Quadratzahl ist. Dieser Fall ist vergleichsweise einfach und hat keine Entsprechung in den quadratischen Zahlbereichen. Aufgabe 28.11. Es sei aX 2 + bXY + cY 2 eine bin¨are quadratische Form mit a, b, c ∈ Z. Zeige, dass die Diskriminante genau dann eine Quadratzahl ist, wenn diese Form u ¨ber Q in (homogene) Linearfaktoren zerf¨allt. Aufgabe 28.12. Zeige, dass eine bin¨are quadratische Form aX 2 +bXY +cY 2 mit einer quadratfreien (bzw. bis auf den Faktor 4 quadratfreien) Diskriminante einfach ist.

249

Aufgabe 28.13. Zeige, dass eine bin¨are quadratische Form aX 2 +bXY +cY 2 eine quadratische Form auf dem Z-Modul Z2 im Sinne der Definition 28.8 ist.

Aufgabe 28.14. Es sei Q : L → R eine quadratische Form auf dem R-Modul L und M ⊆ L ein R-Untermodul. Zeige, dass die Einschr¨ankung von Q auf M ebenfalls eine quadratische Form ist. Bei der n¨achsten Aufgabe denke man an S = Q, R = Z, bei L an den Quotientenk¨orper eines quadratischen Zahlbereichs zusammen mit der Norm als quadratischer Form (mit Werten in Q) und bei M an ein gebrochenes Ideal von L. Aufgabe 28.15. Es sei L ein S-Modul und Q : L → S eine quadratische Form. Es sei R ⊆ S ein Unterring und es sei M ⊆ L ein R-Untermodul mit der Eigenschaft, dass die Werte von M unter Q zu R geh¨oren. Zeige, dass die Einschr¨ankung von Q auf M eine quadratische Form u ¨ber R ist.

Aufgabe 28.16. Es sei Q : L → R eine quadratische Form auf dem R-Modul L, es sei M ein weiterer R-Modul und es sei ϕ : M −→ L ein R-Modulhomomorphismus. Zeige, dass Q ◦ ϕ eine quadratische Form auf M ist.

Aufgabe 28.17. Es sei R ein quadratischer Zahlbereich und es seien a und b ¨aquivalente Ideale aus R. Zeige, dass dann die zugeh¨origen vereinfachten Normen als quadratische Formen ¨aquivalent sind.

Aufgabe 28.18. Sei R ein quadratischer Zahlbereich mit Diskriminante △ und sei aX 2 + bXY + cY 2 eine bin¨are quadratische Form zu dieser Diskriminante mit a < 0. Zeige wie im Beweis zu Satz 28.13, dass √   p b− △ Z a = △ · aZ + 2

ein Ideal in R ist und die Eigenschaft besitzt, dass die Norm darauf die vorgegebene quadratische Form realisiert.

250

Aufgabe 28.19.* Es sei

√ Q ⊆ L = Q[ D] eine quadratische K¨orpererweiterung und es sei ϕ : L −→ L

eine Q-lineare Abbildung, die die Norm erh¨alt. Zeige, dass ϕ die Multiplikation mit einem Element aus L oder aber die Hintereinanderschaltung der Konjugation mit einer solchen Multiplikation ist. 28.2. Aufgaben zum Abgeben. Aufgabe 28.20. (3 Punkte) Erg¨anze die Matrix 

7892 1551



zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante 1. Aufgabe 28.21. (1 Punkt) Berechne die Diskriminante der bin¨aren quadratischen Form 49X 2 + 65XY + 73Y 2 . Aufgabe 28.22. (3 Punkte) Bestimme, ob die bin¨are quadratische Form 1547X 2 + 4199XY + 1003Y 2 einfach ist oder nicht. Aufgabe 28.23. (3 Punkte) Zeige, dass man mit der bin¨aren quadratischen Form 2x2 + 2xy + 3y 2 die Zahl 5 nicht darstellen kann.

251

Anhang A: Bildlizenzen Die Bilder dieses Textes stammen aus Commons (also http://commons.wikimedia.org), und stehen unter unterschiedlichen Lizenzen, die zwar alle die Verwendung hier erlauben, aber unterschiedliche Bedingungen an die Verwendung und Weitergabe stellen. Es folgt eine Auflistung der verwendeten Bilder dieses Textes (nach der Seitenzahl geordnet, von links nach rechts, von oben nach unten) zusammen mit ihren Quellen, Urhebern (Autoren) und Lizenzen. Dabei ist Quelle so zu verstehen, dass sich, wenn man http://commons.wikimedia.org/wiki/File: unmittelbar davor setzt, die entsprechende Datei auf Commons ergibt. Autor benennt den Urheber des Werkes, falls dieser bekannt ist. Benutzer meint den Hochlader der Datei; wenn keine weitere Information u ¨ber den Autor vorliegt, so gilt der Benutzer als Urheber. Die Angabe des Benutzernamen ist so zu verstehen, dass sich, wenn man http://commons.wikimedia.org/wiki/User: unmittelbar davor setzt, die Benutzerseite ergibt. Wenn das Bild urspr¨ unglich in einem anderen Wikimedia-Projekt hochgeladen wurde, so wird die Dom¨ane (bspw. de.wikipedia.org) explizit angegeben. Die Lizenz ist die auf der Dateiseite auf Commons angegebene Lizenz. Dabei bedeuten • GFDL: Gnu Free Documentation License (siehe den angeh¨angten Text, falls diese Lizenz vorkommt) • CC-BY-SA-2.5 (3.0): Creative Commons Attribution ShareAlike 2.5 (oder 3.0) • PD: gemeinfrei (public domain)

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252

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38

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63

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74

Quelle = , Autor = Benutzer auf , Lizenz =

83

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88

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92

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97

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101

Quelle = Hadamard2.jpg , Autor = Benutzer Gian- auf en.wikipedia.org, Lizenz = PD 101 Quelle = PrimeNumberTheorem.png , Autor = FredStober, Lizenz = PD 102

253

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103

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106

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110

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113

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122

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